1、题组层级快练题组层级快练(六十三六十三) 1(2020 辽宁省实验中学期中)已知 F1，F2分别为椭圆x 2 25 y2 9 1 的左、右焦点，过点 F1的 直线交椭圆于 A，B 两点若|F2A|F2B|12，则|AB|( ) A6 B7 C5 D8 答案 D 解析 本题考查椭圆焦点三角形的周长由椭圆方程可知 a5，由题意可得|AF1|AF2| |BF1|BF2|2a，ABF2的周长为 4a20.若|F2A|F2B|12，则|AB|20128.故选 D. 2已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点， 若 AB 的中点为
2、 M(1，1)，则 E 的方程为( ) A.x 2 45 y2 361 B.x 2 36 y2 271 C.x 2 27 y2 181 D.x 2 18 y2 9 1 答案 D 解析 kAB01 31 1 2，kOM1，由 kABkOM b2 a2，得 b2 a2 1 2，a 22b2.c3，a2 18，b29，椭圆 E 的方程为x 2 18 y2 9 1. 3已知椭圆 C：y 2 9 x21，过点 P 1 2， 1 2 的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB 的方程为( ) A9xy40 B9xy50 C2xy20 Dxy50 答案 B 解析 设 A(x1
3、，y1)，B(x2，y2)，因为 A，B 在椭圆y 2 9 x21 上，所以 y12 9 x121， y22 9 x221， 两式 相减得y1 2y 2 2 9 x12x220，得（y1y2）（y1y2） 9 (x1x2)(x1x2)0，又弦 AB 被点 P 1 2， 1 2 平分，所以 x1x21，y1y21，将其代入上式得y1y2 9 x1x20，得y1y2 x1x2 9，即直线 AB 的斜率为9，所以直线 AB 的方程为 y1 29 x1 2 ，即 9xy50. 4椭圆x 2 16 y2 4 1 上的点到直线 x2y 20 的最大距离是( ) A3 B. 11 C2 2 D. 10 答案
4、 D 解析 设椭圆x 2 16 y2 4 1 上的点 P(4cos，2sin)，则点 P 到直线 x2y 20 的距离为 d|4cos4sin 2| 5 4 2sin 4 2 5 ，dmax|4 2 2| 5 10. 5椭圆 ax2by21(a0，b0)与直线 y1x 交于 A，B 两点，过原点与线段 AB 中点的 直线的斜率为 3 2 ，则b a的值为( ) A. 3 2 B.2 3 3 C.9 3 2 D.2 3 27 答案 B 解析 方法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ax12by121，ax22by221， 即 ax12ax22(by12by22)，则by1 2by 2
5、 2 ax12ax221， b（y1y2）（y1y2） a（x1x2）（x1x2）1， b a(1) 3 2 1，b a 2 3 3 ，故选 B. 方法二：由 y1x， ax2by21消去 y，得(ab)x 22bxb10， 可得 AB 中点 P 的坐标为 b ab， a ab ，kOPa b 3 2 ，b a 2 3 3 . 6(2020 衡水中学调研卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)和直线 l： x 4 y 31，若过椭圆 C 的左焦点和下顶点的直线与 l 平行，则椭圆 C 的离心率为( ) A.4 5 B.3 5 C.3 4 D.1 5 答案 A 解析 本题考查建立齐
6、次式求椭圆的离心率因为直线 l 的斜率为3 4，且过椭圆 C 的左焦 点和下顶点的直线与直线 l 平行，所以b c 3 4.又 b 2c2a2，即 3 4c 2 c2a2，即25 16c 2a2，所 以离心率 ec a 4 5.故选 A. 7(2017 课标全国)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线 段 A1A2为直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为( ) A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D.1 3 答案 A 解析 点 A1，A2是椭圆的左、右顶点，|A1A2|2a，以线段 A1A2为直径的圆可表示 为 x2y
7、2a2，该圆的圆心为(0，0)，半径为 a.又该圆与直线 bxay2ab0 相切， 圆心(0，0)到直线 bxay2ab0 的距离等于半径， 即|b 0a 02ab| b2（a）2a，整理得 a 23b2. 又在椭圆中，a2b2c2，ec a a2b2 a2 6 3 ，故选 A. 8(2020 宁夏石嘴山期中)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F1(2，0)，过点 F1 且倾斜 角为 30的直线与圆 x2y2b2相交的弦长为 3b，则椭圆的标准方程为( ) A.x 2 8 y 2 4 1 B.y 2 8 x 2 41 C.y 2 16 x2 121 D.x 2 16 y2
8、 121 答案 A 解析 方法一：由左焦点为 F1(2，0)，可得 a2b24，过点 F1且倾斜角为 30的直线的 方程为 y 3 3 (x2)，圆心(0，0)到直线的距离 d 2 3 3 1 3 3 21.由直线与圆 x 2y2b2 相交的弦长为 3b，可得 2 b21 3b，解得 b2，则 a2 2，则椭圆的标准方程为x 2 8 y2 4 1.故选 A. 方法二：设过点 F1且倾斜角为 30的直线为 l，作 OM直线 l，交于点 M，则|F1M| 3 2 b. 因为直线倾斜角为 30，且|OF1|2，所以|F1M|OF1|cos30，代入得 3 2 b2 3 2 ，所以 b2，所以 a2b
9、2c28，椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 4 1.故选 A. 9(2020 长春市第二次质量监测)已知椭圆x 2 4 y2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且 垂直于长轴的直线交椭圆于 A，B 两点，则ABF1内切圆的半径为( ) A.4 3 B1 C.4 5 D.3 4 答案 D 解析 不妨设点 A 在点 B 上方，由题意知，F2(1，0)，将 F2的横坐标代入方程x 2 4 y 2 3 1 中， 可得点A的纵坐标为3 2， 故|AB|3， 所以ABF1内切圆的半径r 2S C 6 8 3 4， 其中S为ABF1 的面积，C 为ABF1的周长 10(2020 贵阳市质量监
10、测)已知抛物线 x22py(p0)的焦点 F 是椭圆y 2 a2 x2 b21(ab0)的一 个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于 A，B 两点，若FAB 是正三角形，则椭圆的离心 率为( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 3 2 答案 C 解析 如图，由|AB|2b 2 a ，FAB 是正三角形，得 3 2 2b 2 a 2c，化简 可得(2a23b2)(2a2b2)0，所以 2a23b20，所以b 2 a2 2 3，所以椭圆的 离心率 ec a 1b 2 a2 3 3 .故选 C. 11(2020 衡水中学调研)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21
11、(ab0)，则椭 圆在其上一点 A(x0，y0)处的切线方程为x0 x a2 y0y b2 1.试运用该性质解决以下问题，椭圆 C1： x2 a2 y2 b21(ab0)，其焦距为 2，且过点 1， 2 2 ，点 B 为 C1在第一象限中的任意一点，过 B 作 C1的切线 l，l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C，D 两点，则OCD 面积的最小值为 ( ) A. 2 2 B. 2 C. 3 D2 答案 B 解析 由题意可得 2c2，即 c1，a2b21，将点 1， 2 2 代入椭圆方程，可得 1 a2 1 2b2 1，解得 a 2，b1，即椭圆的方程为x 2 2 y21，设 B(x2，
12、y2)，则椭圆 C1在点 B 处的切 线方程为x2 2 xy2y1，令 x0，得 yD 1 y2，令 y0，可得 xC 2 x2，所以 SOCD 1 2 1 y2 2 x2 1 x2y2， 又点 B 为椭圆在第一象限上的点， 所以 x20， y20， x22 2 y221， 即有 1 x2y2 x22 2 y22 x2y2 x2 2y2 y2 x22 x2 2y2 y2 x2 2， 即 SOCD 2， 当且仅当 x22 2 y221 2， 即点 B 的坐标为 1， 2 2 时，OCD 面积取得最小值 2，故选 B. 12直线 m 与椭圆x 2 2 y21 交于 P1，P2两点，线段 P1P2的
13、中点为 P，设直线 m 的斜率为 k1(k10)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2的值为_ 答案 1 2 解析 设 P1(x1，y2)，P2(x2，y2)，P(x中，y中)由点差法可求出y2y1 x2x1 1 2 x2x1 y2y1k1，即 k11 2 x中 y中，而 k2 y中 x中，k1 y中 x中 1 2，即 k1k2 1 2. 13(2020 河北唐山期末)设 F1，F2为椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，经过 F1 的直 线交椭圆 C 于 A，B 两点，若F2AB 是面积为 4 3的等边三角形，则椭圆 C 的方程为 _ 答案 x2 9 y2 6 1
14、解析 由F2AB 是面积为 4 3的等边三角形知，AB 垂直于 x 轴，得b 2 a 3 3 2c，1 22c 2b2 a 4 3，a2b2c2，解得 a29，b26，c23.所以椭圆的方程为x 2 9 y 2 61. 14椭圆 ：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c.若直线 y 3(xc) 与椭圆 的一个交点 M 满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_ 答案 31 解析 由直线 y 3(xc)知其倾斜角为 60， 由题意知MF1F260，则MF2F130，F1MF290. 故|MF1|c，|MF2| 3c. 又|MF1|MF2|2a，(
15、 31)c2a. 即 e 2 31 31. 15(2020 福州市第一次质量抽测)已知椭圆 E： x2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，点 1， 3 2 在 E 上 (1)求 E 的方程； (2)设直线 l：ykx2 与 E 交于 A，B 两点，若OA OB 2(O 为坐标原点)，求 k 的值 答案 (1)x 2 4y 21 (2)k 42 6 解析 (1)由题意得 ec a 3 2 ，所以 c 3a 2 ， 所以 b2a2c21 4a 2 又点 1， 3 2 在 E 上，所以 1 a2 3 4 b21 联立，解得 a2， b1， 所以椭圆 E 的方程为x 2 4 y21.
16、(2)设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 联立得 x 2 4 y21， ykx2 消去 y，得(14k2)x216kx120. 由 (16k)248(14k2)0，得 k23 4. 由根与系数的关系得 x1x2 16k 14k2，x1x2 12 14k2. OA OB x1x2y1y2 x1x2(kx12)(kx22) (1k2)x1x22k(x1x2)4 (1k2) 12 14k22k 16k 14k24 1220k 2 14k2 4， 因为OA OB 2， 所以1220k 2 14k2 42， 得 k27 6 3 4， 所以 k 42 6 . 16(2020 洛阳
17、市第二次统考)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，O 为坐标原点，F( 2，0) 为椭圆 C 的左焦点，离心率为 2 2 ，直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 M(1，1)是弦 AB 的中点，P 是椭圆 C 上一点，求PAB 面积的最大值 答案 (1)x 2 4 y2 2 1 (2) 62 2 2 解析 (1)F( 2，0)为椭圆 C 的左焦点， c 2， 又离心率为 2 2 ，a2，b 2， 椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 2 1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， M(1，1)是弦 AB 的中点，直线 l 的斜率存在
18、，设斜率为 k， 则直线 l 的方程为 y1k(x1)，即 ykx1k. 由 ykx1k， x2 4 y 2 2 1， 整理得(12k2)x24k(1k)x2(1k)240. 直线与椭圆相交，0 成立 x1x24k（1k） 12k2 ，x1x22（1k） 24 12k2 又 x1x24k（1k） 12k2 2，k1 2， 直线 l 的方程为 x2y30，x1x22，x1x21 3， |AB|1k2|x1x2|1k2 （x1x2）24x1x2 5 2 44 3 10 3 . |AB|是定值，要使PAB 的面积最大，需 P 点到 AB 的距离最大 设与直线 l 平行的直线方程为 x2ym0(m3)， 由 x2ym0， x2 4 y 2 21， 得 6y24mym240， 令 116m224(m24)0，得 m 2 3. P 是椭圆 C 上一点， P 点到 AB 的最大距离，即直线 x2y2 30 到直线 l 的距离 d. 而 d|32 3| 14 32 3 5 ， 此时 SPAB1 2d|AB| 1 2 32 3 5 10 3 62 2 2 . 因此，PAB 面积的最大值为 62 2 2 .
