1、 - 1 - 2017-2018 学年第一学期高二年级期末考试 数学（理科） 试卷 （考试时间： 120分钟，满分： 150分） 一、选择题：（ 12小题，每题 5 分，共 60分） 1、 已知复数 z满足 iz=2+3i，则 z对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2、 设命题 p： ? x 0， x-lnx 0，则 p为 A. ? x0 0， x0-lnx0 0 B. ? x0 0， x0-lnx00 C. ? x 0， x-lnx 0 D. ? x 0， x-lnx0 3、 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于 “ 松 竹并生 ” 的问题：松长五尺，竹
2、长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a， b分别为 5， 2，则输出的 n=（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4、 已知命题 p， q， “ p为真 ” 是 “ p q为假 ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5、 已知双曲线 的一条渐近线为 ，则实数 a的值为 A. B. 2 C. D. 4 6、 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E， F分别是 C1D1， CC1的中点，则异面直线 AE与 BF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. - D. - 7、
3、函数 f（ x） =2x2-4lnx的单调减区间为 - 2 - A. （ -1， 1） B. （ 1， + ） C. （ 0， 1） D. -1， 0） 8、 由曲线 xy=1与直线 y=x， y=3 所围成的封闭图形面积为 A. 2-ln3 B. 4-ln3 C. 2 D. ln3 9、 若 a 0， b 0，且函数 f（ x） =4x3-ax2-2bx 在 x=1处有极值，则 + 的最小值为 A. B. C. D. 10、 论语云： “ 名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足 ” 上述推理用的是 A
4、. 合情推理 B. 归纳推理 C. 类比推理 D. 演绎推理 11、 已知 F是椭圆 =1（ a b 0）的左焦点， A 为右顶点， P是椭圆上的一点， PF x轴，若 |PF|= |AF|，则该椭圆的离心率是 A. B. C. D. 12、 若函数 f（ x） =4-x2+alnx满足 ? x 0，有 f（ x） 3 成立，则 a的取值范围是（ ） A. 2 B. （ ， 2 C. 2， 3） D. （ 1， 2 二、填空题：（ 4小题，每题 5分，共 20分） 13、 14、 统计某产品的广告费用 x与销售额 y的一组数据如表： 广告费用 x 2 3 5 6 销售额 y 7 m 9 12
5、若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得 y 对 x 的回归直线方程是 =1.1x+4.6，则数据中的 m的值应该是 _ 15、 点 P是双曲线 x2- =1（ b 0）上一点， F1、 F2是双曲线的左、右焦点， |PF1|+|PF2|=6，PF1 PF2，则双曲线的离心率为 16、 若函数 y=ex+ax有大于零的极值点，则实数 a的取值范围是 三、解答题：（ 6小题，共 70分） - 3 - 17（ 10 分）、 设命题 p：实数 x满足（ x-a）（ x-3a） 0，其中 a 0，命题 q：实数 x满足（ x-3）（ x-2） 0 （ 1）若 a=1，且 p q为真，求实数 x的取值范围
6、 （ 2）若 p是 q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围 18（ 12 分）、 已知集合 A=（ x， y） x 0， 2， y -1， 1 （ 1）若 x， y Z，求 x+y0 的概率； （ 2）若 x， y R，求 x+y0 的概率 19（ 12 分）、 已知抛物线 y2=-x与直线 y=k（ x+1）相交于 A， B两点 （ 1）求证： OA OB； （ 2）当 AB的弦长等于 时，求 k的值 - 4 - 20（ 12 分）、 如图，在四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD是矩形， PA 平面 ABCD， PA=AD=2， AB=1， BM PD于点 M （ 1）求证： AM PD
7、（ 2）求点 D到平面 ACM的距离 21（ 12 分）、 已知点 P（ 0， -2），椭圆 E： 的离心率为 ， F是椭圆 E的右焦点，直线 PF 的斜率为 2， O为坐标原点 （ 1）求椭圆 E的方程； （ 2）直线 l被圆 O： x2+y2=3截得的弦长为 3，且与椭圆 E交于 A、 B两点，求 AOB面积的最大值 22（ 12 分） 、 已知函数 f（ x） =x-lnx， g（ x） = （ 1）求 f（ x）的最小值； （ 2）求证： f（ x） g（ x）； （ 3）若 f（ x） +ax+b0 ，求 的最小值 - 5 - 2017-2018高二期末考试数学（理科）试卷 一、 选
8、择题：（ 12 小题，每题 5分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C A D A C B C A B A 3、 解：当 n=1时， a= ， b=4，满足进行循环的条件， 当 n=2时， a= ， b=8满足进行循环的条件， 当 n=3时， a= ， b=16 满足进行循环的条件， 当 n=4时， a= ， b=32 不满足进行循环的条件， 故输出的 n值为 4，故选 C 4、 解：若 “ p为真 ” ，则 p为假， “ p q为假 ” ， 若 “ p q为假 ” ，则可能 p真 q假，则 “ p为真 ” 不成立， 故 “ p为真 ”
9、是 “ p q为假 ” 的 充分不必要条件，故选： A 5、 解： 双曲线 的渐近线为 ， ，解得 a=4，故选 D 6、 解：以 D为原点， DA为 x轴， DC 为 y轴， DD1为 z轴，建 立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD-A1B1C1D1中棱长为 2， E， F分别是 C1D1， CC1的中点， A（ 2， 0， 0）， E（ 0， 1， 2）， B（ 2， 2， 0）， F（ 0， 2， 1）， =（ -2， 1， 2）， =（ -2， 0， 1）， 设异面直线 AE与 BF所成角的平面角为 ，则 cos= = = 异面直线 AE与 BF所成角的余弦值为 故选： A 7、 解
10、： f（ x）的定 义域是（ 0， + ）， f （ x） =4x-= ， 令 f （ x） 0，解得： 0 x 1，故选： C 8、 解：方法一：由 xy=1， y=3可得交点坐标为（， 3），由 xy=1，y=x可得交点坐标为（ 1， 1），由 y=x， y=3 可得交点坐标为（ 3， 3）， 由曲线 xy=1，直线 y=x， y=3所围成的平面图形的面积为 - 6 - （ 3-） dx+ （ 3-x） dx=（ 3x-lnx） +（ 3x-x2） ， =（ 3-1-ln3） +（ 9-3+） =4-ln3 故选： B 方法二：由 xy=1， y=3 可得交点坐标为（， 3），由 xy=1
11、， y=x可得交 点坐标为（ 1， 1）， 由 y=x， y=3 可得交点坐标为（ 3， 3）， 对 y积分，则 S= （ y-） dy=（ y2-lny） =-ln3-（ -0） =4-ln3， 故选 B 9、 解：函数 f（ x） =4x3-ax2-2bx的导数为 f （ x） =12x2-2ax-2b， 由函数 f（ x） =4x3-ax2-2bx 在 x=1 处有极值，可得 f （ 1） =0，即 12-2a-2b=0，即为 a+b=6，（ a， b 0），则 +=（ a+b）（ +） =（ 5+ +） ?（ 5+2 ） =?（ 5+4） = 当且仅当 =，即有 a=2b=4时，取得最
12、小值故选： C 11、 解：根据椭圆几何性质可知 |PF|= ， |AF|=a+c，所以 =（ a+c），即 4b2=3a2-3ac， 因为 b2=a2-c2，所以有 4a2-4c2=3a2-3ac，整理可得 4c2+3ac-a2=0，两边同除以 a2得： 4e2+3e-1=0， 所以（ 4e-1）（ e+1） =0，由于 0 e 1，所以 e= 故选： B 12、 解：函数 f（ x） =4-x2+alnx满足 ? x 0，有 f（ x） 3 成立 ?x2-1-alnx0 对 ? x 0恒成立 令 g（ x） =x2-1-alnx， ， 当 a0 时， g （ x） 0 恒成立 ， g（ x
13、）在（ 0， + ）单调递增，而 g（ 1） =0，故不符合题意； 当 a 0时，令 g （ x） =0， x ， g（ x）在 x= 处有极小值，而 g（ 1） =0 ， a=2， 故选： A 二、 填空题：（ 4小题，每题 5分，共 20分） 13、 解： （ x2+x） |=6； 14、 解：由题意， =4， =7+ ， y对 x的回归直线方程是 =1.1x+4.6， 7+ =4.4+4.6， m=8 15、 解：根据题意，点 P是双曲线 x2- =1（ b 0）上一点，则有 |PF1|-|PF2|=2a=2， 设 |PF1| |PF2|，则有 |PF1|-|PF2|=2，又由 |PF1
14、|+|PF2|=6，解可得： |PF1|=4， |PF2|=2， 又由 PF1 PF2，则有 |PF1|2+|PF2|2=4c2=20，则 c= ， - 7 - 又由 a=1，则双曲线的离心率 e= = ； 16、 解： y=ex+ax， y=ex+a由题意知 ex+a=0有大于 0的实根，由 ex=-a，得 a=-ex， x 0， ex 1 a -1 三、解答题：（ 6小题，共 70分） 17解：（ 1）由（ x-1）（ x-3） 0，得 P=x|1 x 3， 由 （ x-3）（ x-2） 0 ，可得 Q=x|2 x3 ， 由 p q 为真，即为 p， q均为真命题，可得 x的取值范围是 2
15、 x 3； （ 2）若 p是 q的充分不必要条件，可得 q是 p的充分不必要条件， 由题意可得 P=x|a x 3a， Q=x|2 x3 ，由 Q?P，可得 a 2且 3 3a，解得 1 a 2 18、 解：（ 1）设 “ x+y0 ， x， y Z” 为事件 A， x， y Z， x 0，2，即 x=0， 1， 2； y -1， 1，即 y=-1， 0， 1 则基本事件有：（ 0， -1），（ 0， 0），（ 0， 1），（ 1， -1），（ 1， 0），（ 1， 1），（ 2， -1），（ 2， 0），（ 2， 1）共 9个 其中满足 “ x+y0 ” 的基本事件有 8个， P（ A） =
16、 故 x， y Z， x+y0 的概率为 （ 2）设 “ x+y0 ， x， y R” 为事件 B， x 0， 2， y -1， 1，则基本事件为如图四边形 ABCD区域，事件 B包括的区域为其中的阴影部分 基本事件如图四边形 ABCD区域 S=4，事件 B包括的区域如阴影部分 S =S-= P（ B） = = 19、 解：（ 1）证明：由方程 y2=-x， y=k（ x+1）消去 x后，整理得 ky2+y-k=0 设 A（ x1， y1）、 B（ x2， y2）， 由韦达定理 y1?y2=-1 A、 B在抛物线 y2=-x上， y12=-x1， y22=-x2， y12?y22=x1x2 kOA?kOB= ? = = =-1， OA OB （ 2）设直线与 x轴交于 N，又显然 k0 ， 令 y=0，则 x=-1，即 N（ -1， 0） S OAB=S OAN+S OBN=|ON|y1|+|ON|y2|=|ON|?|y1-y2|， S OAB=?1? = S OAB= ， = 解得 k= - 8 - 20、 证明：（ 1） 在四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD是矩形， PA 平面ABCD， AB AD， AB PA， PA AD=A， AB 平面 PAD， BM PD于点 M， AB BM=B， PD 平面 ABM， AM?平面 ABM， AM PD 解：（ 2）以 A为
