1、3.2导数的应用课时课时1导数与函数的单调性导数与函数的单调性内容索引题型一不含参数的函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性题型二含参数的函数的单调性题型二含参数的函数的单调性题型三利用函数单调性求参数题型三利用函数单调性求参数思想与方法系列思想与方法系列练出高分练出高分思想方法思想方法 感悟提高感悟提高题型一不含参数的函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性题型一题型一不含参数的函数的单调性不含参数的函数的单调性例例1 求函数 f(x)ln xx的单调区间.解解函数f(x)的定义域为(0，).当f(x)0，即0 xe时，函数f(x)单调递增；当f(x)e时，函数f(x)单调递减.故函数f(
2、x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，).解析答案思维升华思维升华确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.跟踪训练1解析答案返回已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间是_解析解析f(x)sin xxcos xsin xxcos x令f(x)xcos x0，题型二含参数的函数的单调性题型二含参数的函数的单调性题型二题型二含参数的函数的单调性含参数的函数的单调性解析答案(1)当a1时
3、，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；所以切线方程为y(ln 22)x2，整理得xyln 20.解析答案思维升华解析答案思维升华此时，在(0,1)上，f(x)0，f(x)单调递增 思维升华所以f(x)在(0，)上单调递减综上，当a0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增；思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数.
4、讨论函数f(x)(a1)ln xax21的单调性.跟踪训练2解析答案返回当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，求函数f(x)的单调区间；解解 由(1)得，f(x)x2axx(xa)(a0)，当x(，0)时，f(x)0；当x(0，a)时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区间为(0，a).解析答案(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解解g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)x2ax20时恒成立.解析答案由g(x)0，得x1；由g(x)
5、0，得0 x0时恒成立，解析答案由上述推理可知此时a1.故实数a的取值范围是(，1.返回思想与方法系列思想与方法系列典例典例(14分)已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性.思维点拨思维点拨依据g(x)的切线条件可得g(1)0得a，b关系，代g(x)后消去b，对a进行分类讨论确定g(x)的符号.思想与方法系列5.分类讨论思想研究函数的单调性分类讨论思想研究函数的单调性 思维点拨解析答案返回温馨提醒规范解答规范解答解解(1)依题意得g(x)ln xax2bx
6、，由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得：g(1)12ab0，b2a1.4分函数g(x)的定义域为(0，)，解析答案温馨提醒由g(x)0，得0 x1，由g(x)1，6分解析答案温馨提醒综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；解析答案温馨提醒温馨提醒温馨提醒返回(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.思想方法思想方法感悟提高感悟提高1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f(x)0
7、，f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.(2，)解析答案2.若函数f(x)2x33mx26x在区间(2，)上为增函数，则实数m的取值范围为_.解析解析f(x)6x26mx6，当x(2，)时，f(x)0恒成立，即x2mx10恒成立，当x2时，g(x)0，即g(x)在(2，)上单调递增，123456789101112131415解析答案解析解析由题意得f(x)12cos x0，123456789101112131415解析答案4.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)恒成立，若x10，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)g(x2)，即1
8、212()()ee，xxf xf x所以1221ee.xxf xf x1221eexxf xf x123456789101112131415解析答案解析解析依题意得，当x0，f(x)为增函数；cab123456789101112131415解析答案6.函数f(x)xln x的单调递减区间为_.解析解析函数的定义域是(0，)，令f(x)0，解得0 x0，解得x3.当x2时，g(x)0，g(x)x2x6在(，2)上为减函数 答案答案(，2)123456789101112131415解析答案(2)求函数f(x)的单调区间.令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去.
9、当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数.综上，f(x)的单调增区间为(5，)，单调减区间为(0,5).123456789101112131415解析答案g(x)x1.123456789101112131415解析答案即x2(2m2)x10在1，)上恒成立，2m22，m2.故实数m的取值范围是(，2.123456789101112131415解析答案即在(0,3上原函数是减函数，a10且a13，解得1a2.1a2123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415答案答案(3,0)(3
10、，)解析解析对f(x)求导，123456789101112131415解析答案由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，得0t1或2t3.(0,1)(2,3)123456789101112131415解析答案15函数f(x)ax33x23x(a0)(1)讨论函数f(x)的单调性；123456789101112131415解析答案解解f(x)3ax26x3，f(x)3ax26x30的判别式36(1a)若a1，则f(x)0，且f(x)0，当且仅当a1，x1，故此时f(x)在R上是增函数由
11、于a0，故当a1时，f(x)0有两个根，123456789101112131415解析答案若0a0，故f(x)分别在(，x2)，(x1，)上是增函数；当x(x2，x1)时，f(x)0，故f(x)在(x2，x1)上是减函数若a0，则当x(，x1)或(x2，)时，f(x)0，故f(x)在(x1，x2)上是增函数123456789101112131415123456789101112131415解析答案返回(2)若函数f(x)在区间(1,2)上是增函数，求a的取值范围123456789101112131415返回解解当a0，x0时，f(x)0，所以当a0时，f(x)在区间(1,2)上是增函数当a0时，f(x)在区间(1,2)上是增函数，
