1、 1 2016-2017 学年下学期期中考试高二数学（文科）试卷 一、 选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 6 分 在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上） 1. 已知集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 2. 已知复数 的实部为 ，且 ，则 复数 的虚部是 ( ) A B C D 3. 一算法的程序框图如图 1，若输出的 ，则输入的 的值可能为 ( ) A B C D 4. 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合 , 则 的值为 ( ) A B C D 5. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ( ) A B C D 2 6. 将函数
2、的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位，所得图象的函数解析式是 ( ) A B C D 7. 设 是公差不为 0的等差数列， 且 成等比数列，则 的前 项和=( ) A B C D 8. 已知函数 ，若在区间 上任取一个实数 ，则使 成立的概率为 ( ) A B C D 9. 某几何体的三视 图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径 组成的图形，则此几何体的体积是 ( ) A B C D 10. 已知 是 内的一点，且 ， ，若 ， 和 的面积分别为 ，则 的最小值是 ( ) A B C D 3 11. 如图，椭圆与双曲线有公共焦点 、 ，它们在第一象限的交点为 , 且 ， ，则椭圆与双曲
3、线的离心率的倒数和为 ( ) A 2 B C D 12. 已 知 函 数 , 则的值为 A B C D 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13. 曲线 在 处的切线方程为 _ 14. 若 满足 且 的最小值为 ，则 的值为 _ 15. 已知三棱锥 , , , 且 ，则三棱锥的外接球的表面积为 _ 16. 函数 ， ， ， ，对任意的，总存在 ，使得 成立，则 的取 值范围为 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分 ) 17.（本小题满分 12 分） 设等差数列 的前 n 项和为 ， 数列 的前 n项和为 满足 4 (I)求数列 的通项公式及数列 的前 n项和；
4、() 是否存在非零实数 ，使得数列 为等比数列？并说明理由 18.（本 小题满分 12 分）高三某班男同学有 名，女同学有 名，老师按照性别进行分层抽样组建了一个 人的课外兴趣小组 （ 1）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率； （ 2）试验结束后，第一次做试验的同学 得到的试验数据为 ，第二次做试验的同学 得到的试验数据为 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由 19.（本小题满分 12 分）如图 ,四棱锥 ,侧面 是边长为 的正三角形
5、,且与底面 垂直 , 底面 是 的菱形 , 为 的中点 . (1) 在棱 上是否存在一点 ,使得 ?若存在 , 指出点 的位置并证明；若不存在 ,请说明理由； (2) 求点 到平面 的距离 20.（本小题满分 12分） 已知圆 ： 关于直线 对称的圆为 （ 1）求圆 的方程； 5 （ 2）过点 作直线 与圆 交于 两点， 是坐标原点 .设 ，是否存在这样的直线 ，使得四边形 的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由 . 21 （本题满分 12分） 设函数 ， 其中 （ 1）设 ，求函 数 在 上的值域； （ 2）证明：对任意正数 ，存在正数 ，使不等式 成立 请
6、考生从第（ 22）、（ 23） 二 题中任选一题作答。 22 （本小题满 分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 曲线 的参数方程为 : （ 为参数），曲线 的参数方程为 : （ 为参数） . （ 1）求曲线 的普通方程，若以坐标原点为极点 , 轴的正半轴为极轴建立坐标系 , 求曲线 的极坐标系方程； （ 2）若点 为曲线 上任意一点，求点 到曲线 距离的最小值 . 23 （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 已知关于 的不等式 的解集为 （ 1）求实数 ， 的值；（ 2）求 的最大值 6 2016-2017学年下学期期中考试高二数学（文科）参考答案 一选择题（每小题 5 分
7、，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C C D A A B C C B D 二、填空题： (每小题 5分，共 20 分 ) 13. 14. 21 15. 16. 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分 ) 17.（本小题满分 12分 【解析】 (I)设数列 的公差为 d,由 ，解得, 因此 的通项公式是 所以 ，从而前 n项的和为 (II)因为 当 时， ；当 时， . 所以 ，若 是等比数列，则有 而 ，所以矛盾，故数列 不是等比数列 . 18.（本小题满分 12分） 解：（ 1）设有 名男同学，则 ， 男、女同学的人数分别为 1分
8、 把 名男同学和 名女同学记为 ，则选取两名同学的基本事件有： 共 种， 4 分 7 其中有一名女同学的有 种 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 6分 （只是列出组合，没考虑顺序的同样给分）（ 2） ， 8分 ， 11分 第二同学 B的实验更稳定 12分 19.（本小题满分 12 分） (1)当点 为棱 的中点时 , ,证明如下 : 1分 取棱 的中点 , 连结 , , 又 为 的中点 , 所以, 在菱形 中 可得 3分 、 所以 5分 (2)点 到平面 的距离即点 到平面 的距离 , 由 ( )可知 ,又平面 平面 , 平面 平面 , 平面 ,所以 平面 , 即 为三棱锥 的体高 .
9、7分 在 中 , , , 在 中 , , ,边 上的高 , 8 所以 的面积 , 9分 设点 到平面 的距离为 , 由 得 10分 ,又 ,所以 , 11 分 解得 , 所以点 到平面 的距离为 . 12分 20.（本小题满分 12 分） 解：（ 1）圆 化为标准为 . 1分 设圆 的圆心 关于直线 的对称点为 ，则且 的中点 在直线 上 ， 所 以 有，解得 , 所以圆 的方程为 . 5分 （ 2）由 可知四边形 为平行四边形 . 又 ，所以四边形 为矩形，所以 . 要使 ，必须使 ，即： . 6分 当直线 的斜率不存在时，可得直线 的方程 ，与圆 交于两点 . 因为 ，所以 ，所以当直线
10、的斜 率不存在时，直线 ： 满足条件 . 7分 当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 . 设 .由 得 . 8分 9 由 于 点 在圆 内 部 ， 所 以 恒 成 立 . 由 韦 达 定 理 得 ：， . 9分 要使 ，必须使 ，即： 也就是： . 整理得： . 解得： .所以直线 的方程为 . 11 分 所以存在直线 和 ，它们与圆 交于 两点，且四边形 的对角线相等 12 分 21（本题满分 12分）解析： （ 1） ， 1分 令 ，则 , 当 时， ， 在 上单调递减函数， 当 时， ， 在 上单调递增函数 , 3分 又依据 ， , 4分 在 上有最小值 ，有最大值 即函 数 在 上的值域 5分 （ 2 ） , 当 时 ， 令 ，则， 6分 故 ， ， 7分 10 原不等式化为 ，即 ，令 ， 则 ， 8分 由 得： ， 解得 ， 当 时， ；当 时， 故当 时， 取最小值 , 10分 令 ，则 故 ，即 因此，存在正数 ，使原不等式成立 12 分 22 （本小题满分 10 分 ） 解 的普通方程为 : 2分 曲线 的普通方程为 3分 曲线 的极坐标系方程 5分 （ 2）设 ，则求点 到曲线 距离为 7分 9分 故当 = 时， 有最小值为 10分 23 （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲
