1、广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。振动分类非线性振动线性振动受迫振动自由振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。例如交流电中的电流强度、电压等.4-1 简谐振动的动力学特征最简单最基本的线性振动。简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。o简谐运动复杂振动合成分解一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧物体系统 平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体可看作质点 弹性力F和位移x恒反向，始终指向平衡位置，称为回复力。v 如某力学系统的动力学方程可归结为上式的形
2、式，如某力学系统的动力学方程可归结为上式的形式，且其中且其中仅决定于振动系统本身的性质，则该系仅决定于振动系统本身的性质，则该系统的运动即为简谐振动。统的运动即为简谐振动。简谐振动的微分方程这个方程的解为：单摆结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：当 时二、微振动的简谐近似摆球对C点的力矩复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。当 时hCO任何一个物理量（例如长度、角度、电流等）的变化规律凡满足上式，且其中仅决定于振动系统本身的性质，则该物理量作简谐振动。其通解为：一、简谐振动的运动学方程4-2 简谐振动的运动学简谐振动的微分方程简
3、谐振动的运动学方程因此，简谐振动的运动规律既可以用正弦也可以用余弦函数表示。二、描述简谐振动的特征量1、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。初始条件振幅A是由初始条件决定的。频率：单位时间内振动的次数。2、周期、频率、圆频率对弹簧振子角频率固有角频率、固有周期、固有频率周期T：物体完成一次全振动所需时间。单摆复摆0 是t=0时刻的位相初位相3、位相和初位相位相，决定谐振动物体的运动状态位相差=2k,k=0,1,2,两振动步调相同,称同相=(2k+1),k=0,1,2.两振动步调相反,称反相2 超前于1 或 1滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 两个
4、振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差。对于同频率简谐运动、同时刻的相位差对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做描述简谐运动的三个特征量。三、简谐振动的旋转矢量表示法0t=0 x t+0t=toX用旋转矢量表示相位关系同相反相谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTavxT/4T/4由图可见：x t+o例:如图m=210-2kg,弹簧的静止形变为l=9.8cm,t=0时 x0=-9.8cm,v0=0 取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取x0=0，v00为计时零点，写出振动
5、方程,并计算振动频率。XOmx解：确定平衡位置 mg=k l 取为原点 k=mg/l 令向下有位移 x,则 f=mg k(l+x)=-kx作谐振动 设振动方程为由初条件得由x0=Acos0=-0.0980 cos0 0 x0=Acos0=0,cos0=0 0=/2,3/2 v0=-A sin 0 ,sin 0 0,取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2)m对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变固有频率例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧、一半径为R、转动惯量为I的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求
6、其周期T.mm解：取位移轴ox，m在平衡位置时，设弹簧伸长量为l，则mm当m有位移x时联立得物体作简谐振动例 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。解：方法1设振动方程为故振动方程为方法2：用旋转矢量法辅助求解。v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位由图知以弹簧振子为例谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数4-3 简谐振动的能量动能势能情况同动能。机械能简谐振动系统机械能守恒xtTEEpoEtEk(1/4)kA2由起始能量求振幅实际振动系统系统沿x轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存在
7、极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。在该位置（取x=0）附近将势能函数作级数展开微振动系统一般可以当作谐振动处理4-4 简谐振动的合成一、两个同方向同频率简谐运动的合成某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动合振动1、应用解析法22112211coscoscossinsinsin AAAAAA tAtAtAx cos sinsin coscos令2、应用旋转矢量法Axy合成振动是简谐运动演示3、讨论合振幅最大情况1称为干涉相长，当 情况2合振幅最小称为干涉相消，当情况3：一般情况合振动不是简谐振动式中随t 缓变随t 快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动二.同方向相同振幅、不同频率简谐
8、振动的合成分振动合振动当21时,拍 合振动忽强忽弱的现象拍频:单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|xtx2tx1t一、阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。4-5 阻尼振动 受迫振动 共振1、阻尼振动的概念2、阻尼振动的运动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比振子受阻力阻力系数振子动力学方程振子受阻力系统固有角频率阻尼系数方程的解与阻尼的大小有关，下面我们讨论三种情况。t弱阻尼)(tx1.弱阻尼 每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期可见，阻尼振动的周
9、期比系统的周期长2.临界阻尼t)(tx临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来过阻尼t)(tx3.过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置二、受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程令周期性外力策动力设：稳定解(1)频率:等于策动力的频率 (2)振幅:(3)初相:特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化阻尼振动简谐振动三、共振在一定条件下,振幅出现极大值,振动剧烈的现象。1、位移共振(1)共振频率:(2)共振振幅:2、速度共振一定条件下,速度振幅极大的现象。速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。
