1、 1 山东省济南市历下区 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文 本试卷分第 卷和第 卷两部分，共 4 页，满分为 150 分，考试用时 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。 2第 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3第 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得 使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。 第 I 卷（共 60
2、 分） 一、选择题 ：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 . （ 1） 已知复数 127 6 , 4 7 ,z i z i? ? ? ?则 12zz? （ A） i?3 （ B） i?3 （ C） i1311? （ D） i133? （ 2）复数 z 满足 5)2)(3( ? iz (i 为虚数单位 )，则 z 的共轭复数 z 为 （ A） i?2 （ B） i?2 （ C） i?5 （ D） i?5 （ 3）已知数列 ?na 中， 11?a ， 2?n 时， 121 ? ? naa nn ，依次计算 2a ， 3a ， 4a
3、 后，猜想 na的表达式是 （ A） 13?n （ B） 34?n （ C） 2n （ D） 13?n （ 4）若复数 z 满足 |34|)43( izi ? ，则 z 的虚部为 （ A） 4? （ B） 54 （ C） 4 （ D） 54? （ 5）不等式 2|2| 2 ?x 的解集是 （ A） )1,1(? （ B） )2,2(? （ C） )1,0()0,1( ? （ D） )2,0()0,2( ? （ 6）若 R, ?cba ， 且 ba? ，则下列不等式成立的是 2 （ A） ba 11? （ B） 22 ba? （ C） 1122 ? c bc a（ D） | cbca ? （ 7
4、） 观察下列各式： ?,11,7,4,3,1 55443322 ? bababababa ，则 ? 1010 ba （ A） 28 （ B） 76 （ C） 123 （ D） 199 （ 8）用数学归纳法证明 “ )N(122221 *12 ? ? nnn? ” 的过程中，第二步 k? 时等式成立，则当 n k 1 时应得到 （ A） 1222221 1122 ? ? kkk? （ B） 112 21222221 ? ? kkkk? （ C） 1222221 1112 ? ? kkk? （ D） 1222221 112 ? ? kkk? （ 9）用反证法证明命题： “ N, ?ba ，若 ab
5、 可被 5 整除，那么 ba, 中至少有一个能被 5 整除 ” 时，假设的内容应该是 （ A） ba, 都能被 5 整除 （ B） ba, 都不能被 5 整除 （ C） ba, 不都能被 5 整除 （ D） a 能被 5 整除 （ 10）若关于 x 的不等式 3|1| ? mxx 的解集为 R ，则实数 m 的取值范围是 （ A） ),2()4,( ? ? （ B） ),1()4,( ? ? （ C） )2,4(? （ D） 1,4? （ 11）设 26,37,2 ? cba ，则 cba, 间的大小关系是 （ A） cba ? （ B） cab ? （ C） acb ? （ D） bca ?
6、 （ 12）我们知道，在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 a23 ，类比上述结论，在边长为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 （ A） a36 （ B） a46 （ C） a33 （ D） a43 第 卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 . （ 13）若 biaibi ?13 ( ba, 为实数， i 为虚数单位 )，则 ?ba _. 3 （ 14）已知 ,0,0 ? ba 且 0)ln( ?ba ，则 ba 11? 的最小值是 （ 15）若关于实数 x 的不等式 axx ? |3|5| 无解，则实数 a 的取
7、值范围是 _ （ 16）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数： 第 （ 16） 题图 将三角形数 ?,10,6,3,1 记为数列 na ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 nb ，可以推测： 2017b 是数列 na 中的第 _项 三、 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 . （ 17） (本小题满分 10 分 ) 在复平面内，复数 iiz ?12 (i 为虚数单位 )的共轭复数 z 对应点为 A ，点 A 关于原点 O 的对称点为 B ，求： （ ） 点 A 所在的象限； （ ）向量 OB 对应的复数 （
8、18） (本小题满分 12 分 ) 设 dcba , 均为正数 ， 且 dcba ? ， 若 cdab? ， 证明 ： （ ） dcba ? ； （ ） | dcba ? （ 19） (本小题满分 12 分 ) 已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 ( 1) (2 1)nnan? ? ? （ ）求 ；4321 , SSSS 4 （ ）猜想 nS 的表达式，并用数学归纳法给出证明 （ 20） (本小题满分 12 分 ) 设 cba, 均为正数，且 1? cba ，证明： （ ） 31? cabcab ； （ ） 1222 ? accbba （ 21） (本小题满分 12 分 ) 已知函
9、数 |2|)( ? xaxxf （ ） 当 3?a 时，求不等式 3)( ?xf 的解集 ； （ ）若 |4|)( ? xxf 的解集包含 2,1 ，求 a 的取值范围 （ 22） (本小题满分 12 分 ) 已知关于 x 的不等式 bax ? | 的解集为 42| ?xx （ ）求实数 ba, 的值； （ ） 求 btat ?12 的最大值 山东师大附中 2015 级 第七次学分认定考试 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B D C C D B A D A 5 二、填空题 13.3 14.4 15. 8?a 16.5044 三
10、、解答题 17. 解： 在复平面内，复数 z ii?12 (i 为虚数单位 )的共轭复数 z 对应点为 A，点 A 关于原点 O 的对称点为 B，求： （ ） 点 A 所在的象限； （ ） 向量 OB 对应的复数 解： （ ） z 2i1 i 11 1 1 i，所以 z 1 i， 所以点 A(1， 1)位于第四象限 ? 5 分 （ ） 又点 A， B 关于原点 O 对称 点 B 的坐标为 B( 1,1) 因此向量 OB 对应的复数为 1 i ? 10 分 18. 设 a， b， c， d 均为正数 ， 且 a b c d， 若 ab cd， 证明： （ ） a b c d； （ ） |a b|
11、 |c d| 证明： （ ） 因为 ( a b)2 a b 2 ab， ( c d)2 c d 2 cd， 由 题设 a b c d， abcd 得 ( a b)2( c d)2. 因此 a b c d.? 6 分 （ ） (a b)2 (a b)2 4ab(c d)2 4cd (c d)2. 因此 |a b|c d|.? 12 分 19. 已知 数列 ?na 的 前 n 项和 为 nS ，若 ( 1) (2 1)nnan? ? ?， （） 求 1 2 3 4S S S S、 、 、 ； （） 猜想 nS 的 表达式，并用数学归纳法给出证明 . 解 ： （ 1） 6 12342535 7 4S
12、SSS? ? ? ? ?=-1=-1+3=-1+3=-1+3? （ 4 分） （ ）猜想 ( 1)nnSn? ， 证明如下： （ 1）当 1n? 时，由 (1)得结论成立； ? （ 5 分） （ 2）假设当 nk? 时，结论成立， 即 ? ? ? ? ? ?1 3 5 7 1 2 1 1kkkk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 6 分） 那么，当 1nk?时，左边 ? ? ? ? ? ? ? ?11 3 5 7 1 2 1 1 2 1kkkk ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 11 1 2 1 1 2 1 1
13、 1k k k kk k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 故 1nk?时，结论也成立。? （ 11 分） 由（ 1）（ 2） 知， ? ? ? ? ? ?1 3 5 7 1 2 1 1nnnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?成立。? （ 12 分） 20.设 a、 b、 c 均为正数，且 a b c 1，证明： （ ） ab bc ac 13； （ ） a2bb2cc2a 1. 证明 (1)由 a2 b2 2ab， b2 c2 2bc， c2 a2 2ac 得 a2 b2 c2 ab bc ca. 由题设得 (a b c)2 1， 即 a2 b2
14、c2 2ab 2bc 2ca 1. 所以 3(ab bc ca) 1，即 ab bc ca 13.? 6 分 (2)因为 a2b b 2a，b2c c 2b，c2a a 2c， 故 a2bb2cc2a (a b c) 2(a b c)， 即 a2bb2cc2a a b c.所以a2bb2cc2a 1.? 12 分 21. 已知函数 f(x) |x a| |x 2|. （ ） 当 a 3 时 ， 求不等式 f(x)3 的解集； （ ） 若 f(x)| x 4|的解集包含 1， 2， 求 a 的取值范围 解： （ ） 当 a 3 时 ， 7 f(x)? 2x 5， x 2，1， 2x3，2x 5，
15、 x 3.当 x2 时 ， 由 f(x)3 得 2x 53 ， 解得 x1 ； 当 2x3 时 ， f(x)3 无解； 当 x3 时 ， 由 f(x)3 得 2x 53 ， 解得 x4. 所 以 f(x)3 的解集为 x|x1 或 x4 ? 6 分 （ ） 原命题 ( ) 4f x x? ? ? 在 1,2 上恒成立 24x a x x? ? ? ? ? ?在 1,2 上恒成立 22x a x? ? ? ? ? ?在 1,2 上恒成立 30a? ? ? 故 a 的取值范围为 3， 0 ? 12 分 22. 已知关于 x 的不等式 |x a|b 的解集为 x|2x4 （ ）求实数 a， b 的值； （ ） 求 at 12 bt的最大值 解：（ ）由 |x a|b， 得 b axb a， 则? b a 2，b a 4， 解得 a 3， b 1.? 5 分 （ ） 3t 12 t 3 4 t t （ 3） 2 12（ 4 t） 2（ t） 2 2 4 t t 4， ? 10 分 当且仅当 4 t3 t1 ， 即 t 1 时等号成立 ， 故 ( 3t 12 t)max 4.? 12 分
