1、 1 浙江省宁波市鄞州区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 考生注意 1.不允许用计算器。 2.参考公式： 球的表面积公式： S=4 R2 球的体积公式： V=34 R3 其中 R表示球的半径 棱锥的体积公式： V=31Sh 其中 S表示棱锥的底面积 , h表示棱锥的高 棱柱的体积公式： V=Sh 其中 S 表示棱柱的底面积 , h 表示棱柱的高 棱台的体积公式 V= )(31 2211 SSSSh ?其中 S1, S2分别表示棱台的上、下底面积 , h表示棱台的高 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40分 . 1 0p? 是抛物线 2 2y px? 的焦点落在
2、x 轴上的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2 下列函数中，周期为 的奇函 数是 A sinyx? B sin2yx? C xy 2tan? D cos2yx? 3. 函数 ( ) ln 1f x x x?的零点所在区间为 A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) 4. 若 ?na 为等差数列 ， 且 2 5 8 39a a a? ? ? ， 则 1 2 9.a a a? ? ? 的值为 A 117 B 114 C 111 D 108 5. 已知两条直线 m、 n与两个平面 ? 、 ? ，下列命题正确的是 A 若 m/? ， n/?
3、 ，则 m/n B 若 m/? ， m/? ，则 ? /? C 若 m ? ， m ? ，则 ? /? D 若 m n ， m ? ，则 n/? 6. 设变量 x 、 y 满足约束条件：?243xyxxy ，则 3z x y? 的 最小值 为 2 A 4 B 8 C 2? D 8? 7.将函数 sin cosy x x? 的图象向左平移 4 个单位，再向上平移 12 个单位，所得图象的函数解析式是 A 2cosyx? B 2sinyx? C 11sin (2 )2 4 2yx? ? ? D 1cos22yx? 8 若函数( ) ( 0 1 )xxf x k a a a a? ? ? ?且在（
4、?， ?）上既是奇函数又是增函数，则函数( ) log ( )ag x x k?的图象是 9 双曲线 22 1( 0 )xy baab? ? ? ?与圆 2 2 2()2bx y c? ? ? 无交点， c2 a2 b2，则双曲线的离 心率 e的取值范围是 A (1， 53) B ( 2， 53) C ( 2， 2) D ( 3， 2) 10.在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， E 是棱 1CC 的中点， F 是侧面 11BCCB 内（包括边界） 的动点，且 1 /AF 平面 1DAE ，则 1AF 与平面 11BCCB 所成角的正切值 t 构成的集合是 A 25 235
5、tt?B 25 25tt?C ? ?2 2 3tt? D ? ?2 2 2tt? 二填空题：本大题共 7小题， 11-14每小题 6分， 15-17每小题 4分满分 36 分 . 11 已知集合 01A? ， ， 22 | 1 B y x y x A? ? ? ?，则 AB? _， BCA的子集个数是 _. 12.已知 12,FF是椭圆 22:143xyC ?的左右焦点，直线 l 经过 2F 与椭圆 C 交于 ,AB， 则 1ABF? 的周长是 _，椭圆 C 的离心率是 _ 4 1 1 3正视图 侧视图 A1D 1CD C1BB1AEF. 3 13. 在 ABC中， B=135?， C=15?
6、， a=5，则此三角形的 最小边长为 _，外接圆的面积为 _ 14已知某四棱锥的三视图（单位： cm）如图所示，则该 几何体 的体积 是 _，其全面积是 _ 15 若两个非零向量 a ， b 满足 |2| ababa ? ? ， 则向量 ab? 与 a 的夹角为 _. 16 已知函数 xxf 2)( ? 且 )()()( xhxgxf ? ，其中 )(xg 为 奇函数 , )(xh 为偶函数，则不等式 )0()( hxg ? 的解集是 _ . 17 设实数 1, 0ab? ? ，且 满足 1ab a b? ? ? ，则 2ab bb? 的最大值为 . 三解答题：本大题共 5小题，满分 74分解
7、答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 18 （ 14分）设函数 2( ) 3 s i n 2 c o s 1 ( 0 )2f x x x? ? ? ?直线 2y? 与函数 )(xf 图像相邻两交点的距离为 ? . （ 1）求 ()fx的解析式； （ 2）在 ABC? 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，若点 ( ,0)4B 是函数 )(xfy? 图像的一个对称中心，且 2 3, 6b a c? ? ?,求 ABC? 面积 . 19 （ 15 分） 如图，三棱锥 P-ABC 中， PA? 底面 ABC， ABC? 是正三角形， AB=4， PA=3， M 是 AB的
8、中点 （ 1）求证： CM? 平面 PAB； （ 2）设二面角 A-PB-C的大小为 ? ，求 cos? 的值 20 （ 15 分） 已知函数 2( ) 2 1( )f x x ax a R? ? ? ?. （ 1） 当 2a? 时， 求 )(xf 在 1,4x? 上的最值 ； （ 2）当 1,4x? 时， 不等式 ( ) 3f x x?恒成立，求 a 的取值集合 . 4 21.（ 15 分） 已知椭圆 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的左、右焦点分别为 12FF、 ，该椭圆的离心率为 22 ，A 是椭圆上一点， 2 1 2AF FF? ，原点 O 到直线 1AF 的距离为 13
9、 . （ 1）求椭圆的方程； （ 2）是否存在过 2F 的直线 l交椭圆于 P、 Q两点，且满足 POQ? 的面积为 23 ，若存在，求直线 l的方程；若不存在，请说明理由 . 22（ 15分）已知数列 na 为等比数列，其前 n 项和为 nS ，已知14 716aa? ?，且对于任意的 *Nn?有 nS ， 2nS? ， 1nS? 成等差 . （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）已知 nbn? （ nN? ），记 3121 2 3nnnbbbbT a a a a? ? ? ? ?，若 2( 1) ( 1)nn m T n? ? ? ? 对于 2n? 恒成立，求实数 m 的范围 . 2
10、016-2017学年度第二学期期中考试 高二数学参考答案 一、 1.A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.C 9.B 10.D 二、 11. ? ?1,0,1 ,2? ； 12.8， 12 ； 13. 5 6 5 2 , 252 ? ； 14. 3833 cm， 3(16 3 19 )cm?； 15. 3? ； 16. ? ?)12(lo g| 2 ?xx ； 17. 6 4 2? . 三、 18.解：（ 1） 1 c o s( ) 3 s i n 2 1 3 s i n c o s 2 s i n ( )26xf x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )
11、(xf? 的最大值为 2 ， 由题意知 ()fx的最 小正周期为 ? ， 2? ， 所以 ( ) 2 sin (2 )6f x x ?. 7分 （ 2）由（ 1）知 ( ) 2 s i n ( 2 ) 2 ,6 6 2 1 2kf x x x k x k Z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ()fx? 的对称中心为 ( , 0)( )2 12k kZ?， (0, )B ? ， 4 12 3B B? ? ? ?， ? 2 3, 6b a c? ? ?，由2 2 2 c osb a c ac B? ?得 2 2 21 2 ( ) 3a c a c a c a c? ? ? ? ?
12、?， 解得 8ac? ，故1 si n 2 32ABCS ac B? ?. .14分 19. 解： （ 1） 因为 ?PA底面ABC，所以CMPA? 3分 因为 ABC是正三角形， M是 AB的中点，所以ABCM? 5分 所以，CM平面PAB 7分 （ 2） （几何法） 作 PBMD?于 D，连CD，则 所以，CDM?是二面角CPBA ?的 平面角 11分 因为 4?AB，3PA，所以32?CM，56?DM 从而5214?，故1421cos ? CDDM? 15分 （ 2）（向量法）以 M为原点，MC为x轴， MB为y轴， 建立空间直角坐 标系xyzO?，如图 平面 APB的一个法向量)0,0
13、,1(1 ?n 10分 )3,4,( ?BP，)0,2,32( ?BC （第 19 题） PBCAMD（第 19 题） PBCA )(MOxyz设),( zyxn?是平面CPB的法向量， 则? ? ? 0232 034 yx zy，取法向量)4,3,3(2 ?n 13分 故721 3| |cos 21 21 ? nn nn?1421? 15分 20.解： （ 1）当 2a? 时， 2( ) 4 1f x x x? ? ?的对称轴为 2 1,4x? ， 当 2x? 时 m in( ) (2) 3f x f? ? ?； .4分 当 4x? 时 max( ) (4) 1f x f?； .7分 （ 2
14、）当 1,4x? 时， 不等式 ( ) 3f x x?恒成立 ， 2( ) 3 2 4 0f x x x a x x? ? ? ? ? ? ?， 2 44 1 , 4 , 0 , 2 1xxx x a xxx? ? ? ? ? ? ? ?， .10分 4x x? 在 1,2x? 上递减，在 2,4x? 上递增， 2x?时 4x x? 取得最小值为 4， .13 分 m in42 ( 1) 3ax x? ? ? ? ?， 323 2aa? ? ? ?， 故 a 的取值集合 为 3|2aa? .15 分 注：利用二次函数图象进行分类讨论，可参照上述予以分步给分即可 21.解： （ 1）设 2( ,
15、0)( 0)F c c? ，由 22e? 得， 2,a c b c? ? ? 2 1 2 2, ( , )2A F F F A c c?解 得，直线1 2 ()4A F y x c? ? ?的 方 程 为即 1 2 2 0A F x y c? ? ?的 方 程 为 1 1 2 c 1O=3318AF到 的 距 离 为 ， 即， 2, =1a b c? ? ? 即所求椭圆的方程为 2 2y12x ? 6 分 （ 2）设 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y当直线 l 不垂直 x轴时，设直线 l 的方程为 ( 1)y k x?， 代入椭圆方程得： 2 2 2(1 2 )
16、4 2 2 0k x k x k? ? ? ? ? 221 2 1 24 2 2,1 2 1 2kkx x x x ? ? ? ?2k 8分 222212 222 2 1 2 2 ( 1 )| | 1 | | 1 1 2 1 2kkA B k x x k kk? ? ? ? ? ? ? ? ?点 O 到直线 l 的距离2|1kd k? ? 10 分 222 2 | | 1 21 2 3A O B kkS k? ?，解得 2 1, 1kk? ? ? 12分 所以，直线 l 的方程为 10xy? ? ? 或 10xy? ? ? 当直线 l 垂直于 x轴时， 22,23AOBS? ?不符合 14分
17、所以，所求直线 l 的方程为 10xy? ? ? 或 10xy? ? ? . 15 分 22. 解： （ 1）设公比为 231 , SSSq? 成等差， )2()1(22 121213 qaqqaSSS ? 21?q 又 nnn qaaaqaaa )21(,21167)1( 1113141 ? ? 6分 （ 2） 1, ( ) , 22 nnnnn nbb n a na? ? ? ? ? ?， 231 2 2 2 3 2 2 nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 ( 1 ) 2 2nnnT n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2 3 12 2 2 2 2nnnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 22)1()221 22( 111 ? ? nnnn nnT 若 )1()1( 2 ? nTmn n对于 2? 恒成立， 则 12 1)12()1()1(122)1()1(11212 ? ? nnn nmnmnnnmn， 令 0)12)(12( 1
