1、专题层级快练专题层级快练(三十三十) 1.如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共线的 一点 C(ABC 的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)，然后给出了三种测量方案： 测量 A，C，b；测量 a，b，C；测量 A，B，a，则一定能确定 A，B 间的距离的方案 的序号为( ) A B C D 答案 D 解析 由题意可知， 在三个条件下三角形均可唯一确定， 通过解三角形的知识可求出 AB.故选 D. 2.(2019 广东中山上学期期末)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧， 在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距
2、离为 50 m，ACB45，CAB105后， 就可以计算出 A，B 两点的距离为( ) A50 2 m B50 3 m C25 2 m D.25 2 2 m 答案 A 解析 由题意， 得 B30.由正弦定理， 得 AB sinACB AC sinB， AB AC sinACB sinB 50 2 2 1 2 50 2 (m)故选 A. 3 有一长为 1 千米的斜坡， 它的倾斜角为 20， 现要将倾斜角改为 10， 则斜坡长为( ) A1 千米 B2sin10 千米 C2cos10 千米 Dcos20 千米 答案 C 解析 由题意知 DCBC1，BCD160，BD2DC2CB22DC CB co
3、s1601 1211 cos(18020)22cos204cos210，BD2cos10. 4.(2019 湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D， 测得BCD15， BDC30， CD 30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB( ) A5 6 B15 3 C5 2 D15 6 答案 D 解析 在BCD 中，CBD18045135.由正弦定理得 BC sin30 30 sin135，所以 BC15 2.在 RtABC 中，ABBCtanACB15 2 315 6.故选 D. 5一个大型喷水池的中央有一个强
4、力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在 喷水柱正西方向的点 A 处测得水柱顶端的仰角为 45， 沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到 达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是( ) A50 m B100 m C120 m D150 m 答案 A 解析 设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在ABC 中，A60，ACh，AB100， BC 3h， 根据余弦定理得( 3h)2h210022 h 100 cos60，即 h250h5 0000，即(h50)(h 100)0，即 h50，故水柱的高度是 50 m. 6.(2014 课标全国)如图所示，为测量山高
5、 MN，选择 A 和另一座山 的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75.从 C 点测得MCA 60，已知山高 BC100 m，则山高 MN_m. 答案 150 解析 在ABC 中，AC100 2，在MAC 中， MA sin60 AC sin45，解得 MA100 3，在 MNA 中， MN 100 3sin60 3 2 ，故 MN150，即山高 MN 为 150 m. 7 (2020 江西南昌市模拟)某高一学习小组为测出一绿化区域的面积， 进行了一些测量工作， 最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，AB2
6、km，BC 1 km，BAD45，B60，BCD105，则该绿化区域的面积是_km2. 答案 6 3 4 解析 如图，连接 AC，由余弦定理可知 AC AB2BC22AB BC cosB 3 km， 故ACB90， CAB30， DACDCA15， ADC150.由正弦定理，得 AC sinADC AD sinDCA ，即 AD ACsinDCA sinADC 3 6 2 4 1 2 3 2 6 2 (km)， 故 S四边形ABCDSABCSADC1 21 3 1 2 3 2 6 2 2 1 2 6 3 4 (km2) 8(2020 河北唐山摸底)一艘海监船在某海域实施巡航监视，由 A 岛向正
7、北方向行驶 80 海 里到 M 处， 然后沿东偏南 30方向行驶 50 海里至 N 处， 再沿南偏东 30方向行驶 30 3海 里至 B 岛，则 A，B 两岛之间的距离是_海里 答案 70 解析 在AMN 中， 由余弦定理得 AN2AM2MN22AM MN cosAMN AN70. cosMANAM 2AN2MN2 2AMAN 11 14. cosANBcos(30MAN)3 3 14 . 由余弦定理得 AB AN2NB22 AN NB cosANB， 代数得 AB70. 在ANB 中，AB70. 9(2020 衡水中学调研)衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部 门欲在该地上建造一个
8、底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状 分别为ABC，ABD，经测量 ADBD7 米，BC5 米，AC8 米，C D. (1)求 AB 的长度； (2)若环境标志的底座每平方米造价为 5 000 元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建 造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？( 31.732， 21.414) 答案 (1)7 米 (2)小李的设计建造费用较低，为 86 600 元 解析 (1)在ABC 中，由余弦定理，得 cosCAC 2BC2AB2 2ACBC 8 252AB2 285 . 在ABD 中，由余弦定理，得 cosD7 272AB2 277 . 由CD，得 cos
9、CcosD. AB7，AB 长为 7 米 (2)小李的设计建造费用较低，理由如下： SABD1 2ADBDsinD，SABC 1 2ACBCsinC. ADBDACBC，SABDSABC. 故选择ABC 建造环境标志费用较低 ADBDAB7，ABD 是等边三角形，D60.SABC10 3101.732 17.32. 总造价为 5 00017.3286 600(元) 10(2020 上海市徐汇区模拟)如图，某快递小哥从 A 地出发，沿小路 ABBC 送快件到 C 处，平均速度为 20 公里/时，已知 BD10 公里， DCB45，CDB30，ABD 是等腰三角形，ABD120. (1)试问，快递
10、小哥能否在 50 分钟内将快件送到 C 处？ (2)快递小哥出发 15 分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车 沿大路 ADDC 追赶，若汽车平均速度为 60 公里/时，问汽车能否先到达 C 处？ 答案 (1)不能 (2)能 解析 (1)由题意知，AB10 公里， 在BCD 中，由 BD sin45 BC sin30，得 BC5 2(公里)， 快递小哥行走的路程为 ABBC105 2(公里)， 其需要的时间 t105 2 20 6051.21(分)， 因为 51.2150，所以快递小哥不能在 50 分钟内将快件送到 C 处 (2)在ABD 中，由 AD2AB2BD22ABBDcos12010210221010 1 2 300， 得 AD10 3(公里)， 在BCD 中，CBD105，由 CD sin105 5 2 sin30， 得 CD5(1 3)(公里)， 则汽车到达 C 处所需时间 t10 35（1 3） 60 60152015 345.98(分)， 因为 45.9851.21，所以汽车能先到达 C 处
