1、 - 1 - 上学期 高 二数学 期末模拟 试题 06 完卷时间： 120分钟 满分： 150分 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 命题 “ 若 ab 0，则 a=0 或 b=0” 的否命题是 ( ) A若 ab=0，则 a 0或 b 0 B若 ab=0，则 a 0且 b 0 C若 ab 0，则 a 0或 b 0 D若 ab 0，则 a 0且 b 0 2已知 ABC的顶点 A(1， 1， 1)， B(5， 6， 2)， C(1， m， 1)， 若 ACB=900 ， 则 m等于 ( ) A 0 B 5 C
2、 0或 5 D 不存在 3已知方程 135 22 ? kykx ，该方程表示椭圆的充要条件是 ( ) A 53 ?k B 3?k C 5?k D 453 ? kk 且 4若平面 的一个法 向量 n (2,2,1)，直线 l的一个方向向量为 a (1, 1, 4)，则 l与 所成角的正弦值为 ( ) A 6 29 B 2 29 C 2 29 D 2 29 5 过双曲线 134 22 ? yx 左焦点 1F 的直线交 双 曲线的左支于 MN， 两点， 2F 为其右焦点，则 22MF NF MN?的值为 ( ) A 4 B 8 C 16 D 12 6若 a (1， ， 2)， b (2， 1， 2)
3、， c (1， 4， 4)，且 a、 b、 c 共面，则 ( ) A 1 B 1 C 1或 2 D 1 7已知命题 p： x x| 11+x0，则 ?p是 ( ) A x x| 11+x0 B x x| 11+x0 C x ?x| 11+x0 | D x ?x| 11+x0 8 下列有关 双曲线 132 22 ? yx 的 命题中，叙述正确的 是 ( ) A渐近线方程 y= 63 x B 离心率 e = 102 C 顶点（ 0， 2 ） D 焦点（ 5 ， 0） 9 已知经过点 M（ 4， 0）的直线交抛物线 xy 42? 于 A、 B 两点，则 以线段 AB 为直径的圆与原点的位置关系是 (
4、 ) A 原点在圆内 B 原点在圆上 C 原点在圆外 D 不能确定 10设 Rba ?, ，下列给出 ba, 三个 命题 : “ 存在 0?a ，使得对任意的 b ，都有 1?ba ； “ 任意 0?a ，存在 b 使得 001.0?ba ” ； 存在两个无理数 ba, ， 使得 ba 为有理数 其中真命题的个数是 ( ) A 3 B 2 C 1 D 0 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 4分，共 20 分。把正确答案填在答卷的相应位置上。 11设抛物线方程为 241xy ? ，则该抛物线的焦点坐标是 12直线 1?myx 与双曲线 1: 22 ?yxC 恰有一个交点，则 m 的取值集合是
5、 13 已知经过 椭圆 1416 22 ? yx 左焦点 F 的 一条 直线交 椭圆 于 A、 B 两点 ， 那么线段 AB 长的- 2 - 最小值为 14 已知 正四面体 A-BCD的棱长为 1， O为底面 BCD的中心 ，则 AB AO = 15经过 点 P(4,1)的直线 l 交双曲线 1412 22 ?yx 于 M、 N 两点， 若点 P 恰为线段 MN 中点，则直线 l的 方程为 _ 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本 小题满分 13 分）已知 Rm? ，设命题 P ：关于 x 的不等式 022 ? mmxx 有解；命题 Q
6、 ：直线 mxy ? 与 抛物线 xy 42? 没有公共点 若命题“ P? ”与“ QP? ”都 为真命题 ， 求 m 的取值范围 17.（本小题满分 13 分） 已知椭圆 C： 12222 ?byax (a b 0)的离心率为 21 ，其左焦点到点P(2， 1)的距离为 10 ，过原点作直线 OP的垂线 l交椭圆 C于 A， B两点 (1) 求椭圆 C的方程； (2) 求 ABP的面积 - 3 - A B C D E F P 18.(本小题满分 13分 )如图，四边形 ABCD是矩形， PA 平面 ABCD， AP=AB=2, BC= 22 , E, F分别是 AD, PC的中点 试建立适当
7、的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题： (1) 证明： PC 平面 BEF； (2) 求 平面 PAD与平面 BEF 所成角 19.（本小题满分 13分） 平面直角坐标系中， O为原点，给定两点 A（ 1， 0）、 B（ 0， -2），点 C满足 OBOAOC ? ? ，其中 、 R，且 -2=1 ， (1) 求点 C的轨迹方程； (2) 设点 C的轨迹与双曲线 1222 ?yax （ a 0,b 0）交于两点 M、 N，且 ONOM? ，求 双曲线方程 20（本小题满分 14分）如图， FD垂直于矩形 ABCD 所在平面， CE/DF， 090DEF? (1) 求证： BE/平面 ADF；
8、 (2) 若矩形 ABCD的一个边 AB = 3 ， EF =23，则另一 边 BC的长为何值时， 点 A到平面 BEF的 距离 为 2 ？ 21（ 本小题 满分 14 分）如图所示，过抛物线 2:4C x y? 的对称轴上一点 (0, )( 0)P m m? 作直线 l 与抛物线交于 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点 (1) 求 证： mxx 421 ? ； (2) 若 PBAP ? ，且 )( QBQAPQ ? ，求证： ? A B C D E F - 4 - 参考答案 一、选择题（ 本大题共 10小题，每小题 5分，共
9、50分） 二、填空题（ 本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分） 11. （ 0， -1） 12. 0， 1， -1 13. 2 14. 32 15. 4x-3y-13=0 三、解答题（ 本大题共 6小题， 16-19每小题 13分， 20-21每小题 14分，共 80分） 16.（本小题满分 13分） 解：由已知 关于 x 的不等式 022 ? mmxx 有解 082 ? mm ， 解得 0?m 或 8?m ?5 分 ?当 0?m 或 8?m 时， P是正确的 ?6 分 直线 mxy ? 与 抛物线 xy 42? 没有公共点 , 联立 、 ，消去 x 得 0442 ? myy ?7 分
10、令 0? ，解得 1?m 因此，当 1?m 时， Q是正确的 ?1 0分 P? 与 QP? 都 为真命题 P假且 Q 真 ，画数轴可得： 81 ?m ?1 2分 实数 m的取值范围为 8,1( ?13 分 17.（本小题满分 13分） 解： (1)由题意： 21?ace ； ? 1分 左焦点 ( c， 0)到点 P(2， 1)的距离为： 101)2( 22 ? cd ? 3 分 由可解得： 2 2 24 3 1a b c? ? ?， ， ? 6分 所求椭圆 C的方程为： 134 22 ?yx ? 7分 (2)易得直线 OP的方程： y 21 x，即 x-2y=0 因直线 l过原点且垂直于直线
11、OP，故直线 l的方程： 2x+y=0? 8分 由?,1340222 yxyx 得： 12 4(2x)3x22 ? . 195722,1 ?x ? 10 分 |1| 212 xxkAB ? = 192854 ? 11 分 又 5| ?OP ABP的面积 S= 195720|21 ?OPAB ?13 分 18.（本小题满分 13分） 解： (1)如图 ，建立空间直角坐标系 A-xyz. ?1 分 22,2 ? ADBCABAP ，四边形 ABCD 是矩形 . (0,0,0)A ， (2,0,0)B ， (2,2 2,0)C ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C B B A D
12、 A B A y x z A B C D E F P - 5 - (0 , 2 2 , 0 ), (0 , 0 , 2 )DP? 2分 又 E,F分别是 AD,PC的中点， (0 , 2 , 0 ), (1, 2 ,1)EF ( 2 , 2 2 , 2 ) , ( 1 , 2 ,1 ) , ( 1 , 0 ,1 )P C B F E F? ? ? ? ?,?4 分 0242 ? BFPC ， 0202 ? EFPC 分 ,PC BF PC EF?6 又 ,BF EF F? PC? 平面 BEF ? 8分 (2)由（ 1） 知平面 BEF 的法向量 ： )2,22,2(1 ? PCn 平面 BE
13、F的法向量 ： )0,0,2(2 ? ABn ?10 分 设平面 BEF与平面 BAP的夹角为， 则2142 4| |,c o s|c o s 21 2121 ? nn nnnn?， ?1 2分 060? ， 平面 BEF与平面 BAP的所成角为 060?13 分 19.（本小题满分 13分） 解 :（ 1）设 C（ x， y），因为 OC = OA+ OB ， 则（ x， y） = （ 1， 0） + （ 0， -2） ? 2分 ? ? .2,?yx -2 =1,x+y=1. ? 4分 即点 C的轨迹方程为 x+y=1. ? 5分 （ 2） 由?,1,1222 yaxyx 得 ： 02ax2
14、a-x)1-(a2222 ? 6分 由题意 ,得 a2-10 ，设 M（ x1， y1）， N（ x2， y2） , 则： x1+x2= 1222?aa ， x1x2= 1222?aa .? 8分 因为 ONOM? ， ONOM? =0， 即 x1x2+y1y2=0, ? 9分 x1x2+(1-x2)(1-x2) =1-(x1+x2)+2x1x2 =1 14122222 ? a aa a =0, ? 11分 即 1-3a2=0, 得 312?a 双曲线 方程为 13 22 ?yx ? 13 分 20.（ 本小题满分 14分 ） 解 ：（ 1） 法 1： 过点 E作 CD 的平行线交 DF 于点
15、 M， 连接 AM 因为 CE/DF，所以四边形 CEMD是平行四边形 可得 EM = CD且 EM /CD， 于是四边形 BEMA也是平行四边形， 所以有 BE/AM，而直线 BE 在平面 ADF外， 所以 BE/平面 ADF ? ?5 分 法 2： 以直线 DA为 x轴，直线 DC 为 y轴，直线 DF为 z轴， 建立空间直角坐标系 ? ? 1分 A B C D E M F x y z - 6 - 则平面 ADF的一个法向量为 (0,1,0)n? 设 AB = a， BC = b， CE = c， 则点 B、 E的坐标分别为（ b， a， 0）和（ 0， a， c）， ? ? 3分 那么向
16、量 ( ,0, )BE b c? ? 可知 (0 , 1 , 0 ) ( , 0 , ) 0n B E b c? ? ? ? ?，得 n BE? ， 而直线 BE在平面 ADF 的外面，所以 BE/平面 ADF ? 6 分 （ 2）由 EF =23， EM = AB = 3 ，得 FM = 3且 030MFE? 由 090DEF?可得 FD = 4，从而得 CE =1 ? ? 7分 设 BC = a，则点 B的坐标为（ a， 3 ， 0） 又点 E、 F的坐标分别为（ 0， 3 ， 1）和（ 0， 0， 4）， 所以 ( ,0, 1)EB a? ?， (0, 3,3)EF? ? ? ? 9分 设平面 BEF的一个法向量为 ),( zyxm? ， 则?00EFmEBm?0330zyzax ， 取 1?x ，得 ),3,1( aam? ? ? 11 分 易知向量 )0,3,0(?AB ， 设点 A到平面 BEF的距离为 d： 则2413| | aam mABd ? ? ? ?1 2分 由 已知点 A到平面 BEF的 距离为 2 ， 所以 241 3 2 ? aa，可得 2?a ?1 3分 所以 当 另一边 BC 的长为 2 时， 点 A到平面 BEF 的 距离为 2 ?
