1、第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算导数的概念及运算内容索引基础知识基础知识 自主学习自主学习题型分类题型分类 深度剖析深度剖析易错警示系列易错警示系列思想方法思想方法 感悟提高感悟提高练出高分练出高分基础知识基础知识自主学习自主学习(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x).f(x0)知识梳理知识梳理1 1答案基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)_f(x)x(为常数)f(x)_f(x)sin xf(x)_2.导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几
2、何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即k_.3.基本初等函数的导数公式x10cos xf(x0)答案sin xexaxln a答案4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同.()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0).()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(5)函数f(x)sin(x)
3、的导数是f(x)cos x.()答案思考辨析f(x)x22.f(1)3.3考点自测考点自测2 2解析答案123452.如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是_.解析答案13452解析解析由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，由图知不符合，符合，故正确.答案答案 解析答案13452解析答案13452ex0，即x0时，“”成立.y1,0)，tan 1,0).
4、又0，)，解析答案13452解析解析yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1).(1,1)解析答案1345返回2题型分类题型分类深度剖析深度剖析例例1求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；解解y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210 x4.(2)yx2sin x；解解y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.题型一题型一导数的运算导数的运算解析答案(3)y3xex2xe；解解y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x
5、)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.解析答案解析答案思维升华思维升华求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0_.故由f(x0)2 017得2 017ln x02 017，则ln x00，解得x01.1跟踪训练1解析答案(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)_.解析解析f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数，且f(1)2
6、，f(1)2.2解析答案命题点命题点1已知切点的切线方程问题已知切点的切线方程问题则f(1)1，故该切线方程为y(2)x1，即xy30.xy30题型二题型二导数的几何意义导数的几何意义解析答案(2)已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_.解析答案解析解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.xy20命题点命题点2未知切点的切线方程问题未知切点的切线方程问题例例3(1)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是_.解析解析 对yx2求导得y2x.则切线斜率
7、为k2x0.由2x02得x01，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.2xy10解析答案(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_.解析解析点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0).又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.xy10解析答案命题点命题点3和切线有关的参数问题和切线有关的参数问题直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，于是解得m2.2解
8、析答案命题点命题点4导数与函数图象的关系导数与函数图象的关系例例5如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为下图中的_(填序号).解析答案思维升华解析解析函数的定义域为0，)，当x0,2时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越大，即斜率f(x)在0,2内大于0且越来越大，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x(2,3)时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越小，即斜率f(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当
9、x3，)时，在单位长度变化量x内面积变化量S为0，即斜率f(x)在3，)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线.答案答案 思维升华思维升华(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0).(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.跟踪训练2解析答案(1)已知函数f(x)x33x，若过点A(0,16)且与曲线yf(x)相切的直线方程为yax16，则实数
10、a的值是_.解析答案解析解析先设切点为M(x0，y0)，联立可解得x02，y02，答案答案9(2)若直线y2xm是曲线yxln x的切线，则实数m的值为_.解析解析设切点为(x0，x0ln x0)，得切线的斜率kln x01，故切线方程为yx0ln x0(ln x01)(xx0)，解得x0e，故me.e解析答案返回易错警示系列易错警示系列典例典例(14分)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值.易错分析易错分析由于题目中没有指明点O(0,0)的位置情况，容易忽略点O在曲线yx33x22x上这个隐含条件，进而不考虑O点为切点的情况.易错警示系列4.求曲线的
11、切线方程条件审视不准致误求曲线的切线方程条件审视不准致误 易错分析解析答案返回温馨提醒即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y2x.依题意44a0，得a1.5分(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线yx33x22x相切于点P(x0，y0)，规范解答规范解答解解易知点O(0,0)在曲线yx33x22x上.(1)当O(0,0)是切点时，由y3x26x2，得在原点处的切线斜率k2，解析答案温馨提醒温馨提醒温馨提醒返回对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论.思想方法思想方法感悟提高感悟提高1.f(x0)代表函数f(x)
12、在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程.方法与技巧1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.2.求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.失误与防范返回练出高分练
13、出高分12345678910111213141.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)_.15解析解析由f(x)2xf(1)ln x，f(1)2f(1)1，则f(1)1.1解析答案2.已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为_.因为切线过点(0,0)，所以ln x01，123456789101112131415解析答案3.已知函数f(x)的导数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)的值等于_.123456789101112131415解析答案解析解析因为f(x)x23xf(2)ln x，4.设曲线yaxln x在
14、点(1,1)处的切线方程为y2x，则a_.解析解析令f(x)axln x，由导数的几何意义可得在点(1,1)处的切线的斜率为f(1)a1.又切线方程为y2x，则有a12，a3.3123456789101112131415解析答案5.已知a为常数，若曲线yax23xln x存在与直线xy10垂直的切线，则实数a的取值范围是_.123456789101112131415解析答案解析解析由题意知曲线上存在某点的导数为1，即2ax22x10有正根.当a0时，显然满足题意；123456789101112131415解析答案6.设函数f(x)x(xk)(x2k)(x3k)，若f(0)6，则k_.解析解析f
15、(x)x(xk)(x2k)(x3k)x47k2x26k3x，f(x)4x314k2x6k3，f(0)6k36，解得k1.11234567891011121314153解析答案123456789101112131415解析答案8.(2015课标全国)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.123456789101112131415解析答案得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为ky|x12，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1，此切线与曲线yax2(a2)x1相切，消去y得ax2ax20，得a0且a28a0，解得a8.答案答案89.已知曲线yx3x2在点
16、P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；解解 由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解之得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4).123456789101112131415解析答案(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程.解解直线ll1，l1的斜率为4，l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，即x4y170.123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为
17、定值，并求此定值.123456789101112131415解析答案解解设P(x0，y0)为曲线上任一点，00203(1)()yyxxx0020033()(1)()yxxxxx即123456789101112131415解析答案令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0).故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.123456789101112131415 1212，fxx1211()1244，a123456789101112131415解析答案12.曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21(x1
18、,2)上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为_.123456789101112131415解析答案123456789101112131415f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，2，)123456789101112131415解析答案14.已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值为_.123456789101112131415解析答案则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 01
19、5log2 016(x1x2x2 015)1.答案答案1123456789101112131415解析解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点P(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，15.已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；解解 由已知得f(x)3ax26x6a，f(1)0，3a66a0，a2.123456789101112131415解析答案(2)是否存在k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.123456789101112131415
20、解析答案返回解解存在.由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线yg(x)的切线，g(x0)6x06，将(0,9)代入切线方程，解得x01.123456789101112131415解析答案当x01时，切线方程为y9；当x01时，切线方程为y12x9.由(1)知f(x)2x33x212x11，由f(x)0得6x26x120，解得x1或x2.在x1处，yf(x)的切线方程为y18；在x2处，yf(x)的切线方程为y9，yf(x)与yg(x)的公切线是y9.123456789101112131415解析答案由f(x)12得6x26x1212，解得x0或x1.在x0处，yf(x)的切线方程为y12x11；在x1处，yf(x)的切线方程为y12x10；yf(x)与yg(x)的公切线不是y12x9.综上所述，yf(x)与yg(x)的公切线是y9，此时k0.123456789101112131415返回
