1、 - 1 - 2016-2017 学年甘肃省兰州市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1与圆 x2+y2=1及圆 x2+y2 8x+12=0都外切的圆的圆心在（ ） A一个椭圆上 B双曲线的一支上 C一条抛物线上 D一个圆上 2下列命题中的真命题为（ ） A ? x0 Z，使得 1 4x0 3 B ? x0 Z，使得 5x0+1=0 C ? x R， x2 1=0 D ? x R， x2+x+2 0 3已知 =（ 1， 3， ）， =（ 2， 4， 5），若 ，则 = （ ） A
2、 4 B 2 C 2 D 3 4原命题 “ 若 x 3，则 x 0” 的逆否命题是（ ） A若 x 3，则 x 0 B若 x 3，则 x 0 C若 x 0，则 x 3 D若 x0，则 x 3 5 “ 双曲线渐近线方程为 y= 2x” 是 “ 双曲线方程为 x2 = （ 为常数且 0） ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知 a， b， c是空间一个基底，则下列向量可以与向量 = + ， = 构成空间的另一个基底的是（ ） A B C D +2 7椭圆 上的点到直线 的最大距离是（ ） A 3 B C D 8若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则
3、它的侧棱与底面所成角的余弦值为（ ） A B C D 9抛物线 y2=4x经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ） - 2 - A y2=x 1 B y2=2（ x 1） C D y2=2x 1 10设点 C（ 2a+1， a+1， 2）在点 P（ 2， 0， 0）， A（ 1， 3， 2）， B（ 8， 1， 4）确定的平面上，则 a的值为 （ ） A 8 B 16 C 22 D 24 11已知 ，则 的最小值是（ ） A B C D 12若椭圆 C1： + =1（ a1 b1 0）和椭圆 C2： + =1（ a2 b2 0）的焦点相同且 a1 a2给出如下四个结论： 椭圆 C1与椭圆 C2一定
4、没有公共点 a12 a22=b12 b22 a1 a2=b1 b2 其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分 .共 20分） 13双曲线 4x2 y2+64=0上一点 P到它的一个焦点的距离等于 1，则点 P到另一个焦点的距离等于 14已知 F1、 F2为椭圆 =1的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A、 B两点，若 |F2A|+|F2B|=12，则 |AB|= 15如图所示，空间四边形 OABC中， ， ， ，点 M在 OA 上，且 ， N为 BC中点，则 等于 - 3 - 16已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角为 60 ，这条直线
5、与斜线在平面内的射影的夹角为 45 ，则斜线与平面所成的角为 三解答题（写出必要的解答过程） 17已知抛物线方程为 y2=8x，直线 l 过点 P（ 2， 4）且与抛物线只有一个公共点，求直线 l的方程 18已知椭圆 ，一组平行直线的斜率是 （ 1）这组直线何时与椭圆相交？ （ 2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上 19已知直线 y=kx 1 与双曲线 x2 y2=4 （ 1）当它们没有公共点时，求 k取值范围； （ 2）如果直线与双曲线相交弦长为 4，求 k的值 20已知命题 p： “ 方程 + =m+2表示的曲线是椭圆 ” ，命题 q： “ 方程 + =2
6、m+1表示的曲线是双曲线 ” 且 p q为 真命题， p q为假命题，求实数 m的取值范围 21在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD， PD=DC，点 E 是 PC 的中点，作 EF PB 交 PB 于点 F （ 1）求证 PA 平面 EDB； （ 2）求二面角 C PB D的大小 22已知椭圆 G： + =1（ a b 0）的焦点和一个顶点在圆 x2+y2=4上 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）已知点 P（ 3， 2），若斜率为 1的直线 l与椭圆 G相交于 A、 B两点，试探讨以 AB为底边的等腰三角形 ABP是否存在？若存在，求出直线 l的方程
7、，若不存在，说 明理由 - 4 - - 5 - 2016-2017学年甘肃省兰州市舟曲中学高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1与圆 x2+y2=1及圆 x2+y2 8x+12=0都外切的圆的圆心在（ ） A一个椭圆上 B双曲线的一支上 C一条抛物线上 D一个圆上 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 设动圆 P 的半径为 r，然后根据动圆与圆 x2+y2=1 及圆 x2+y2 8x+12=0 都外切得|PF|=2+r、 |PO|=1+r，再两式相减消
8、去参数 r，则满足双曲线的定义，问题解决 【解答】 解：设动圆的圆心为 P，半径为 r，而圆 x2+y2=1 的圆心为 O（ 0， 0），半径为 1；圆x2+y2 8x+12=0的圆心为 F（ 4， 0），半径为 2 依题意得 |PF|=2+r， |PO|=1+r，则 |PF| |PO|=（ 2+r）（ 1+r） =1 |FO|，所以点 P的轨迹是双曲线的一支 故选 B 2下列命题中的真命题为（ ） A ? x0 Z，使得 1 4x0 3 B ? x0 Z，使得 5x0+1=0 C ? x R， x2 1=0 D ? x R， x2+x+2 0 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A，由
9、 1 4x0 3，得 x0 ，不存在 x0 Z，使得 1 4x0 3； B，由 5x0+1=0，得 ，； C 由 x2 1=0，得 x= 1，； D， ? x R， x2+x+2=（ x+1） 2+1 0 【解答】 解：对于 A，由 1 4x0 3，得 x0 ，不存在 x0 Z，使得 1 4x0 3，故错； 对于 B，由 5x0+1=0，得 ，故错； - 6 - 对于 C由 x2 1=0，得 x= 1，故错； 对于 D， ? x R， x2+x+2=（ x+1） 2+1 0，故正确； 故选： D 3已知 =（ 1， 3， ）， =（ 2， 4， 5），若 ，则 = （ ） A 4 B 2 C
10、2 D 3 【考点】 向量语言表述线线的垂直、平行关系 【分析】 由题意可得 =（ 1， 3， ）， =（ 2， 4， 5），并且 ，所以结合向量坐标的数量积表达式可得 2 12 5=0 ，进而求出答案 【解答】 解：因为 =（ 1， 3， ）， =（ 2， 4， 5），并且 ， 所以 2 12 5=0 ， 解得： = 2 故选 B 4原命题 “ 若 x 3，则 x 0” 的逆否命题是（ ） A若 x 3，则 x 0 B若 x 3，则 x 0 C若 x 0，则 x 3 D若 x0，则 x 3 【考点】 四种命题 【分析】 直接利用四种命题中题设和结论之间的关系求出结果 【解答】 解：原命题 “
11、 若 x 3，则 x 0” 则：逆否命题为：若 x 0，则 x 3 故选： D 5 “ 双曲线渐近线方程为 y= 2x” 是 “ 双曲线方程为 x2 = （ 为常数且 0） ” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据双曲线 渐近线方程求出 a， b的关系，得到双曲线的方程即可 - 7 - 【解答】 解：双曲线渐近线方程为 y= 2x， 即 b=2a，或 a=2b， 故双曲线方程为 x2 = （ 为常数且 0）， 是充要条件， 故选： C 6已知 a， b， c是空间一个基底，则下列向量可以与
12、向量 = + ， = 构成空间的另一个基底的是（ ） A B C D +2 【考点】 空间向量的基本定理及其意义 【分析】 根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论 【解答】 解：由题意 和空间向量的共面定理， 结合向量 + =（ + ） +（ ） =2 ， 得 与 、 是共面向量， 同理 与 、 是共面向量， 所以 与 不能与 、 构成空间的一个基底； 又 与 和 不共面， 所以 与 、 构成空间的一个基底 故选： C 7椭圆 上的点到直线 的最大距离是（ ） A 3 B C D 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式 【分析】
13、设椭圆 上的点 P（ 4cos ， 2sin ），由点到直线 的距离公式，计算可得答案 - 8 - 【解答】 解：设椭圆 上的点 P（ 4cos ， 2sin ） 则点 P到直线 的距离 d= ； 故选 D 8若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则它的侧棱与底面所成角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 根据所给的正三棱锥的特点，根据三垂线定理做出二面角的平面角，在直角三角形中做出要用的两条边的长度，根据三角函数的定义得到角的余弦值即可 【解答】 解：正三棱锥 P ABC的侧棱两两垂直， 过 P做地面的垂线 PO，在面 ABC上，做 BC 的垂线 AD， AO为
14、 PA 在底面的射影， 则 PAO就是 PA 与底面 ABC 所成 角， 设侧棱长是 1，在等腰直角三角形 PBC中 BC= ， PD= ， AD= ， PA与底面 ABC所成角的余弦值为： = = 故选： A 9抛物线 y2=4x经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ） - 9 - A y2=x 1 B y2=2（ x 1） C D y2=2x 1 【考点】 抛物线的简单性质；轨迹方程 【分析】 先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去 y，根据韦达定理表示出 x1+x2，进而根据直线方程求得 y1+y2，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数 k，则
15、焦点弦的中点轨迹方程可得 【解答】 解：由题知抛物线焦点为（ 1， 0） 设焦点弦方程为 y=k（ x 1） 代入抛物线方程得所以 k2x2（ 2k2+4） x+k2=0 由韦达定理： x1+x2= 所以中点横坐标： x= = 代入直线方程 中点纵坐标： y=k（ x 1） = 即中点为（ ， ） 消参数 k，得其方程为 y2=2x 2 故选 B 10设点 C（ 2a+1， a+1， 2）在点 P（ 2， 0， 0）， A（ 1， 3， 2）， B（ 8， 1， 4）确定的平面上，则 a的值为（ ） A 8 B 16 C 22 D 24 【考点】 共线向量与共面向量 【分析】 与 不共线，可设 =
