1、 1 山西省朔州市应县 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 理 时间： 120分钟 满分： 150分 一 选择题 (本题共 12小题每小题 5分，共 60分 1 已知 (1 2i) z 4 3i(其中 i是虚数单位 ， z 是 z的共轭复数 )， 则 z的虚部为 ( ) A 1 B 1 C i D i 2 已知 i为虚数单位 ， a R， 若 2 ia i为纯虚数 ， 则复数 z 2a 2i的模等于 ( ) A. 2 B. 11 C. 3 D. 6 3下列表述正确的是 ( ) 归纳推理是由特殊到一般的推理； 演绎推理是由一般到特殊的推理； 类比推理是由特殊到一般的推理； 分析法是一
2、种间接证明法； 若 z C，且 |z 2 2i| 1，则 |z 22i|的最小值是 3. A B C D 4用反证法证明某命题时，对结论： “ 自然数 a， b， c 中至少有一 个偶数 ” 正确的反设为 ( ) A a， b， c中至少有两个偶数 B a， b， c都是奇数 C a， b， c中至少有两个偶数或都是奇数 D a， b， c都是偶数 5 如图所示的数阵中 ， 用 A(m， n)表示第 m行的第 n个数 ， 则依此规律 A(8， 2)为 ( ) 13 16 16 110 112 110 115 122 122 115 121 137 144 137 121 ? A.145 B.1
3、86 C. 1122 D. 1167 6 已知函数 f(x)的导函数为 f( x)， 若 x2f (x) xf(x) sin x(x(0 ， 6)， f( ) 2， 则下列结论正确的是 ( ) A xf(x)在 (0， 6)上单调递减 B xf(x)在 (0， 6)上 单调递增 C xf(x)在 (0， 6)上有极小值 2 D xf(x)在 (0， 6)上有极大值 2 7. 用数学归纳法证明不等式 1 1 11 2 3 2 1n? ? ? ? ? n（ n *N ）过程中，由 n=k递推到n=k+1时，不等式左端增加的项数是（ ） A. 1 B. 2k -1 C. 2k D. 2k +1 8.
4、在二项式 (1 2x)n的展开式中 ， 偶数项的二 项式系数之和为 128， 则展开式的中间项的系2 数为 ( ) A 960 B 960 C 1 120 D 1 680 9.已知 (1 x)10 a0 a1(1 x) a2(1 x)2 ? a10(1 x)10， 则 a8等于 ( ) A 5 B 5 C 90 D 180 10 某学校高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践活动 ， 但去何工厂可自由选择 ， 甲工厂必须有班级要去 ， 则不同的分配方案共有 ( ) A 16种 B 18种 C 37种 D 48种 11 如图 ， 小明从街道的 E处出发 ， 先到 F处与小红会合 ，
5、再一起到位于 G处的老年公寓参加志 愿者活动 ， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( ) A 24 B 18 C 12 D 9 12 如果一个三位正整数 “ a1a2a3” 满足 a1a2且 a3a2， 则称这样的三位数为凸数 (如 120，343， 275)， 那么所有凸数的个数为 ( ) A 240 B 204 C 729 D 920 二填空题 (本大题共 4小题，每 小题 5分，共 20分 ) 13 dxxx? ?11 22 )1( _. 14.已知 M 为不等式组?y x2，1 x 2，y 0表示的平面区域 ， 直线 l： y 2x a， 当 a 从 2 连续变化到 0时 ，
6、 区域 M被 直线 l扫过的面积为 _. 15 在平面几何中： ABC的 C的内角平分线 CE分 AB所成线段的比为 ACBC AEBE.把这个结论类比到空 间：在三棱锥 ABCD中 (如图 )， 平面 DEC 平分二面角 ACDB且与 AB相交于 E， 则得到类比的结论是 _ 16对于三次函数 32()f x ax bx cx d? ? ? ?（ 0a? ），定义：设 ()fx? 是函数 )(xfy ? 的导 数，若方程 ( ) 0fx? ? 有实数解 x0，则称点（ x0， f（ x0）为函数 ()y f x? 的 “ 拐点 ” 有 同学发现 :“ 任何一个三次函数都有 拐点 ；任何一个三
7、次函数都有对称中心；且 拐 3 点 就是对称中心 ” 请你将这一发现为条件，若 给定 函数 12522131)( 23 ? xxxxg ， 则 ? )20172016()20173()20172()20171( gggg ? 三 .解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤 ) 17.（ 10 分）已知： ABC的三条边分别为 a b c， ， .求证： 11a b ca b c? ? ? ? 18 (本题 12 分 )7 名师生站成一排照相留念，其中老师 1 人，男生 4 人，女生 2 人，在下列情况下，各有不同站法多少种？ (1)两名女生必须
8、相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)若 4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站； (4)老师不站中间，女生不站两端 19 (本题 12分 ) 有 5个男生和 3个女生，从中选出 5人担任 5门不同学 科的科代表，求分别符合下列的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文科代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表； (4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表 20 (本题 12 分 )袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可
9、能性都相等，用 X表示取出的 3个小球上的最大数字，求： (1)取出的 3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量 X的分布列； (3)一次取球 所得计分介于 20分到 40分之间的概率 21（本题满分 12分） 已知 nnSn 2112 14131211 ?， ? ?*Nn? nnnnT n 21312111 ? ? ?*Nn? （ 1）求 1S ， 2S ， 1T ， 2T ； 4 （ 2）猜想 nS 与 nT 的关系，并证明之 . 22.设 f(x) xln x ax2 (2a 1)x， a R. (1)令 g(x) f( x)， 求 g(x)的单调区间； (2)已知 f(x)在
10、x 1处取得极大值 ， 求正实数 a的取值范围 5 高二期中 理科 数学答案 2017.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D B C D C C D C B A 13 ： 23 2 14： 43， 15 ： AEEB S ACDS BCD， 16.1008 17.解： 要证 11a b ca b c? ? ? ? 成立 , 只需证 cba ? 1 111 11 只需证 cba ? 1 11 1 , 只需证 cba ? 1 11 1 只需证 bac ? 11 , 只需证 bac ? a b c， ， 是 ABC的三条边 bac ? 成立，原不等式成立。 18解：
11、(1)两名女生站在一起有站法 A22种，视为一种元素与其余 5人全排，有 A66种排法故有不同站法 A22A 66 1 440种 （ 3分） (2)先站老师和女生，有站法 A33种，再在老师和女生站位的间隔 (含两端 )处插入男生，每空一人，有插入方法 A44种故共 A33A 44 144种 （ 6分） (3)7人全排列中， 4名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同故共有不同站法 2 A77A44 420种 （ 9 分） (4)中间和两端是特殊位置，可如下分类求解： 老师站两端之一，另一端由男生站，有A12A 14A 55种站法， 两端全由男生站，老师站
12、除两端和正中间的另外 4 个位置之一，有A24A 14A 44种站法故共有不同站法 2 112种 （ 12 分） 19 (1)先选后排，先选可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，先取有 C35C23 C45C13种，后排有A55种，共有 (C35C23 C45C13)A 55 5 400种 ? 3分 (2)除去该女生后，先取后排，有 C47A 44 840种 ? 6分 (3)先选后排，但先安排该男生，有 C47C 14A 44 3 360种 ? 9分 (4)先从除去该男生该女生的 6人中选 3人有 C36种，再安排该男生有 C13种，选出的 3人全排有 A33种，共 C36C 13
13、A 33 360种 ? 12分 20解 (1)解法一 “ 一次取出的 3 个小球上的数字互不相同 ” 的事件记为 A，则 P(A) C35C12C12C12C310 23. 解法二 “ 一次取出的 3个小球上的数字互不相同 ” 的事件记为 A， “ 一次取出的 3个小球上有两个数字相同 ” 的事件记为 B，则事件 A和事件 B是对立事件 因为 P(B) C15C22C18C310 13，所以 P(A) 1 P(B) 11323.? 4分 (2)由题意， X所有可能的取值为 2,3,4,5. P(X 2) C22C12 C12C22C310 130； P(X 3)C24C12 C14C22C31
14、0 215； P(X 4) C26C12 C16C22C310 310； P(X 5)C28C12 C18C22C310 815. 所以随机变量 X的概率分布列为： X 2 3 4 5 P 130 215 310 815 ? 9分 (3)“ 一次取球所得计分介于 20分到 40分之间 ” 记为事件 C，则 6 P(C) P(X 3或 X 4) P(X 3) P(X 4) 215 310 1330.? 12分 21.解：（ 1）121 1 1 1 1 71 , 12 2 2 3 4 1 2SS? ? ? ? ? ? ? ?, 121 1 1 1 7,1 1 2 2 1 2 2 1 2TT? ?
15、? ? ? ? ?.4 分（ 2）猜想： ()nnS T n N? ?5 分 即 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2nn? ? ? ? ? ? ?1 1 1 11 2 3 2n n n n? ? ? ? ? ?()nN? 下面用数学 归纳法证明： 当 1n? 时， 11ST? ;?6 分 假设当 nk? 时， ( 1, )kkS T k k N ? ? ?, 即 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2kk? ? ? ? ? ? ?1 1 1 11 2 3 2k k k k? ? ? ? ? ? 7分那么当 1nk?时，1 1 1 1 12 1 2 ( 1 2 1 2 ( 1k=
16、kkS S Tk k k k? ? ? ? ? ? ? ? ?） ）11 1 1 1 1 11 2 3 2 2 1 2 ( 1 )1 1 1 1 1 12 3 2 2 1 1 2 ( 1 )1 1 1 1 1( 1 ) 1 ( 1 ) 2 2 2 1 2 ( 1 )kk k k k k kk k k k k kk k k k kT ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 当 1nk?时，等式也成立? 11分 由 可知，对任意 , nnn N S T?都立? 12分 22解 (1)由 f( x) ln x 2ax 2a， 可得 g(x) ln x 2ax 2a， x (0， ) 所以 g( x) 1x 2a 1 2axx . 当 a0 ， x (0， ) 时 ， g (x) 0， 函数 g(x)单调递增； 当 a 0， x ? ?0， 12a 时 ， g (x) 0， 函数 g(x)单调递增 ， x ? ?12a， 时 ， g (x) 0
