1、 - 1 - 北京四中 2017 2018 学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科） 满分 150分，考试时间 120 分钟 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 . 1. 复数 z满足（ 1+i） z=i，则在复平面内复数 z 所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 定积分 ? ?10 )2( dxex x的值为 A. e+2 B. e+1 C. e D. e 1 3. 曲线 y=x3 2x+1在点（ 1， 0） 处的切线方程为 A. y=x 1 B. y= x+l C. y=2x 2 D. y= 2x+2 4. 函数 y
2、=xcosx的导数为 A. y=cosx xsinx B. y=cosx+xsinx C. y=xcosx sinx D. y=xcosx+sinx 5. 设 f（ x） =x2 2x 4 lnx，则函数 f（ x）的增区间为 A. （ 0， +? ） B. （ ? ， 1），（ 2， +? ） C. （ 2， +? ） D. （ 1， 0） 6. 若复数 z=（ x2 4） +（ x+3） i（ x R），则“ z是纯虚数”是“ x=2”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数 f（ x）的定义域为开区间（ a， b），其导函数
3、f（ x）在（ a， b）内的图象如图所示，则函数 f（ x）在开区间（ a， b）内极小值点的个数为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 直线 y=3x与曲线 y=x2围成图形的面积为 - 2 - A. 227 B. 9 C. 427 D. 29 9. 若函数 y=f（ x）的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（ x）具有 T性质 . 下列函数中具有 T性质的是 A. y=sinx B. y=lnx C. y=ex D. y=x3 10. 函数 f（ x） =x3 3x 1，若对于区间 3， 2上的任意 x1， x2，都有 |f（ x1） f
4、（ x2）| t，则实数 t的最小值是 A. 20 B. 18 C. 3 D. 0 11. 设函数 f（ x）是奇函数 f（ x）的导函数， f（ 1） =0，当 x0时， xf（ x） f（ x）0 成立的 x的取值范围是 A. （ ? ， 1） ? （ 0， 1） B. （ 1， 0） ? （ 1， +? ） C. （ ? ， 1） ? （ l， 0） D. （ 0， 1） ? （ 1， +? ） 12. 设函数 f（ x） =（ x 2） lnx ax+l，若存在唯一的整数 x0，使得 f（ x0） 0，则 ab类比得已知 z1， z2 C，若 z1 z20，则 z1z2； 由向量加法的
5、几何意义可以类比得到复数加法的几何意义 . 其中推理结论正确的是 _. 14. 如图，函数 y=f（ x）的图象在点 P处的切线方程是 y= x+8，则 f（ 2018） +f（ 2018）=_. - 3 - 15. 已知函数 f（ x） =ex 2x+a有零点，则 a的取值范围是 _. 16. 已知函数 f（ x） =x3+ax2+bx+a2在 x=l处有极值 10，则（ a， b） =_. 17. 函数 f（ x） =ax3+bx2+cx的图象如图所示，且 f（ x）在 x=x0与 x= 1处取得极值，给出下列判断： f（ 1） +f（ 1） =0； f（ 2） 0； 函数 y=f（ x）
6、在区间（ ? ， 0）上是增函数 . 其中正确的判断是 _. （写出所有正确判断的序号） 18. 对于函数 f（ x） =（ 2x x2） ex （ 2 ， 2 ）是 f（ x）的单调递减区间； f（ 2 ）是 f（ x）的极小值， f（ 2 ）是 f（ x）的极大值； f（ x）有最大值，没有最小值； f（ x）没有最大值，也没有最小值 . 其中判断正确的是 _. 三、解答题：本大题共 4小题，每小题 15 分，共 60 分 . - 4 - 19. 已知函数 f（ x） =ax3+x2a R. 在 x=34处取得极值 . （ I） 确定 a的值； （ II）若 g（ x） =f（ x） ex
7、，讨论 g（ x）的单调性 . 20. 设 f（ x） =a（ x 5） 2+6lnx，其中 a R，曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线与y 轴相交于点（ 0， 6） . （ I）确定 a的值； （ II）求函数 f（ x）的单调区间与极值 . 21. 已知函数 f（ x） =ex+ax?1. （ I）当 a=21 时，求函数 f（ x）在 x=0处的切线方程； （ II）函数 f（ x）是否存在零点 ?若存在，求出零点的个数；若不 存在，请说明理由 . 22. 已知函数 f（ x） = xx 1ln? ax. （ I）当 a=2时，（ i）求曲线 y=f（ x）在点（ 1，
8、 f（ 1）处的切线方程； （ ii）求函数 f（ x）的单调区间； （ II）若 10，故 g（ x）为增函数； 当 10时， g（ x） 0，故 g（ x）为增函数 . 综上知， g（ x）在（ ? ， 4）和（ l， 0）内为减函数，在（ 4， 1）和（ 0， +）内为增函数 . 20. 解：（ I）因 f（ x） =a（ x 5） 2+6 lnx，故 f（ x） =2a（ x 5） +x6 . 令 x=1，得 f（ 1） =16a， f （ 1） =6 8a，所以曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y 16a=6 8a（ x 1），由点（ 0， 6）在切线上可得
9、 6 16a=8a 6，故 a=21 . （ II）由（ I）知 f（ x） =21 （ x 5） 2+6lnx（ x0）， f（ x） =x 5+x6 = xxx )3)(2( ? . - 6 - 令 f（ x） =0，解得 x1=2， x2=3. 当 03时， f（ x） 0，故 f（ x）在（ 0， 2），（ 3， +? ）上为增函数； 当 20， ax?1 0，所以 f（ x） =ex+ ax?1 0， 即 f（ x）在区间（ a， +）上没有零点 . 当 x（， a）时， f（ x） =ex+ ax?1 = ax axex ? ? 1)( ， 令 g（ x） =ex（ x a） +1
10、，只要讨论 g（ x）的零点即可 . g（ x） =ex（ x a+1）， g（ a 1） =0. 当 x（， a 1）时， g（ x） 0， g（ x）是增函数， 所以 g（ x）在区间（， a）上的最小值为 g（ a 1） =1 ea 1. 当 a=1时， g（ a 1） =0，所以 x=a 1是 f（ x）的唯一的零点； 当 a0，所以 f（ x）没有零点； 当 al时， g（ a 1） =1 ea 10，且 lnx0，则 f（ x） 0. 在区间（ 1， +? ）上 2 2x20， f（ x） 0. 设 h（ x） =ax2 x+1 lnx，只须证 h（ x） 0成立 . 因为 h（ x） =2ax 1x1= x xax 12 2 ? ， 10. 则 h（ x）的最小值为 h（ x0） =ax20 x0+1 lnx0 =000 ln121 xxx ?=00 ln23 xx ?. 又 h（ 1） =2a 20， h（ 21 ） =2（ 232?a ） =a 30， lnx00. 因此 23 0x? lnx00，即 h（ x0） 0. 所以 h（ x） 0 所以 f（ x） 1.
