1、 1 2016 2017学年度下学期期中考试 高二数学（理） 试卷 一、选择题（每小题 5分，满分 60分） 1复数 z 11 i3(i是虚数单位 )，则 z的共轭复数为 ( ) 11.i22A ? 11B. i22? C.1 i? D.1 i? 2.给出下列命题，其中正确的命题为 （ ） A.若直线a和b共面，直线 和c共面，则a和c共面 B.直线 与平面?不垂直，则 与平面?内的所有的直线都不垂直 C.直线 与平面 不平行，则 与平面 内的所有的直线都不平行 D.异面直线,ab不垂直，则过 的任何平面与b都不垂直 3.已知直线 ,ab，平面 ,?，则 /a? 的一个充分条件是（ ） .,A
2、a b b ? . / / , / /Ba ? ? ? . , / /Cb a a b? . / / , / / ,D a b b a? 4.设 ,xy R? ，向量 ? ? ? ? ? ?, 1 , 1 , 1 , , 1 , 2 , 4 , 2 ,a x b y c? ? ? ?且 , / /a cb c? ，则 ab?（ ） .2 2A . 10B .3C .4D 5.已知 ? ? ? ? ? ?1 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1A B C三点， ? ?1,1,1n? ，则以 n 为方向向量的直线与平面 ABC 的关系是（ ） A.垂直 B.不垂直 C.平
3、行 D.以上都有可能 6.若 ? ?,abc 为空间向量 的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ） ? ?. , ,A a a b a b? ? ?B . , ,b a b a b? ? ?C . , ,c a b a b? ? ?D . , , 2a b a b a b? ? ? 7.已知正四棱柱 ABCD A B C D? 的底面是边长为 1 的正方形，若平面ABCD 内有且仅有 1个点到顶点 A? 的距离为 1，则异面 直线 ,AABC? 所成的角为 ( ) A.6? B. 4? C. 3? D. 512? 8.一个几何体的三视图如右图所示，正视图与侧视图为全等的
4、矩形， 俯视图为正方形，则该几何体的体积 为（ ） A.4 B.8 C.9 D.12 9.已知四棱锥 S ABCD? 的底面是边长为 2的正方形， S D A B C D S D A B?平 面 ， 且，则四棱2 锥 S ABCD? 的外接球的表面积为（ ） .9A? B.4 3? C.12? D.10? 10. 在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形， AB PA若BC 边上有且只有一个点 Q，使得 PQ QD，求此时二面角 A PD Q 的余弦值（ ） A. 33 B. 306 C. 66 D. 26 11、如图在 RtABC 中， AC 1， BC x
5、， D是斜边 AB的中点，将 BCD 沿直线 CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 CBAD ，则 x的取值范围是 ( ) A (0， 3 B.? ?22 ， 2 C ( 3， 2 3 D (2， 4 12棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 在空间直角坐标系中移动，但保持点 A、 B分 别在 x轴、 y轴上移动，则点 1C 到原点 O的最远距离为 （ ） A 22 B 23 C 5 D 4 二、填空题（每小题 5分，满分 20分） 13.在复平面内，复数 21ii? 对应的点坐标为 _ 14在三棱锥 P ABC? 中， 6, 3PB AC?,G 为 PAC 的
6、重心，过点 G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线 PB 和 AC ，则该截面的周长为 _ 在15.如图，已知边长为 1的正 ABC? 的顶点 A 在平面 ? 内，顶点 ,BC平面 ? 外的同一侧，点 , BC分别为 ,BC在平面 ? 内的投影，设ABB CC? ，直线 CB 与平面 ACC 所成的角为 ? 。若 ABC? 是以角为直角的直角三角形，则 tan? 的最小值 16 .已知正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D? 的底面边长 6AB? ，侧棱长1 27AA? ，它的外接球的球心为 O ，点 E 是 AB 的中点，点 P 是球 O 上任意一点，有以下判断： 3 PE 的长
7、的最大值是 9； 存在过点 E 的平面，截球 O 的截面面积是 9? ； 三棱锥 1P AEC? 的体积的最大值是 20； 过点 E 的平面截球 O 所得截面面积最大时， 1BC垂直该截面 . 其中判断正确的序号是 _ 三、解答题 17. （本小题满分 10 分）如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线都等于 1，点 ,EFG分别是 ,AB ADCD 的中点， 设 ,AB a AC b AD c? ? ?, ,abc为空间向量的一组基底， 计算： （ I） EFBA ; (II)EG . 18.（本小题满分 12 分） 正方体 ABCD A B C D? ? ? ? 棱长为 1，
8、,MPQ 为棱 ,AA CDBC? 的中点，求： （ I）求三棱锥 D DBP? 的表面积； （ II）求三棱锥 M BPQ? 的体积 MBPQV ? 4 19 (本小题满分 12分 )如图，四棱锥 P ABCD? 中，平面 PAD? 平面 ABCD ，底面 ABCD 为梯 形， /AB CD ， 2 2 3AB DC?,AC BD F? .且 PAD? 与 ABD? 均为正三角形 ,E 为 AD 的中点， G 为 PAD? 重心 . （ I） 求证： /GF 平面 PDC ； (II)求异面直线 GF 与 BC 的夹角的余弦值； 20、 （本小题满分 12 分）如图，在矩形 ABCD 中，已
9、知 AB=2， AD=4，点 E、 F 分别在 AD、 BC 上，且AE=1， BF=3，将四边形 AEFB 沿 EF 折起，使点 B在平面 CDEF上的射影 H在直线 DE上 . () 求证 : CD BE; () 求点 B到平面 CDE 的距离； () 求直线 AF与平面 EFCD所成角的正弦值 . F C A B D E H A E F C D B 5 21 （本小题满分 12分）如图，在梯形ABCD中，/CD，1 , 60AD D C C B AB C? ? ? ? ?， 四边形ACFE为矩形，平面ACFE?平面 ，1CF?. （ ） 求证：BC?平面 ； （ ） 点 M在线段 EF上
10、运 动，设平面 MAB与平面FCB所成二面角的平面角为? ?90?，试求cos?的取值范围 . 第 21 题 6 22 （本小题满分 12分） 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C ： 2222 1( 0)yx abab? ? ? ?的左，右焦点分别为 1( 3 0)F?， ， 2(3 0)F ， .点00()Px y，是椭圆 C 在 x 轴上方的动点，且 12PFF 的周长为 16. （ 1）求椭圆 C 的方程 ； （ 2）设点 Q 到 12PFF 三边的距离均相等 . 当 0 3x? 时，求点 Q 的坐标； 求证：点 Q 在定椭圆上 . 2016 2017 学年度下学期期中考试 高二数
11、学（理）试卷 参考答案 1.A 2. D 3.D 4.D 5.A 6.C 7.B 8.B 9.C 10.A 11.C 12.D 13.( 1,1)? 14.8 15. 22 解法一： 如图建系，设 ? ?0, ,B bm ， ? ?,0,Cc n ，则 ? ? ? ?2 2 2 2 10 , , , , 1 1 c o s 6 00b m c nb m c o nmn? ? ? ? ? ? ? ? ?因为 12mn? 且 0 mn?，故 22m? 又因为 221cn?，故 1n? ，又 12mn? ，故 12m? 又因为 2tan 1bm? ? ? ? ， 1222m? ，故 2tan 2?
12、解法二： 注意到 ta n c o s s in B A B B A z? ? ? ? ? 考虑 BAz? 为直线 BA 与 平面 ACC 所成的角，显然其上界（无法取得）为 60 ，此时 3sin 2BA z?；其最小值当 BB CC? 时取得，为 45 ，因此最小值为 22 . 7 16. 17.解（ I） ,AB a AC b AD c? ? ?，则 01 , , , , 6 0a b c a b b c c a? ? ? ? ? ?， ? ?1 1 12 2 4E F B A c a a? ? ? ? （ II） 1 1 1 2,2 2 2 2E G E B B C C G a b c
13、 E G? ? ? ? ? ? ? ? ? 18.解（ I） 1 2 62 2 4D D BPS ? ? ? ?(II)如图，取 AD 的四等分点 N ，则 1/MN BQ ，故11MQB NQBSS?， 1 1 1 11 1 1 1 1 1 3 1 1 1 51 1 13 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 8M B P Q P M B Q P N B Q B P N QV V V V? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?19.【解析】 （ ） 方法一：连 AG 交 PD 于 H ,连接 CH . 由梯形 ABCD ， CDAB/ 且 2AB DC? ，知
14、 21AFFC?又 E 为 AD 的中点， G 为 PAD? 的重心， 21AGGH?，在 AFC? 中， 21AG AFGH FC?,故 GF /HC . 又 HC? 平面 PCD ,GF? 平面 PCD , GF /平面 PDC . 方法二：过 G 作 ADGN/ 交 PD 于 N ,过 F 作 ADFM/ 交 CD 于 M ,连接 MN , G 为 PAD? 的重心， 32? PEPGEDGN , 3 3232 ? EDGN , 又 ABCD 为梯形， CDAB/ , 21?ABCD? , 21?AFCF 31?ADMF , 332?MF FMGN? 又由所作 ADGN/ ， ADFM/
15、 得 GN /FM ， GNMF? 为平行四边形 . P C DMNP C DGFMNGF 面，面 ?,/? ,? /GF 面 PDC (II) 取线段 AB 上一点 Q ，使得 13BQ AB? ，连 FQ ,则 2 23FQ BC?, 1 0 1 3,33EF GF?, 1 3 1 6,33EQ GQ? ,在 GFQ 中 8 2 2 2 3 3 9c o s2 5 2G F F Q G QG F Q G F F Q? ? ?，则异面直线 GF 与 BC 的夹角的余弦值为 33952 20.解：（ 1）由于?BH平面CDEF， CDBH?，又由于DECD，HDEBH ?， EBDCD 平面?
16、， BE?. 法一：（ 2）设h?，kEH，过 作FG垂直ED于点 ，因为线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理： ? ? ? ? ? 222 22222222 222 )2(29 5 kh khGHFGBHFHBHBF EHBHBE，可解得? ?12kh， 线段BH的长度为2.即 点 B到平面 CDE 的距离为 2. （ 2） 延长BA交EF于点M，因为3:1: ? MBMABFAE， 点A到平面EFCD的距离为点 到平面EFCD距离的31， 点到平面 的距离为32，而13?AF，直线 与平面所成角的正弦值为3913. 法二：（ 2）如图，过点E作DCER，过点E作?ES平面EFC
17、D，分别以ER、ED、ES为x、y、 z轴建立空间直角坐标系，设点)0,0)(,0( ? zyzyB，由于)0,2,2(F，5?BE，3BF，? ? ? 9)2(4 ,52222zzy解得?,1zy于是),1,0(，所以线段BH的长度为2. 即 点 B到平面 CDE 的距离为 2. （ 3） 从而)2,1,2( ?FB，故)32,31,32(31 ? FBEA，)32,37,38( ? EAFEFA， 设平面EFCD的一个法向量为)1,0,0(?n，设直线AF与平面EFCD所成角的大小为?， 则39132sin ?nFAnFA?. 21.（ I）证明：在梯形ABCD中， /ABCD,1AD DC CB? ? ?， ABC60， 2AB?， 360cos2222 ? oBCABBCABAC 222 BCAC ? BCAC， 平面ACFE 平9 面ABCD,平面ACFE 平面ABCDAC?,BC?平面ABCD， BC 平面ACFE（ II）解法一：由（ I）可建立分别以直线,CACBCF为轴轴轴， zyx ,的如图所示空间直角坐标系，令)30( ? ?FM，则)0,0,3(),0,0,0( A，? ? ? ?1,0,0,1 ?MB ? ? ? ?1,1,0,1,3 ? ?BMAB设? ?zyxn ,
