1、 - 1 - 上学期 高 二数学 期末模拟 试题 03 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1. 原点到直线 052 ? yx 的距离为（ ） A 1 B 3 C 2 D 5 2 若命题 “ qp? ” 为假，且 “ p? ” 为假，则 ( ) . A p 或 q 为假 B q 假 C q 真 D 不能判断 q 的真假 3设 b/a1 , 2 ) ,-( 6 , 2b),1 , 0 , 2( ? ? ?a ，则与的值分别（ ） A 5,2 B 11,52 C 5， 2 D 11,52? 4.下列命题中，真命 题是（ ） A. 0, 00 ? xeRx B. 22, xRx x ? C.
2、a+b=0的充要条件是 ab =-1 D.a1,b1是 ab1的充分条件 5. 设动点 P 到直线 3x? 的距离与它到点 (1,0)A 的距离之比为 3 ，则点 P 的轨迹方程是 A. 22132xy? B. 22132xy? C. 22( 1) 132xy? ? D. 22123xy? 6.设函数 () xf x xe? ，则（ ） A. 1x? 为 ()fx的极大值点 B. 1x? 为 ()fx的极小值点 C. 1x? 为 ()fx的极大值点 D. 1x? 为 ()fx的极小值点 7. 双曲线 221xyab?的渐近线与圆 22( 2) 1xy? ? ?相切，则其离心率为（ ） A. 2
3、 B. 3 C. 2 D. 3 8. 已知平行六面体 ABCD ABC D? 中， AB=4， AD=3， 5AA? ， 090BAD?， 060BAA D AA? ? ? ?，则 AC 等于（ ） A 85 B 85 C 52 D 50 9. 点 P 是抛物线 xy 42? 上一动点，则点 P 到点 (0, 1)A ? 的距离 - 2 - 与到直线 1?x 的距离和的最小值是（ ） A. 5 B 3 C 2 D. 2 10. 如图 ， 点 P在正方形 ABCD所在平面外， PA 平面 ABCD， PA AB，则 PB与 AC所成的角是 ( ) A 90 B 60 C 45 D 30 11.椭
4、圆 1416 22 ? yx 上的点到直线 022 ? yx 的最大距离是 ( ) A 22 B. 3 C. 10 D. 11 12. 已知点 P 在曲线 12 xye? 上，点 Q 在曲线 ln(2 )yx? 上，则 PQ 最小值为（ ） A 1 ln2? B. 2(1 ln2)? C.1 ln2? D. 2(1 ln2)? 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13若 )1,3,2( ?a ， )3,1,2(?b ，则以 ba, 为邻边的平行四边形面积为 14. 如图，四棱锥 PABCD的底面是正方形， PD 底面 ABCD， 且 PD 2AB，点 E为 PB 的中点 ，则 AE 与
5、平面 PDB所成的 角的大小 为 。 15. 设 12,FF为双曲线 2 2 14x y?的焦点，点 P在双曲线上， 且满足 120PF PF?，则 12FPF? 的面积是 。 16.设函数 ln , 0()2 1, 0xxfx ? ? ? ?， D 是由 x 轴和曲线 ()y f x? 及该曲线在点 (1,0) 处的切线所 围成的封闭区域，则 2z x y? 在 D 上的最大值为 . 三、解答题（ 本大题共 6小题，共 70分 ） 17. (10分 )设命题 p： ? ?24 3 1x?；命题 q： ? ? ? ?2 2 1 1 0x a x a a? ? ? ? ?，若 p? 是 q? 的
6、必要条件，求实数 a的取值范围。 18.（ 12分） 用长为 90cm， 宽为 48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器 ， 先在四角分别截去一个小正方形 ， 然后把四边翻转 90 角 ， 再焊接而成 (如图 )， 问该容器的高为多少时 ， 容器的容积最大 ？ 最大容积是多少 ？ x x - 3 - 19. (12分 )已知双曲线与椭圆 12449 22 ?yx 共焦点，且以 xy 34? 为渐近线。 （ 1）求双曲线方程 （ 2）求过双曲线右焦点且倾斜角为 3? 的直线方程。 20. (12分 ) 如图，边长为 2的等边 PCD所在的平面垂直于 矩形 ABCD所在的平面， BC 2 2， M为
7、BC 的中点 (1)证明： AM PM； (2)求二面角 P AM D的大小 21.（ 12 分） 已知二次函数 ()fx满足： (1)在 1x? 时有极值； (2)图象过点 03（ ， ） ，且在该点处的 切线与直线 20xy? 平行 (I)求 ()fx的解析式； (II)求函数 2( ) ( )g x f x? 的单调递增区间 . 22.（ 12 分）椭圆2222 byax ? （ a b 0）的离心率 36?e ，过点 A（ 0， -b）和 B（ a， 0）的直线与原点的距离为 23 （ 1）求椭圆的方程（ 2）已知定点 E（ -1， 0）， 若直线 y kx 2（ k 0） 与椭圆交于
8、 C、 D两点问：是否存在 k的值，使以 CD为直径的圆过 E点 ?请说明理由 - 4 - 参考答案 一、选择题： DBBD ADCB DBCB 二、填空题： 13、 56 14、 45 15、 1 16、 2 三、解答题： 17. 解：由已知 1: 1 ; q :a 1 2p x x a? ? ? ? ?， , ,p q p q? ? ? ? ? ? ?1| 1 | a 1 2x x x x a? ? ? ? ? ? ?1a 10 2 21 1 aa? ? ? ? ?故实数 a的取值范围是 10 2a? 18、 解：设该容器的高为 xcm。容器的容积为 ycm3。依题意有 y=(90 2x)
9、(48 2x)x (0x24) 即 y=4(x3 69x2+1080x) y? =4(3x2 138x+1080)=12(x 10)(x 36)=0 x=10 x=36(舍去 ) 当高为 10cm时，容器的容积最大，最大容积是 19600cm3 19.解：（ 1）椭圆的焦 点坐标为 ）（ 0,5? 设双曲线方程为 0)b0,(a1-2222 ?byax 则渐近线方程为 xbyax aby0 ? 即 ，所以?342522abba 解得?16922ba 则双曲线方程为 116-9 22 ?yx 。 （ 2） ?直线的倾斜角为 3? ， ?直线的斜率为 3 ，故直线方程为 3?y 5)-(x 即 0
10、35-3 ?yx 20. (1)证明：如图所示，取 CD的中点 E，连接 PE， EM， EA， PCD为正三角形， PE CD， PE 2sin60 3. 平面 PCD 平面 ABCD， PE 平面 ABCD，而 AM?平面 ABCD， PE AM. 四边形 ABCD是矩形， ADE， ECM， ABM均为直角三角形， 由勾股定理可求得 EM 3， AM 6， AE 3， EM2 AM2 AE2. AM EM.又 PEEM E， AM 平面 PEM， AM PM. (2)解：由 (1)可知 EM AM， PM AM， PME是二面角 P AM D的平面角 tan PME PEEM 33 1，
11、 PME 45. 二面角 P AM D的大小为 45. （可用“向量法”求解） - 5 - 21、 解：（ I）设 2()f x ax bx c? ? ?，则 ( ) 2f x ax b? ? 由题设可得：?,3)0(,2)0(,0)1(fff 即?.3,2,02cbba 解得?.3,2,1cba 所以2( ) 2 3f x x x? ? ? （ II） 2 4 2( ) ( ) 2 3g x f x x x? ? ? ?， 3( ) 4 4 4 ( 1 ) ( 1 )g x x x x x x? ? ? ? ? ? 列表： 由表可得：函数 g(x)的单调递增区间为 ( 1,0)， (1,+)
12、 22. 解析：（ 1）直线 AB方程为： bx-ay-ab 0 依题意?233622 baabac ，解得 ?13ba ， 椭圆方程为 13 22 ?yx （ 2）假若存在这样的 k值，由? ? ? 033 222 yxkxy ， 得 )31( 2k? 09122 ? kxx 0)31(36)12( 22 ? kk 设 1(xC ， )1y 、 2(xD ， )2y ，则? 2212213193112kxxkkxx ， 而 4)(2)2)(2( 212122121 ? xxkxxkkxkxyy 要使以 CD为直径的圆过点 E（ -1，0）， 当且仅当 CE DE 时，则 111 2 21 1 ? ?x yx y，即 0)1)(1( 2121 ? xxyy 05)(1(2)1( 21212 ? xxkxxk 将式代入整理解得 67?k 经验证， 67?k ，使成立 x (-, -1) 1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+) f?(x) 0 + 0 0 + f(x) - 6 - 综上可知，存在 67?k ，使得以 CD 为直径的圆过点 E
