1、 - 1 - 2017 2018学年新乡市高二上学期期末考试 数学试卷（理科） 第 卷 一、选择题：本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 命题 “ ” 的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】因为特称命题的否定是全称命题 ， 所以命题 “ ” 的否定是“ ” ， 故选 C. 2. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 故选 D 3. 设 为双曲线 上 一点， 分别为左、右焦点，若 ，则 （ ） A. 1 B. 11 C. 3或 11 D. 1或 15 【答案
2、】 C 【解析】 ， 且 或 ，符合 ， 故或 ，故选 C. 4. “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 - 2 - C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】 。 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件。选 A。 5. 如图，在四面体 中， 分别是 的中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】因为 ， 故选 A. 6. 现有下面三个命题 常数数列既是等差数列也是等比数列； ， ； 椭圆离心率可能比双曲线的离心率大 . 下列命题中为假命题的是（ ） A. B. - 3 - C. D. 【答案】 C 【解析】 常数数
3、列既是等差数列也是等比数列为假命题（常数为零时 ）， 为真命题， 为真命题 ， 为假命题；因为椭圆的离心率小于 ， 双曲线的离心率对于 ，所以 为假命题 ， 为真命题，故选 C. 7. 长方体 的底面是边长为 1的正方形，高为 2， 分别是四边形 和正方形 的中心，则向量 与 的夹角的余弦值 是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】以 为 轴建立空间直角坐标系 ， 则 ， 故选 B. 8. 已知 ，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 【答案】 A 【解析】 ， 当 时等号成立，即 的最小值为 ， 故选 A. 【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值
4、，属于难题 . 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握 “ 一正，二定，三相等 ” 的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和 定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立） . 9. 设 为数列 的前 项和， ， ，则数列 的前 20 项和为（ ） - 4 - A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ， 相减得 由 得出 ， = = 故选 D 点睛：已知数列的 与 的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n 的范围，有的时候要检验
5、n=1的时候，本题就是检验 n=1,不符合 ，通项是分段的 . 10. 过点 的直线与抛物线 相交于 两点，且 ，则点 的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】设 ， 分别过 作直线 的垂线，垂足分别为 ， 又 ， 解得 ， 故选 B. 11. 的内角 所对的边分别为 ，已知 ，若 的面积，则 的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由 ，两边平方得 ，由 可得 - 5 - ，由 得 又 可得 再根据余弦定理可得解得 ，故 的周 长为 故选 D 12. 设双曲线 的左、右焦点分别是 ，过 的直线交双曲线 的左支于 两点，若 ，且 ，则双曲线 的离心
6、率是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】取 的中点 ，又 ， 则，在 中 ， ， 在 中 ，得 ， ， ，又 ， 故选 B. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题 . 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况： 直接求出 ，从而求出 ;构造 的齐次式，求出 ; 采用离心率的定义以及圆锥曲线 的定义来求解 ; 根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据双曲线的定义利用勾股定理找出 之间的关系，求出离心率 第 卷 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答题卡中的横线上 . 13. 设等差数列 的首项为
7、 -2，若 ，则 的公差为 _ 【答案】 2 【解析】 ， ， 即 的公差为 ， 故答案为 . 14. 在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，且 ，则_ 【答案】 3 - 6 - 【解析】 所以根据正弦定理可得 ， 故答案为 . 15. 设 满足约束条件 ，且目标函数 的最大值为 16，则 _ 【答案】 10 【解析】 作出约束条件 表示可行域 ， 平移直线 ， 由图可知，当直线 过点时 ， 取得最大值为 ， 故答案为 . 【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数的约束条件，属于难题 .含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的
8、存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键 . 16. 设椭圆 的一个焦点为 ，点 为椭圆 内一点，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是 _ 【答案】 . 三、解答题：共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . - 7 - 17. 已知等比数列 的前 项和为 ， ， 为等差数列， ， . （ 1）求数列 ， 的通项公式； （ 2）求数列 的前 项和 . 【答案】（ 1） ， .（ 2） . 试题解析：（ 1）当 时， ， 当 时， ，即 ， 所以 是以
9、 2为首项， 2为公比的等比数列，即 ， 又 ， ，所以 . （ 2）因为 ， 所以 ， ， 由 得 ， 所以 . 18. 在锐角 中， . （ 1）求角 ； （ 2）若 ， ，求 的面积 . 【答案】（ 1） .（ 2） . 【解析】试题分析： （ 1）利用二倍角公式和正弦函数加法定理推导出由此能求出角 A - 8 - （ 2）由 ， 利用余弦定理求出 AB=3，由此能求出 ABC 的面积 试题解析： （ 1）因为 ， 所以 ， 则 ，即 ， 由 为锐角三角形得 . （ 2）在 中， ，即 ， 化简得 ，解得 （负根舍去）， 所以 . 19. 如图，在四棱锥 中，底面为等腰梯形， 且底面与侧
10、面 垂直， ，分别为线段 的中点， ， ， ，且 . （ 1）证明： 平面 ； （ 2）求 与平面 所成角的正弦值 . 【答案】（ 1）见解析；（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）根据三角形中位线定理以及线面平行的判定定理可得 与平面平面 平行，从而可得平面 平面 ，进而根据面面平行的性质可得 平面 ；（ 2）因为底面 与侧面 垂直，且 ，所以 底面 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，先求出 的方向向量，再根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果 . 试题解析：（ 1）证明：因为 分别为线段 的中点， ，所以 ， ， 又 ，所以平面 平
11、面 ， - 9 - 因为 平面 ，所以 平面 . （ 2）解：因为底面 与侧面 垂直，且 ，所以 底面 . 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， 所以 ， ， 设 是平面 的法向量，则 ，即 ， 故可取 . 设 与平面 所成角为 ，则 ， 故 与平面 所成角的正弦值为 . 20. 已知抛物线 的焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线与抛物线 相交于 两点，且线段 被直线 平分 . （ 1）求 的值； （ 2）直 线 是抛物线 的切线， 为切点，且 ，求以 为圆心且与 相切的圆的标准方程 . 【答案】（ 1） .（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）设 ， ，则 ，由
12、 ，得 ， 可得结果；（ 2）设直线 的方程为 ，代入 ，得，根据判别式为零求出圆心坐标，利用点到直线距离公式 求出圆的半径，- 10 - 从而可得圆的标准方程 . 试题解析：由题意可知 ， 设 ， ，则 . （ 1）由 ，得 ， ，即 . （ 2）设直线 的方程为 ，代入 ， 得 ， 为抛物线 的切线， ， 解得 ， . 到直接 的距离 ， 所求圆的标准方程 为 . 21. 如图，在各棱长均为 4的直四棱柱 中，底面 为菱形， ，为棱 上一点，且 . （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）求二面角 的余弦值 . 【答案】（ 1）见解析；（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）由底面 为菱形，可得 ，根据直棱柱的性质可得 ，由线面垂直的判定定理可得 平面 ，从而根据面面垂直的判定定理可得平面平面 ；（ 2）设 与 交于点 ， 与 交于点 ，以 为原点，分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面 与平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦 公式，可得二面角
