1、题组层级快练题组层级快练(六十五六十五) 1(2020 南昌市一模)抛物线 y2x2的焦点到准线的距离是( ) A2 B1 C.1 2 D.1 4 答案 D 解析 抛物线标准方程 x22py(p0)中 p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又 p 1 4，故选 D. 2过点 P(2，3)的抛物线的标准方程是( ) Ay29 2x 或 x 24 3y By29 2x 或 x 24 3y Cy29 2x 或 x 24 3y Dy29 2x 或 x 24 3y 答案 A 解析 设抛物线的标准方程为 y2kx 或 x2my，代入点 P(2，3)，解得 k9 2，m 4 3， y29 2x 或 x
2、 24 3y，选 A. 3若抛物线 yax2的焦点坐标是(0，1)，则 a( ) A1 B.1 2 C2 D.1 4 答案 D 解析 因为抛物线的标准方程为 x21 ay，所以其焦点坐标为 0， 1 4a ，则有 1 4a1，a 1 4，故 选 D. 4若抛物线 y22px 上一点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为( ) Ay24x By26x Cy28x Dy210 x 答案 C 解析 抛物线 y22px，准线为 xp 2. 点 P(2，y0)到其准线的距离为 4， p 22 4. p4，抛物线的标准方程为 y28x. 5(2016 课标全国)以抛物线 C 的顶点为圆
3、心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D， E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为( ) A2 B4 C6 D8 答案 B 解析 由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，由|AB|4 2，|DE|2 5，可取 A 4 p，2 2 ，D p 2， 5 ，设 O 为坐标原点，由|OA|OD|，得 16 p28 p2 4 5，得 p4， 所以选 B. 6抛物线 y4x2关于直线 xy0 对称的抛物线的准线方程是( ) Ay1 By 1 16 Cx1 Dx 1 16 答案 D 解析 抛物线 x21 4y 的准线方程为 y 1 16，关于 xy 对称
4、的准线方程 x 1 16为所求 7(2020 福建厦门第二次质量检查)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线与曲 线 C 交于 A，B 两点，|AB|6，则 AB 中点到 y 轴的距离是( ) A1 B2 C3 D4 答案 B 解析 由 y24x，得 F(1，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|等于点 A 到准线 x1 的 距离 x11；同理，|BF|等于点 B 到准线 x1 的距离 x21.所以|AB|AF|BF|(x11) (x21)6， 得 x1x24， 中点横坐标为 x0 x1x2 2 2， 所以 AB 中点到 y 轴的距离是|x0| 2，故选 B
5、. 8(2020 合肥质检)已知抛物线 y22px(p0)上一点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 MF 的斜率为( ) A 3 B1 C3 4 D 3 3 答案 A 解析 设 M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|xMp 22p，解得 xM 3p 2 ，代入抛物线方程 可得 yM 3p，则直线 MF 的斜率为 yM xMp 2 3p p 3，选项 A 正确 9(2019 太原一模)已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，ABC 的顶点都在抛物线上，且 满足FA FB FC 0，则 1 kAB 1 kBC 1 kCA( ) A0 B1 C2 D2p 答案 A 解析 设点 A(x
6、1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， F p 2，0 ， 则 x1p 2，y1 x2p 2，y2 x3p 2，y3 (0，0)，故 y1y2y30. 1 kAB x2x1 y2y1 1 2p（y2 2y 1 2） y2y1 y2y1 2p ，同理可知 1 kBC y3y2 2p ， 1 kCA y3y1 2p ， 1 kAB 1 kBC 1 kCA 2（y1y2y3） 2p 0. 10(2020 南昌市二模)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 K，P 是抛物 线上一点，若|PF|5，则PKF 的面积为( ) A4 B5 C8 D10 答案 A
7、 解析 由抛物线 y24x，知p 21，则焦点 F(1，0)设点 P y02 4 ，y0，则由|PF|5，得 y02 4 1 2 y025，解得 y0 4，所以 SPKF1 2p|y0| 1 2244，故选 A. 11(2020 沧州七校联考)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5， 若以 MF 为直径的圆过点(0，2)，则 C 的方程为( ) Ay24x 或 y28x By22x 或 y28x Cy24x 或 y216x Dy22x 或 y216x 答案 C 解析 方法一：设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|x0p 25，则 x0
8、5 p 2. 又点 F 的坐标为 p 2，0 ，所以以 MF 为直径的圆的方程为(xx0) xp 2 (yy0)y0. 将 x0，y2 代入得 px084y00，即y0 2 2 4y080，所以 y04. 由 y022px0，得 162p 5p 2 ，解之得 p2 或 p8. 所以 C 的方程为 y24x 或 y216x.故选 C. 方法二：由已知得抛物线的焦点 F p 2，0 ，设点 A(0，2)，抛物线上点 M(x0，y0)，则AF p 2，2 ，AM y02 2p，y02 . 由已知，得AF AM 0，即 y028y0160，因而 y04，M 8 p，4 . 由抛物线定义可知，|MF|8
9、 p p 25. 又 p0，解得 p2 或 p8，故选 C. 12已知定点 Q(2，1)，F 为抛物线 y24x 的焦点，动点 P 为抛物线上任意一点，当|PQ| |PF|取最小值时，P 的坐标为_ 答案 1 4，1 解析 设点 P 在准线上的射影为 D，则根据抛物线的定义可知|PF|PD|，要使|PQ|PF| 取得最小值，即 D，P，Q 三点共线时|PQ|PF|最小将 Q(2，1)的纵坐标代入 y24x 得 x1 4，故 P 的坐标为 1 4，1 . 13下图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米水位下降 1 米后， 水面宽_米 答案 2 6 解析 建立如图所示
10、的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为 x22py(p0)， 由点(2，2)在抛物线上，可得 p1，则抛物线方程为 x22y. 当 y3 时，x 6， 所以水面宽为 2 6 米 14已知抛物线 x24y 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，过 P 作 PAl 于点 A， 当AFO30(O 为坐标原点)时，|PF|_ 答案 4 3 解析 设 l 与 y 轴的交点为 B，在 RtABF 中，AFB30，|BF|2，所以|AB|2 3 3 . 设 P(x0，y0)，则 x0 2 3 3 ，代入 x24y 中，得 y01 3，从而|PF|PA|y01 4 3. 15(2017 课标全国，理)已
11、知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延 长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|_ 答案 6 解析 由 y28x，得 p4，焦点为 F(2，0)，准线 l：x2. 如图，M 为 FN 的中点过 M 作 MEl 于点 E，过点 N 作 NHl 于点 H，则易知线段 EM 为梯形 AFNH 的中位线 |HN|2，|AF|4， |ME|1 2(|HN|AF|)3. 又由抛物线的定义知|ME|MF|，且|MN|MF|， |FN|NM|MF|2|ME|236. 16(2020 湖北恩施一中开学考)长为 2 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2x 上滑
12、动，则线 段 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小值是_ 答案 3 4 解析 设抛物线 y2x 的焦点为 F，准线为 l，点 A，B，M 在 l 上的射影 分别为点 C，D，N，连接 AC，BD，MN，如图由梯形的中位线定理， 可得|MN|1 2(|AC|BD|) 连接 AF， BF， 根据抛物线的定义得|AF|AC|， |BF|BD|.根据平面几何知识，可得|AF|BF|AB|，当且仅当点 F 在 AB 上时取等号，|AC|BD|AB|2，|MN|1 2(|AC|BD|) 1 2|AB|1. 设点 M 的横坐标为 a，抛物线 y2x 的准线方程为 x1 4，则|MN|a 1 41，解得 a
13、3 4. 因此，当且仅当线段 AB 为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点 M 到 y 轴的距离最小值为3 4. 17抛物线 y22px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方 程为 y2x，斜边长为 5 13，求此抛物线方程 答案 y24x 解析 设抛物线y22px(p0)的内接直角三角形为AOB， 直角边OA所在直线方程为y2x， 则另一直角边所在直线方程为 y1 2x. 解方程组 y2x， y22px，可得点 A 的坐标为 p 2，p ； 解方程组 y1 2x， y22px， 可得点 B 的坐标为(8p，4p) |OA|2|OB|2|AB|2，且|AB|5 13，
14、 p2 4p 2 (64p216p2)325. p2，所求的抛物线方程为 y24x. 18 (2018 上海春季高考题)利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面， 所得截线是抛物线”的 几何原理， 某快餐店用两个射灯(射出的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识， 如图 1 所示， 图 2 是投影射出的抛物线的平面图， 图 3 是一个射灯投影的直观图， 在图 2 与图 3 中， 点 O， A，B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OCAB 于 C，AB3 米，OC4.5 米 (1)求抛物线的焦点到准线的距离； (2)在图 3 中，已知 OC 平行于圆锥的母线 SD，AB，DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线 与轴的夹角的正弦值(精确到 0.001) 答案 (1)1 4 (2)0.167 解析 (1)如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 y 轴，建系 B(1.5，4.5) 设抛物线方程为 x22py. 点 B(1.5，4.5)在抛物线上 p1 4.焦点到准线距离为 1 4. (2)如图，C 为 DE 中点，OCSD，O 为 SE 中点 SCDE，OC4.5，SE2OC9. DEAB3，CE1.5. sinCSECE SE 1.5 9 0.167.圆锥的母线与轴的夹角的正弦值均为 0.167.
