1、 知识点知识点 30 矩形、菱形与正方形矩形、菱形与正方形 一、选择题一、选择题 10（2020 温州）如图，在RtABC中，ACB90 ，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR FG于点R，再过点C作PQCR分别交边DE，BH于点P，Q若QH2PE，PQ15，则CR 的长为 A14 B15 C8 3 D6 5 答案A 解析本题主要考查了相似三角形和正方形的性质，由题意知 CDPCBQ，所 以 CDDP CBBQ ，即 2 CDCDPE CBCBPE ，解得：BC2CD，所以 CQ2CP，则 CP5，CQ 10， 由于 PQAB，所以CBABCQDCP，则 tanBCQtanDCPtan CB
2、A 1 2 ，不妨设 DPx，则 DC2x，在 Rt DCP 中， 22 (2 )25xx，解得 x 5.DC25，BC45，所以 AB10， ABC 的斜边上的高 2 54 5 4 10 AC BC AB ,所以 CR14，所以因此本题选 A 8 （2020绍兴）如图，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，点 E 从点 A 出发沿 AB 向点 B 运动，移 动到点 B 停止，延长 EO 交 CD 于点 F，则四边形 AECF 形状的变化依次为（ ） A平行四边形正方形平行四边形矩形 B平行四边形菱形平行四边形矩形 C平行四边形正方形菱形矩形 D 平行四边形菱形正方形 矩形 答案B 解析本题考
3、查了特殊四边形的判定当点 E 从点 A 出发沿 AB 向点 B 运动时，四边形 AECF 的形状依次如下图所示因此本题选 B 7 （2020 湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形当内角度数 发生变化时，其形状也会随之改变如图，改变正方形 ABCD 的内角，正方形 ABCD 变为菱形 ABCD若DAB30，则菱形 ABCD的面积与 正方形 ABCD 的面积之比是（ ） A1 B1 2 C 2 2 D 3 2 【分析】根据 30角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形 ABCD的高等于 AB 的一半，再 根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解 【解答】 解： 根据题意可知菱形
4、 ABCD的高等于 AB的一半， 菱形ABCD的面积为1 2 AB2， 正方形 ABCD 的面积为 AB2 菱形 ABCD的面积与正方形 ABCD 的面积之比是1 2 故选： B 8 （2020 台州）下列是关于某个四边形的三个结论：它的对角线相等；它是一个正方形； ( (F) )DC O A ( (E) )B D F C O AE B DFC O AE B O E FDC BA H I R P Q GF E D C B A 它是一个矩形下列推理过程正确的是（ ） A由推出，由推出 B由推出，由推出 C由推出，由推出 D由推出，由推出 【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断
5、 【解答】解：对角线相等的四 边形推不出是正方形或矩形，故，错误，故选项 B，C，D 错误，故选：A 10（2020铜仁）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE1，DAM45，点F 在射线AM上，且AF，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD 相交于点G，连接EC、EG、EF下列结论：ECF的面积为；AEG 的周长为8；EG2DG2+BE2；其中正确的是（ ） A B C D 答案C 解析解：如图，在正方形ABCD中，ADBC，ABBCAD4，BBAD90， HAD90.HFAD，H90，HAF90DAM45， AFHHAFAF，AHHF1BE EHAE+AHABB
6、E+AH4BC，EHFCBE（SAS）， EFEC，HEFBCE，BCE+BEC90，HEF+BEC90， FEC90，CEF是等腰直角三角形. 在RtCBE中，BE1，BC4， EC2BE2+BC217，SECFEFECEC2，故正确； 过点F作FQBC于Q，交AD于P，APF90HHAD， 四边形APFH是矩形，AHHF，矩形AHFP是正方形，APPFAH1， 同理：四边形ABQP是矩形. PQAB4，BQAP.，FQFP+PQ5，CQBCBQ3， ADBC， FPGFQC， ， ， PG， AGAP+PG ， 在RtEAG中，根据勾股定理得，EG， AEG的周长为AG+EG+AE+38，
7、故正确； AD4，DGADAG，DG2+BE2+1， EG2（）2，EG2DG2+BE2，故错误，正确的有，因此本题选C 9 （2020遵义）如图，在菱形 ABCD 中，AB5，AC6，过点 D 作 DEBA， 交 BA 的延长线于点 E，则线段 DE 的长为（ ） A 12 5 B 18 5 C 4 D 24 5 答案D 解析本题考查菱形的性质，菱形的面积，勾股定理的应用在菱形 ABCD 中， E A D BC E A D O BC AB5，AO 1 2AC3，ACBD，BOABAO 22 4，BD85DE 1 2ACBD24，解 得 DE 24 5 故选 D. 5 （2019 上海）下列命
8、题中，假命题是( ) A矩形的对角线相等 B矩形对角线交点到四个顶点的距离相等 C矩形的对角线互相平 D矩形对角线交点到四条边的距离相等 答案D 解析矩形的对角线的交点到每一组对边的距离相等，故选项 D 错误，是假命题. 8 （2020黔东南州）若菱形 ABCD 的一条对角线长为 8，边 CD 的长是方程 x210 x+240 的一 个根，则该菱形 ABCD 的周长为（ ） A16 B24 C16 或 24 D48 答案B 解析解方程 x210 x+240 得（x4） （x6）0，x4，或 x6，分两种情况： 当 ABAD4 时，4+48，不能构成三角形；当 ABAD6 时，6+68，即可得出
9、菱形 ABCD 的周长为 4AB24 7(2020绥化)如图 2，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证 ABE 和ADF一定全等的条件是( ) ABAFDAE BECFC CAEAF DBEDF 答案C解析由菱形的性质可知ABAD， BD， 因此ABE与ADF已具备了一边一角相等 当 选项 A 做条件时可用“ASA”判定全等；当选项 B 或选项 D 做条件时，可用“SAS”判定全等选项 C 做条件时是“边、边、角” ，不能判定两个三角形全等故选 C 10(2020绥化)如图 3，在 RtABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DEAC于点E，延长DE 至点F，使EF
10、DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且CDEEGC180，FG2， GC3下列结论：DE 1 2 BC；四边形DBCF是平行四边形；EFEG；BC25其中正确 结论的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案D解析(1)DFAC，BCAC，DEBC点 D 是 AB 的中点，点 E 是 AC 的中点DE 1 2 BC可见结论正确 (2)AC 与 DF 互相垂直平分，四边形 ADCF 是菱形FC ADFC DB四边形 DBCF 是平行 四边形可见结论正确 F D E C A B 图 2 G F D E C A B 图 3 (3)CDEEGC180，EGFEGC180，
11、CDEEGC由菱形的性质得CDE EFG，EGFEFGEFEG可见结论正确 (4)易知FEGFCD， FE FC FG FD ，即 FEFDFCFG2DE225，DE5BC2DE 25可见结论正确综上所述，正确结论有 4 个，故选 D 7 （2020 贵阳） （3 分）菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的周长是（ ） A5 B20 C24 D32 答案 B解析解：如图所示：四边形 ABCD 是菱形，AC8，BD6， ABBCCDAD，OA= 1 2AC4，OB= 1 2BD3，ACBD， AB= OA2+ OB2= 42+ 32=5，此菱形的周长4 520；故选：B 8 （2020
12、 黑龙江龙东）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作 DHAB 于点 H，连接 OH，若 OA6，OH4，则菱形 ABCD 的面积为（ ） A72 B24 C48 D96 答案 C解析本题考查了菱形的性质， 对角线互相垂直平分以及直角三角形的斜边上中线的性质， 解：四边形 ABCD 是菱形，OAOC，OBOD，ACBD， DHAB，BHD90 ，BD2OH，OH4，BD8， OA6，AC12，菱形 ABCD 的面积= 1 2 AC BD = 1 2 12 8 = 48故选：C 10 （2020 黑龙江龙东）如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB
13、 上运动（不与点 A，B 重 合） ，DAM45 ，点 F 在射线 AM 上，且 AF= 2BE，CF 与 AD 相交于点 G，连接 EC、EF、 EG则下列结论： ECF45 ；AEG 的周长为（1+ 2 2 ）a； BE2+DG2EG2；EAF 的面积的最大值是1 8a 2； 当 BE= 1 3a 时，G 是线段 AD 的中点其中正确的结论是（ ） A B C D 答案解析本题考查了三角形全等、正方形的性质，解：如图 1 中，在 BC 上截取 BHBE，连 接 EHBEBH，EBH90 ，EH= 2BE， AF= 2BE，AFEH，DAMEHB45 ，BAD90 ， FAEEHC135 ，
14、BABC，BEBH，AEHC，FAEEHC（SAS） ， EFEC，AEFECH，ECH+CEB90 ，AEF+CEB90 ， FEC90 ，ECFEFC45 ，故正确， 如图 2 中，延长 AD 到 H，使得 DHBE，则 CBECDH（SAS） ， ECBDCH，ECHBCD90 ，ECGGCH45 ， CGCG，CECH，GCEGCH（SAS） ，EGGH， GHDG+DH，DHBE，EGBE+DG，故错误， AEG 的周长AE+EG+AGAE+AHAD+DH+AEAE+EB+ADAB+AD2a，故错误， 设 BEx，则 AEax，AF= 2x， S AEF= 1 2（ax） x= 1
15、2x2+ 1 2ax= 1 2（x2ax+ 1 4a2 1 4a2）= 1 2（x 1 2a）2+ 1 8a2， 1 2 0，x= 1 2a 时， AEF 的面积的最大值为 1 8a2故正确， 当 BE= 1 3a 时，设 DGx，则 EGx+ 1 3a，在 Rt AEG 中，则有（x+ 1 3a）2（ax）2+（ 2 3a）2， 解得 x= a 2，AGGD，故正确，故选：D 9 （2020 襄阳） 已知四边形 ABCD 是平行四边形， AC， BD 相交于点 O， 下列结论错误的是 （ ） AOAOC，OBOD B当 ABCD 时，四边形 ABCD 是菱形 C当ABC90时，四边形 ABC
16、D 是矩形 D当 ACBD 且 ACBD 时，四边形 ABCD 是 正方形 答案B 解析由平行四边形的对角线互相平分， 知 A 选项正确； 由有一个角是直角的平行四边形是矩形， 知 C 选项正确；由对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，知 D 选项正确；由一组邻边相等的 平行四边形是菱形，知 B 选项错误（因为 B 选项中是一组对边相等了） ，故选 B （2020四川甘孜州）7如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O， E 为 AB 的中点若 菱形 ABCD 的周长为 32，则 OE 的长为( ) A3 B4 C5 D6 答案B 解析本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中
17、线性质四边形 ABCD 是菱形，AB BCCDDA菱形 ABCD 的周长为 32，AB8ACBD，E 为 AB 的中点，OEAB 4故选 B 8. （2020 盐城） 如图， 在菱形ABCD中， 对角线ACBD、相交于点,O H为BC中点，6,8ACBD. 则线段OH的长为:（ ） A 12 5 B 5 2 C3 D5 8B，解析：本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，由此 OA3, OB4,在 RtOAB 中由勾股定理得 AB 2222 34OAOB 5,由三角形中位线定理得 OH 1 2 AB 5 2 ， 因此本 题选 B (2020南充）7.如图，面积为 S 的菱形 ABCD 中
18、，点 O 为对角线的交点，点 E 是线段 BC 单位中点， 过点 E 作 EFBD 于 F，EGAC 与 G，则四边形 EFOG 的面积为（ ） A. S 4 1 B. S 8 1 C. S 12 1 D. S 16 1 （第 7 题） 答案B 解析AC，BD 是菱形 ABCD 的对角线，ACBD，OB= 1 2 BD= 1 2 a，EFBD 于点 F，EGAC 于 点 G，BFE=OFE=EGC=OGE=BOC=90，四边形 OGEF 是矩形，GE=OF，OFEG， FBE=GEC， E 是 BC 的中点， BE=EC， FBEGEC(AAS)， BF=EG， BF=OF， OB=OF+BF
19、， OF= 111 222 OBa = 1 4 a ，同理：设 AC=b，则 OG= 1 4 b ，菱形 ABCD 的面积为 S,四边形 EFOG 的面积为 OF OG= 1 4 a 1 4 b = 1 16 ab = 1 8S. 5（2020乐山）如图，在菱形 ABCD 中，AB4，BAD120 ，O 是对角线 BD 的中点，过 点 O 作 OECD 于 E，连接 OA，则四边形 AOED 的周长为（ ） A92 3 B93 C72 3 D8 答案B 解析由已知及菱形的性质求得ABDCDB30 ，AOBD，利用含 30 的直角三角形边的关 系分别求得 AO、DO、OE、DE，进而求得四边形
20、AOED 的周长四边形 ABCD 是菱形，O 是对 角线 AC 的中点， AOBD， ADAB4， ABDC； BAD120 ， ABDADBCDB 30 ；OEDC，在 RtAOD 中，AD4，AO1 2AD2，DO AD2AO223；在 Rt DEO 中，OE1 2OD 3，DE AD2AO23，四边形 AOED 的周长为 AOOEDEAD 2 3349 3 11 （2020泰安）如图，矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，过点 B 作 BFAC 交 CD 于点 F， 交 AC 于点 M， 过点 D 作 DEBF 交 AB 于点 E， 交 AC 于点 N， 连接 FN， EM 则下
21、列结论： DN BM；EMFN；AEFC；当 AOAD 时，四边形 DEBF 是菱形其中，正确结论的个数 是（ ） A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个 答案 D 解析本题考查了矩形的性质、三角形全等的条件与性质、等边三角形的条件与性质、平行四边形 的条件与性质以及菱形的判定方法， 因为四边形 ABCD 是矩形， 所以 AB=CD， AD=BC， ADBC， 所以DAN=BCM.因为 BFAC，DEBF，所以 DEAC，即AND=CMB=90，所以ADN CBM，所以 DN=BM，AND=CBM，则ADECBF，所以 AE=CF、DE=BF，所以 NE=MF，即 都是正确的，由 AE=CF
22、、AB=CD，所以 BE=DF，所以四边形 AEBF 是平行四边形. 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AO=DO，因为当 AOAD 时，AO=DO=AO，所以ADO 是等边三角形，所以AND= BDE=30，所以BDE=ABD=30，所以 DE=BE，所以四边形 DEBF 是菱形，则也是正确的， 因此本题选 D 7 （2020青岛）如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF，EF 与 AC 交于点 O.若 AE=5，BF=3，则 AO 的长为（ ） A.5 B.5 2 3 C.52 D.54 答案C 解析本题考查了折叠（轴对称）的性质，矩形的性质，勾股定理，解答过
23、程如下： 由折叠的性质得 EF 是 AC 的垂直平分线，AD=AD，DE=DE=AD-AE，D=D=90，AO= 2 1 AC. 四边形 ABCD 是矩形，AB=CD，ADBC，OAE=OCF，OEA=OFC， OAEOCF（AAS） ，CF=AE=5. 又AD=BC=BF+CF=3+5=8，DE=DE=AD-AE=8-5=3， 22 EDAEADCDAB=435 22 . AB CD E F O M N （第 11 题） 又D=90，5448 2222 CDADAC，AO= 2 1 AC=5254 2 1 . 因此本题选 C （2020四川甘孜州）24如图，有一张长方形纸片 ABCD，AB8
24、cm，BC10cm，点 E 为 CD 上一点，将纸片沿 AE 折叠，BC 的对应边 BC恰好经过点 D，则线段 DE 的长为_cm 答案5 解析本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理 长方形纸片 ABCD，AB8，BC10，AB8，AD10，BC10 在 RtADB中，由勾股定理，得 DB6DC4 设 DEx，则 CECE8x 在 RtCDE 中，由勾股定理，得 DE2EC2DC2 即 x2(8x)242 x5即线段 DE 的长为 5cm 6. (2020连云港)如图，将矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的 A处. 若DBC=24，则AEB 等于 A.66
25、 B. 60 C.57 D.48 答案C 4 6 10 8 8-x x 10 8 C B DA B C E （第 6 题图） 解 析 本 题 考 查 了 三 角 形 全 等 的 性 质 因 为 折 叠 ， BAEBAE, 所 以 ABE=ABE,EAB=EAB 由矩形 ABCD,得到ABC=BAE=90，且题目中已知DBC=24，从 而可以得到ABE=ABE=33，所以AEB=180-ABE-EAB=57。因此本题选 C 10.（2020湖北孝感）如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90， 到ABF 的位置，连接 EF，过点 A 作 EF 的垂线，
26、垂足为点 H，与 BC 交于点 G，若 BG=3，CG=2，则 CE 的长为( ) （第 10 题） A.5 4 B. 15 4 C.4 D. 9 2 答案B 解析由旋转的性质得ABFADE，BF=DE，AF=AE，又AHEF，FH=EH， 四边形 ABCD 是正方形，C=90，EFC=EFC，FHGFCE， FGFH FEFC ， BG=3，CG=2，BC=5，设 EC=x，则 BF=DE=5-x，FG=BG+BF=3+5-x=8-x，CF=BC+BF=5+5-x=10-x， EF= 22 ECCF=x2+ (10 x)2，FH= 22 (10) 2 xx , 22 22 (10) 8 2
27、10 (10) xx x x xx ，解得：x=15 4 .故选 B. 10.（2020达州）如图，BOD=45 ，BO=DO，点 A 在 OB 上，四边形 ABCD 是矩形，连接 AC、 BD 交于点 E， 连接 OE 交 AD 于点 F.下列 4 个判断： OE 平分BOD； OF=BD； DF=2AF； 若点 G 是线段 OF 的中点，则AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 答案A D C A B F E O 解析由矩形的性质可知：BE=DE=1 2BD， OAD=BAD=90，在ODE 和OBE 中，BO=DO， BE=DE，OE=OE，所以
28、ODEOBE，OED=OEB=90，OBD=ODB=67.5， BOE=DOE=22.5，故正确；在 RtAOD 中，BOD=45，OA=AD，在 RtABD 中， BAD=90， OBD=67.5， 所以BDA=22.5， 在BDA 和FOA 中， BDA=FOA， OA=AD， OAD=BAD=90，所以BDAFOA，所以 OF=BD，故正确；如答图，过点 F 作 FQ OD 于点 Q，由角平分线的性质得 AF=FQ，由题可知ADO=45，所以FDQ 是等腰直角三角 形即 DF=2AF， 故正确； 如答图， AG=OG=1 2OF， 所以 OG=DE， 由题意可得OAGDAE， 所以OAG
29、=DAE，AG=AE，又由OAGGAF=90可得GAE=90，所以GAE 是等 腰直角三角形，故正确 5（2020菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角 线一定满足的条件是（ ） A互相平分 B相等 C互相垂直 D互相垂直平分 答案C 解析利用三角形的中位线定理， 可得中点四边形有如下结论： 任意四边形的中点四边形是平行四 边形；对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩 形；对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形由此可知，该题选项 C 符合题意 14（2020菏泽）如图，矩形 ABCD 中，AB5，AD12，点 P
30、在对角线 BD 上，且 BPBA， 连接 AP 并延长，交 DC 的延长线于点 Q，连接 BQ，则 BQ 的长为_ G Q D C A B F E O A B C D Q P 答案317 解析由于已知 BC 的长，故可设想在 RtBCQ 中利用勾股定理求解，则需求 CQ 的长，这可通 过求 DQ 的长得到，结合已知条件 BPBA5，易知 DQDP，显然 DP 可求，思路沟通 在矩形 ABCD 中，BAD90 ，AB5，AD12，BD 22 ADAB 13，又BPBA5， DP1358，BAPBPAABDQ，BAPPQD，PQDBPADPQ， DQDP8，CQ853在 Rt BCQ中，BC=12
31、，CQ=3，BQ 22 312 317 3(2020荆门)如图 1，菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BD 的中点，若 EF5，则菱形 ABCD 的周长为( ) A20 B30 C40 D50 答案C 解析E，F 分别是 AD，BD 的中点，EF 是DAB 的中位线AB2EF10菱形的四 边相等，菱形 ABCD 的周长4AB40故选 C 7（2020南通） 下列条件中，能判定ABCD是菱形的是 AACBD BABBC CADBD DACBD 答案D 解析根据菱形的定义和判断定理判断定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判断定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形只有 D 能够判断出四
32、边形 ABCD 是菱形故选 D 12（2020深圳）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB6，BC12将纸片折叠，使点 B 落在边 AD 的延长线上的点 G 处， 折痕为 EF， 点 E、 F 分别在边 AD 和边 BC 上 连接 BG， 交 CD 于点 K， FG 交 CD 于点 H给出以下结论： EFBG； GEGF； GDK 和GKH 的面积相等； 当点 F 与点 C 重合时， DEF75 其 D A C B 图 1 F E 中正确正确 的结论共有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案C 解析由轴对称可知，B、G 关于 EF 对称，EF 垂直平分 BG，故正确；又由矩形 ABC
33、D 知，AD BC，GEFBFE，连接 BE，BEFGEF，BEFBFE，BEBF，而 BE GE，BFGF，GEGF，故正确；由 BEGEBFGF 知，四边形 BEGF 是菱形，GK 平 分DGH，而 DGGH，DKKH，SGDKSGKH，故错误；当点 F 与点 C 重合时，BF BC12，BE12，而 AB6，AEB30 ，GEF180 AEB 2 75 ，故正确；因此 本题选 C 9 （2020怀化）在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，若AOB 的面积为 2，则矩形 ABCD 的面积为（ ） A4 B6 C8 D10 答案C 解析根据矩形的性质得到 OAOBOCOD，推出 S
34、ADOSBCOSCDOSABO2， 即可 求出矩形 ABCD 的面积 解：四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点 O， ACBD，且 OAOBOCOD， SADOSBCOSCDOSABO2， 矩形 ABCD 的面积为 4SABO8， 故选：C （2020本溪）9 （3 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC8BD 6，点 E 是 CD 上一点，连接 OE，若 OECE，则 OE 的长是（ ） A2 B5 2 C3 D4 答案B 解析根据菱形的对角线互相垂直平分求出 OB，OC，ACBD，然后利用勾股定理列式求出 BC，最后根据三角形的中位线平
35、行于第三边并且等于第三边的一半求解即可 菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O， OB= 1 2BD= 1 2 63，OAOC= 1 2AC= 1 2 84，ACBD， 由勾股定理得，BC= 2+ 2= 32+ 42=5， AD5， OECE， DCAEOC， 四边形 ABCD 是菱形， DCADAC， DACEOC， OEAD， AOOC， OE 是ADC 的中位线， OE= 1 2AD2.5 9.（2020 牡丹江）如图，在菱形 OABC 中，点 B 在 x 轴上，点 A 的坐标为（2，23)，将菱形绕 点 O 旋转，当点 A 落在 x 轴上时，点 C 的对应点的坐标为 （ ）
36、 A( 2, 2 3)或(2 3, 2) B(2,2 3) C( 2,2 3) D ( 2, 2 3)或 (2,2 3) 答案D 解析菱形 OABC 中，点 A 的坐标为（2，23)，所以 OA=4，A=C=60 ，分类讨论， 若顺时针旋转，旋转后的图形如图 1 所示，则 OC=OA=4，C=60 ，可求出点 C 对应点的坐标 为（-2，-23)； 若逆时针旋转，旋转后的图形如图 2 所示，则 OC=OA=4，C=60 ，可求出点 C 对应点的坐标 BO C A x y （第 9 题图） 为（2，23). 7 （2020 黄冈）若菱形的周长为 16，高为 2，则菱形两邻角的度数之比为（ ） A
37、41 B51 C61 D71 答案B解析本题考查了菱形的性质及锐角三角函数等知识 由菱形的周长为16可得其边长为4， 而高为 2，即转化为已知某一直角三角形的斜边为 4，一直角边为 2，求该直角三角形的锐角由 sin= 21 42 ，可得锐角 =30，所以该菱形的两邻角为 150 和 30 ，两邻角之比 51，因此本题选 B 9（2020 抚顺本溪辽阳）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC8，BD 6，点 E 是 CD 上一点，连接 OE，若 OECE，则 OE 的长是（ ） A2 B5 2 C3 D4 答案B解析根据菱形对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再
38、结合等腰三角形的性质及判定 得出 OECEDE，从而求出四边形 ABCD 是菱形，OC2 1 AC4， OD2 1 BD3， ACDBOECE，EOCOEDCODOEEOCODCECO90 ， DOEODC，OEDE，OE2 1 DC在 Rt DOC 中，CD 22 OCOD 5，OE 2 1 DC 5 2故选项 B 正确 7.（2020安顺安顺）菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的周长是（ ） A.5 B.20 C.24 D.32 答案B解析 在菱形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，根据菱形的对角线互相平分且 垂直，得到 OA=3，OD=4，利用勾股定理得到
39、AD=5.所以菱形的周长为 20. 7 （2020 滨州）下列命题是假命题的是（ ） A对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B对角线互相垂直的矩形是正方形 E A B D CO y x A B C O y x A B C O 图 1 图 2 C对角线相等的菱形是正方形 D对角线互相垂直且平 分的四边形是正方形 答案D 解析本题考查了正方形的判定， 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形、 对角线互相垂直 的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形是真命题，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形， 即对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，因此本题选 D 12 （2020 滨州）如图，对
40、折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF；把纸片展平后再 次折叠，使点 A 落在 EF 上的点 A处，得到折痕 BM，BM 与 FF 相交于点 N若直线 BA交直线 CD 于点 O，BC5，EN1，则 OD 的长为（ ） A 1 3 2 B 1 3 3 C 1 3 4 D 1 3 5 答案B 解析本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，EN=1，由中位线定理得 AM=2，由折叠的性质可得AM=2，ADEF，AMB=ANM，AMB=AMB， ANM=AMB， AN=2， AE=3， AF=2， 过M点作MGEF于G， NG=EN=1， AG=1， 由勾股定理得
41、MG= 22 213 ，BE=OF=MG= 3 ，OF：BE=2：3，解得OF= 2 3 3 ，OD= 3 3 ，因此本题选B 11 （2020 内江）如图，矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠， 使点 A 落在 BD 上的点 M 处，点 C 落在 BD 上的点 N 处，连结 EF已知34ABBC，则 EF 的长为（ ） A. 3 B. 5 C. 5 13 6 D. 13 答案 C解析本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，运用 勾股定理求出 DE 和 DF 的长度是解题的关键由矩形的性质和已知求出 BD=5，根据折叠的
42、性质 得 ABEMBE， 设AE的长度为x， 在Rt EMD中， 由勾股定理求出DE的长度， 同理在Rt DNF 中求出 DF 的长度，在 Rt DEF 中利用勾股定理即可求出 EF 的长度 四边形 ABCD 是矩形，AB=3，BC=4，BD= 22 34 =5，设 AE 的长度为 x， 由折叠可得： ABEMBE，EM=AE=x，DE=4-x，BM=AB=3，DM=5-3=2， 在 Rt EMD 中，EM2+DM2=DE2，x2+22=（4-x）2，解得：x= 3 2 ，ED=4- 3 2 = 5 2 ， 设 CF 的长度为 y，由折叠可得： CBFNBF， NF=CF=y，DF=3-y，B
43、N=BC=4，DN=5-4=1，在 Rt DNF 中，DN2+NF2=DF2， y2+12=（3-y）2，解得：x= 4 3 ，DF=3- 4 3 = 5 3 ， 在 Rt DEF 中，EF= 22 22 555 13 236 DEDF ，因此本题选 C 10 （2020 广州）如图 5，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，AB=6，BC=8，过点 O 作 OEAC， 交 AD 于点 E，过点 E 作 EFBD，垂足为 F，则 OE+EF 的值为（ ） 图 5 A 48 5 B 32 5 C 24 5 D 12 5 答案C 解析本题考查了矩形的性质，由勾股定理可得 AC=10，再
44、由矩形的对角线相等且互相平分的性质 可得，OA=OD=5. ABD 的面积为 24，OA 为ABD 的中线，由中线等分面积可得，AOD 的面积为 12.再由等面积法即可得 OE+EF 的值过程如下： AOEEODAOD SSS+= 11 12 22 OA OEOD EF? 即 11 5512 22 OEEF鬃+鬃= ， OE+EF= 24 5 ， 因此本题选 C 8（2020通辽）如图，AD 是ABC 的中线，四边形 ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能 C D F E O B A 判断ADCE 是菱形的是（ ） ABAC90 BDAE90 CABAC DABAE 答案A 解析若BAC90
45、 ，又因为 AD 是ABC 的中线，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半”可得 AD=CD，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可证ADCE 是菱形 10 （2020东营）如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A、B 重合） ，对角线 AC、 BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC、BD 的垂线，分别交 AC、BD 于点 E、F，交 AD、BC 于点 M、N，下 列结论：APEAME；PM+PN=AC； 222 PEPFPO+=；POFBNF；点 O 在 M、 N 两点的连线上其中正确的是（ ） A. B. C. D. 答案B 解析本题考查了垂线、平行
46、线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判 断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，灵活的运用所学知识是解答本题的关 键综合应用垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和 性质、相似三角形的判定和性质等知识，逐个判断 5 个结论的正确性，得出结论 正方形 ABCD，APE=AME=45 ，PMAE，AEP=AEM=90 ，AE=AE， APEAME（ASA） ； 过点 N 作 NQAC 于点 Q，则四边形 PNQE 是矩形，PN=EQ，正方形 ABCD， PAE=MAE=45 ，PMAE，PEA=45 ，PAE=APE，PE=NQ，
47、APE 等腰直角 三角形，AE=PE，同理得：NQC 等腰直角三角形，NQ=CQ，APEAME，PE=ME， PE=ME= NQ=CQ，PM=AE+CQ，PM+PN=AE+CQ+EQ=AC，即 PM+PN=AC 成立； 正方形 ABCD，ACBD，EOF 是直角，过点 P 分别作 AC、BD 的垂线，分别交 AC、 BD 于点 E、F，PEO 和PFO 是直角，四边形 PFOE 是矩形，PF=OE，在 RtPEO 中， 有 PE2+OE2=PO2，PE2+PF2=PO2，即 PE2+PF2=PO2成立； BNF 是等腰直角三角形，点 P 不在 AB 的中点时，POF 不是等腰直角三角形，所以POF 与 BNF 不一定相似，即POFBNF 不一定成立； E DCB A AB C D E F M N O P AMP 是等腰直角三角形，PMNAMP，PMN 是等腰直角三角形，MPN=90 ， PM=PN，AP= 2 2 PM，BP= 2 2 PN，AP=BP，点 P 是 AB 的中点，又O 为正方形的对称 中点，点 O 在 M、N 两点的连线上综上，成立，即正确的结论有 4
