1、 1 2016 2017学年度下期高中二年级期中检测 数学试题（理科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项： 1.答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号等考生信息填写在答题卡上，并用 2B 铅笔将考号填涂在相应位置。 2.答第 I卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上的答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。 3. 非选择题答案使用 0.5毫米的黑色墨水笔书写在答题卷上，字体工整字迹清楚，不得超出答题栏边界。 4. 考试结束后，监考员请将答题卷收回。 第卷
2、选择题 一、选择题 .（本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.数列 1,3,6,10， x,21，中的 x等于 A 17 B 16 C 15 D 14 2关于复数 21z i? 的四个命题： 1p ：复数 z 对应的点在第二象限， 2p ： 2 2zi? ， 3p ： z 的共轭复数为 1i? ， 4p ： z的虚部为 1? 其中的真命题个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 3函数 3 2xyx?的导函数是 A 232xyx? B 322xyx? C 233 2 2 ln 2xxy x x? ? ? ? ? D 23 2 2 l
3、n 2xxyx? ? ? 4若 ? ?0 3fx? ? ，则 ? ? ? ?000 3li mh f x h f x hh? ? ? ? ? 2 A 3? B -6 C 9? D -12 5已知曲线 cosy ax x? 在 ,02?处的切线的斜率为 12 ，则实数 a 的值为 A.2? B. -2? C. 1? D. 1? 6.已知 R 上的可导函数 ?fx的图象如图所示，则 ? ? ? ?2 2 3 0x x f x? ? ?的解集为 A ? ? ? ?, 2 1,? ? ? B ? ? ? ? ? ?, 1 1,1 3,? ? ? ? C ? ? ? ?, 2 1, 2? ? D ? ?
4、 ? ? ? ?, 1 1, 0 2 ,? ? ? ? 7某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班，每人 4 天甲说：我在 1 日和 3 日都有值班 ; 乙说：我在 8日和 9日都有值班； 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期是 A 2日和 5日 B 5日和 6 C 6 日和 11日 D 2日和 11 日 8.若由曲线 y x2 k2与直线 y 2kx及 y轴所围成的平面图形的面积 S 9，则 k A.3 3 B 3或 3 C.3 D 3 9如图所示，面积为 S的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ( )1,2,3,4iai= ，此四边形内任一点 P
5、到第 i 条 边 的 距 离 记 为 ( )1,2,3,4ihi= ，若 31 2 41 2 3 4aa a a k= = = =，则1 2 3 422 3 4 Sh h h h k+ + + =类比以上性质，体积为 V的三棱锥的第 i 个面的面积记为 ( )1,2,3,4iSi= ，此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 ( )1, 2,3, 4iHi= ，若 31 2 41 2 3 4SS S S K= = = =，则1 2 3 42 3 4H H H H+ + + = A 2VK B 3VK C 3VK D 2VK 10若点 ( , )Pab 在函数 2 3lny x x? ?
6、的图像上，点 ( , )Qcd 在函数 2yx?的图像上，则 22( ) ( )a c b d? ? ? 的最小值为 3 A 2 B 8 C 22 D 2 11下列命题中 若 0( ) 0fx? ，则函数 ()y f x? 在 0xx? 取得极值； 直线 5 2 1 0xy? ? ? 与函数 ( ) sin(2 )3f x x ?的图象不相切； 若 zC? （ C 为复数集），且 | 2 2 | 1zi? ? ? ，则 | 2 2 | 1zi? ? ? 的最小值是 3； 定积分 0 24 16 4x dx ? ?.正确的有 A. B. C. D. 12.设函数)(xf是定义在)0,?上的可导函
7、数，其导函数为(xf?， 且有0)()( ? xfxxf，则不等式0)3(27)2015()2015 3 ? fxf的解集 A.)2015,2016( ?B.)2016,( ?C.2018D.2012第 II卷 非 选择题 二 .填空题 (每小题 5分共 20分 ) 13.已知 x 为实数，复数 22( 2 ) ( 3 2 )? ? ? ? ? ?z x x x x i为纯虚数，则 x? 14.若曲线 ( ) cosf x a x? 与曲线 2( ) 1g x x bx? ? ?在交点 (0, )m 处有公切线， 则 ab? 15.关于 x的方程 x3 3x2 a 0有三个不同的实数解，则实数
8、 a的取值范围是 _ 16.记 1 2 3k k k kkSn? ? ? ? ?，当 1,2,3k? ， 时，观察下列等式： 2132211 ,221 1 13 2 6S n nS n n n? ? ?， 4 3 2 5 4 3341 1 1 1 1 1 1,4 2 4 5 2 3 3 0S n n n S n n n n? ? ? ? ? ? ?， 6 5 4 25 15 ,2 1 2S A n n n B n? ? ? ?，可以推测 A-B等于 三解答题 4 17（本题满分 10分）设复数 z 3cos 2isin . (1)当 43? 时，求 |z|的值； (2)若 复数 z所对应的点在
9、直线 x 3y 0上，求22 cos 122 sin 4?的值 18. （本题满分 12分） (1) 已知函数 () sinxfx x? 求 ()2f ? (2)求曲线 3c o s 02y x x? ? 与 x 轴以及直线 32x? 所围图形的面积 . 19（本题满分 12 分）设函数 ? ? ? ?3 0f x ax bx c a? ? ? ?为奇函数，其图象在点 ? ?1, 1f 处的切线与直线 6 7 0xy? ? ? 垂直，导函数 ?fx? 的最小值为 12? （ 1）求 ,abc的值； （ 2）求函数 ?fx的单调递增区间，并求函数 ?fx在 ? ?1,3? 上的最大值和最小值 2
10、0.是否存在常数 ba, ，使等式 2 2 2 2 21 2 31 3 3 5 5 7 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2n a n nn n b n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?对于一切*Nn? 都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？（本题满分 12分） 21 (本小题满分 12分 )已知函数 1 ln() xfx x? 。 ?1 如果 0?a ，函数在区间 1( , )2aa? 上存在极值，求实数 a的取值范围； ?2 当 1x? 时，不等式 () 1kfx x? ? 恒成立，求实数 k的取值范围。 22 (本小题满分 12分 )已知函数 )(12ln)(
11、Raxxaxf ? （ 1）当 1?a 时，求 )(xf 在 ),1 ?x 最小值； （ 2）若 )(xf 存在单调递减区间，求 a 的取值范围； 5 （ 3）求证： 12 1715131)1ln ( ? nn ?（ n *N? ） 6 2016 2017 学年度下期高中二年级期中检测 数学试题答 案（理科） 一、选择题： (本大题共 12题，每小题 5分，共 60分 ) 13. 1 14 1 15 (-4,0) 16 14 17解： (1) 43? ， z 3cos43? 2isin43? 32 3 i， |z| ? ?2 23 32? 212 （ 5分） (2)由 条件得， 3cos 6s
12、in 0， cos 0， tan 12 ， 原式 cossin cos? 1tan 1? 23 （ 10 分） 18.(1) 2sin c o s() sinx x xfx x?，则 1( ) 121f ? ?（ 6分） (2)由题可知 ，画出所围 图形如图， 则阴影部分面积为 312|s i n|s i n|c o s|c o s| 2322023220 ? ? ? x d xx d x ；（ 12 分） 19 (1)因为 ?fx为奇函数， 所以 ? ? ? ? ?f x f x即 33? ? ? ? ? ? ?ax bx c ax bx c，所以 0?c ， 2分 题号 1 2 3 4 5
13、 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C C D D B C B B B D C 7 因为 ? ? 23? ?f x ax b的最小值为 12? ，所以 12?b ， 4分 又直线 6 7 0? ? ?xy 的斜率为 16 ， 因此， ? ?1 3 6? ? ? ? ?f a b ， 2, 12, 0? ? ? ?a b c 6分 (2)单调递增区间是 ? ?,2? 和 ? ?2,? 9分 又 f(-1)=10,f( 2 )=-8 2 ,f(3)=18 ?fx在 1, 3?上的最大值是 18，最小值是 82? 12分 20.若存在常数 ba, 使等式成立，则将 2,1 ? nn 代入上
14、式，有?2224154312131baba得 4,1 ? ba ，即24)12)(12(53 231 12222? n nnnn n?对于一切 *Nn? 成立 . （ 5 分） 数学归纳法证明如下： 证明如下：（ 1）当 1?n 时，左边 = 313112 ? ，右边 = 31214 11 ? ，所以等式成立（ 6分） （ 2）假设 nk? （ 1k? 且 *Nn? ）时等式成立，即 24)12)(12(53 231 12222? k kkkk k?， 当 1?kn 时，)32)(12( )1()12)(12(53 231 12222? ? kk kkk k?22( 1 )4 2 ( 2 1
15、) ( 2 3 )k k kk k k? ? ? )32 12(12 1 ? kkkkk21 2 5 22 1 2 ( 2 3)k k kkk? ? ?1 ( 2 1)( 2 )2 1 2 ( 2 3 )k k kkk? ? ?( 1)( 2)46kkk? ? 2( 1) ( 1)4( 1) 2kkk? ? ? ? 也就是说，当 1?kn 时，等式成立， 综上所述，可知等式对任何 *Nn? 都成立 . （ 12分） 8 21.试题分析：（ 1）因为 1 ln() xfx x? ， x 0，则2ln() xfx x? ?， （ 1分） 当 01x?时， ( ) 0fx? ? ；当 1x? 时，
16、( ) 0fx? ? . 所以 ()fx在 （ 0， 1）上单调递增；在 (1, )? 上单调递减， 所以函数 ()fx在 1x? 处取得极大值 . 因为函数 ()fx在区间 1( , )2aa? （其中 0a? ）上存在极值， 所以 1,11,2aa? ?解得 1 12 a?.（ 6分） （ 2）不等式 ( ) ,1kfx x? ? 即为 ( 1)(1 ln ) ,xxkx? ? 记 ( 1)(1 ln )( ) ,xxgx x? 所以 ? ?2( 1 ) (1 l n ) ( 1 ) (1 l n )() x x x x xgx x? ? ? ? ? ?2lnxxx?令 ( ) lnh x
17、 x x? ，则 1( ) 1hx x? ? ， 1x? ， ( ) 0,hx? ()hx? 在 ?1, )? 上单调递增， ? ?m in( ) (1) 1 0h x h? ? ? ?， 从而 ( ) 0gx? ? ,故 ()gx在 ?1, )? 上也单调递增，所以 ? ?m in( ) (1) 2g x g?， 所以 2k? . （ 12分） 22：（ 1） 12ln)( ? xxxf ，定义域为 ),0( ? 0)1( 1)1( 21)( 222 ? xx xxxxf?， )(xh? 在 ),0( ? 上是增函数 min( ) (1) 1f x f?.（ 3分） （ 2）因为 2222 2 ( 1 )() ( 1 ) ( 1 )a a x a x ahx x x x x? ? ? ? ?因为若 ()fx存在单调递减区间，所以 ( ) 0hx? 有正数解 . 即 2
