1、3.1函数与方程(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使 的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x)有 .(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数yf(x)在区间 内有零点，即存在c(a，b)，使得 ，这个 也就是方程f(x)0的根.1.函数的零点函数的零点知识梳理f(x)0 x轴零点f(a)f(b)0(a，b)f(c)0c对于在区间a，b上连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的
2、两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2.二分法二分法f(a)f(b)0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系 000)的图象与x轴的交点无交点零点个数(x1,0)，(x2,0)(x1,0)2101.有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.2.三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.知识拓展知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1
3、)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.()(4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点.()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点.()思考辨析思考辨析 1.(教材改编)函数 的零点个数为A.0 B.1 C.2 D.3考点自测答案解析121()()2xf xxf(x)是增函数，又f(0)1，f(1)，f(0)f(1)0，f(x)有且只有一个零点.2.下列函数中，既
4、是偶函数又存在零点的是A.ycos x B.ysin xC.yln x D.yx21答案解析由于ysin x是奇函数；yln x是非奇非偶函数；yx21是偶函数但没有零点；只有ycos x是偶函数又有零点.3.(2016吉林长春检测)函数f(x)ln xx 2的零点所在的区间是A.(，1)B.(1,2)C.(2，e)D.(e,3)答案解析所以f(2)f(e)0，4.函数f(x)2x|log0.5 x|1的零点个数为_.答案解析2由图象知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.5.函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_.答案解析函数f(x)的图象为直
5、线，由题意可得f(1)f(1)0，题型分类深度剖析题型分类深度剖析 题型一函数零点的确定题型一函数零点的确定命题点命题点1确定函数零点所在区间确定函数零点所在区间例例1(1)(2017长沙调研)已知函数f(x)ln x 的零点为x0，则x0所在的区间是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案解析x0(2,3)，故选C.(2)(2016济南模拟)设函数yx3与y()x2的图象的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_.答案解析(1,2)易知f(x)为增函数，且f(1)0，x0所在的区间是(1,2).命题点命题点2函数零点个数的判断函数零点个数的判断
6、答案解析例例2(1)函数f(x)的零点个数是_.2当x0时，令x220，解得x (正根舍去)，所以在(，0上有一个零点；当x0时，f(x)2 0恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数.又因为f(2)2ln 20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是A.多于4 B.4C.3 D.2答案解析由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象，如图，观察图象可以发现它们有4个交点，即函数yf(x)
7、log3|x|有4个零点.思维升华(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.跟踪训练跟踪训练1(1)已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4，)答案解析因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).(2)函数f(x)xcos x2在区间0,4上的零点个数为A.4 B.5C.6 D.7答案解析由f(x)xcos x20，得x0或cos
8、x20.又x0,4，所以x20,16.由于cos(k)0(kZ)，而在 k(kZ)的所有取值中，故零点个数为156.题型二函数零点的应用题型二函数零点的应用例例3(1)函数f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)答案解析因为函数f(x)2x a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)2x a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)f(2)0，所以(a)(41a)0，即a(a3)0，即a210a90，解得a9.又由图象得a0，0a9.几何画板展示引申引申探究探究本例(2)中，若f(x)a恰有四个互异的实数根，
9、则a的取值范围是_.答案解析作出y1|x23x|，y2a的图象如右：当x0或x3时，y10，思维升华已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；解不等式(组)，即得参数的取值范围.(2)方法：常利用数形结合法.跟踪训练跟踪训练2(1)(2016枣庄模拟)已知函数f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则a的取值范围为_.答案解析(2,0)ax2x在(0,1)上有解，函数yx2x，x(0,1)的值域为(0,2)，0a2，2a0.(2)(2015湖南)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_.答案解
10、析(0,2)由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示.则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点.几何画板展示题型三二次函数的零点问题题型三二次函数的零点问题例例4已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.解答方法一方法一设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.方法二方法二函数图象大致如图，则有f(1)0，即1
11、(a21)a20，2a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_.(2)若关于x的方程22x2xaa10有实根，则实数a的取值范围为_.(1，)利用转化思想求解函数零点问题思想与方法系列思想与方法系列4答案解析思想方法指导(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围.(2)“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域解决.几何画板展示(1)函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，即方程axxa0有两个根，即函数yax与函数yxa的图象有两个交点.当0a1时，图象如图所示，此时有两个交点.实数a的取值范围为(1，).返回课时作业课时作业1.设f(
12、x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12345678910111213答案解析f(1)ln 11210，f(1)f(2)1，所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.答案解析123456789101112133.已知三个函数f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零点依次为a，b，c，则A.abc B.acbC.bac D.cab答案解析故f(x)2xx的零点a(1,0).g(2)0，g(x)的零点b2；方法二方法二由f(x)0得2xx；由h(x)0得log2xx，作出函数y2x，ylog2x和y
13、x的图象(如图).由图象易知a0,0c1，而b2，故ac0)的解的个数是A.1 B.2 C.3 D.4答案解析(数形结合法)a0，a211.而y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与ya21的图象总有两个交点.5.已知函数 则使方程xf(x)m有解的实数m的取值范围是A.(1,2)B.(，2C.(，1)(2，)D.(，12，)答案解析当x0时，xf(x)m，即x1m，解得m1；当x0时，xf(x)m，即x m，解得m2，即实数m的取值范围是(，12，).故选D.12345678910111213123456789101112136.已知xR，符号x表示不超过x的最大整数，若函数f(x)
14、a(x0)有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是_.答案解析123456789101112137.若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则不等式af(2x)0的解集是_.答案解析f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x3a)，函数g(x)f(x)b有两个零点，即函数yf(x)的图象与直线yb有两个交点，结合图象(图略)可得ah(a)，即aa2，解得a1，故a(，0)(1，).12345678910111213答案解析因为函数f(x)在R上单调递减，1234567891011121312345
15、678910111213*10.(2016衡水期中)若a1，设函数f(x)axx4的零点为m，函数g(x)logaxx4的零点为n，则 的最小值为_.答案解析1设F(x)ax，G(x)logax，h(x)4x，则h(x)与F(x)，G(x)的交点A，B横坐标分别为m，n(m0，n0).因为F(x)与G(x)关于直线yx对称，所以A，B两点关于直线yx对称.又因为yx和h(x)4x交点的横坐标为2，所以mn4.又m0，n0，1234567891011121312345678910111213解答(1)作出函数f(x)的图象；如图所示.故f(x)在(0,1上是减函数，而在(1，)上是增函数.解答1
16、234567891011121312345678910111213(3)若方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围.解答由函数f(x)的图象可知，当0m1时，方程f(x)m有两个不相等的正根.12.关于x的二次方程x2(m1)x10在区间0,2上有解，求实数m的取值范围.解答显然x0不是方程x2(m1)x10的解，00.又a0，f(x)a(x1)244，且f(1)4a，f(x)min4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.1234567891011121312345678910111213解答令g(x)0，得x11，x23.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值1234567891011121312345678910111213当0 x3时，g(x)g(1)40，g(x)在(3，)上单调递增，g(3)4ln 33，故函数g(x)只有1个零点且零点x0(3，e5).
