1、 1 2016-2017 学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若复数 z满足 z 2i= i?z，则 z=（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 2设随机变量 X B（ 8， p），且 D（ X） =1.28，则概率 p的值是（ ） A 0.2 B 0.8 C 0.2或 0.8 D 0.16 3某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响部分统计数据如表： 使用智能手机 不使用智能手机 总计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16
2、 2 18 总计 20 10 30 附表： P（ K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算 K2的观测值为 10，则下列选项正确的是（ ） A有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C在犯错误的概率不超过 0.001的前 提下认为使用智能手机对学习有影响 D在犯错误的概率不超过 0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响 4用反证法证明：若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0（
3、 a 0）有有理数根，那么 a、 b、 c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A假设 a、 b、 c都是偶数 B假设 a、 b、 c都不是偶数 C假设 a、 b、 c至多有一个偶数 D假设 a、 b、 c至多有两个偶数 5函数 f（ x） =x2 lnx的单调递减区间是（ ） A B C ， D 6已知 X的分布列为 X 1 0 1 2 P 设 y=2x+3，则 E（ Y）的值为（ ） A B 4 C 1 D 1 7从 1， 2， 3， 4， 5中任取 2个不同的数，事件 A： “ 取到的 2个数之和为偶数 ” ，事件 B：“ 取到的 2个数均为偶数 ” ，则 P（ B|A） =（ ）
4、 A B C D 8在如图所示的正方形中随机投掷 10 000个点，则落入阴影部 分（曲线 C为正态分布 N（1， 1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） 附：若 X N（ ， 2），则 P（ X + ） =0.6826， P（ 2 X +2 ） =0.9544 A 1 193 B 1 359 C 2 718 D 3 413 9如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出 y 关于 x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（ ） x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 A
5、产品的生产能耗与产量呈正相关 B t的取值必定是 3.15 C回归直线一定过点（ 4， 5， 3， 5） D A产品每多生产 1吨，则相应的生产能耗约增加 0.7吨 10将 5 件不同奖品全部奖给 3个学生，每人至少一件奖品，则不同的获奖情况种数是（ ） A 150 B 210 C 240 D 300 11大衍数列，来源于中国古代著作乾坤谱中对易传 “ 大衍之数五十 ” 的推论其前3 10项为： 0、 2、 4、 8、 12、 18、 24、 32、 40、 50通项公式： ，如果把这个数列 an排成如图形状，并记 A（ m， n）表示第 m 行中从左向右第 n 个数，则 A（ 10， 4）的
6、值为（ ） A 1200 B 1280 C 3528 D 3612 12已知函数 f（ x）的导函数为 f（ x），且 f（ x） f（ x）对任意的 x R恒成立，则下列不等式均成立的是（ ） A f（ ln2） 2f（ 0）， f（ 2） e2f（ 0） B f（ ln2） 2f（ 0）， f（ 2） e2f（ 0） C f（ ln2） 2f（ 0）， f（ 2） e2f（ 0） D f（ ln2） 2f（ 0）， f（ 2） e2f（ 0） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答题卡相应横线上） 13直线 是曲线 y=lnx的一条切线，则实数 b的值为 14
7、计算定积分： = 15已知（ 1 x） 5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a5x5，则（ a0+a2+a4）（ a1+a3+a5）的值等于 16已知函数 f（ x） =x2+2x+a， g（ x） =lnx 2x，如果存在 ，使得对任意的，都有 f（ x1） g（ x2）成立，则实数 a的取值范围是 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17在（ 2 ） 6的展开式中，求： （ 1）第 3项的二项式系数及系数 （ 2）含 x2的项 18在各项为正的数列 an中，数列的前 n项和 Sn满足 Sn= （ an+ ）， （ 1）求 a1， a2， a
8、3； 4 （ 2）由（ 1）猜想数列 an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想 19为了研究一种昆虫的产卵数 y和温度 x是否有关，现收集了 7组观测数据列于下表中，并做出了散点图，发现样 本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型 与模型； 作为产卵数 y 和温度 x 的回归方程来建立两个变量之间的关系 温度 x/C 20 22 24 26 28 30 32 产卵数 y/个 6 10 21 24 64 113 322 t=x2 400 484 576 676 784 900 1024 z=lny 1.79 2.30 3.04 3.18 4.16 4.73 5
9、.77 26 692 80 3.57 1157.54 0.43 0.32 0.00012 其中 ， ， zi=lnyi， ， 附：对于一组数据（ 1， 1），（ 2， 2）， ? （ n， n），其回归直线 v= + 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ， （ 1）根据表中数据，分别建立两个模型下 y 关于 x的回归方程；并在两个模型下分别估 计温度为 30C 时的产卵数（ C1， C2， C3， C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65 104.58， e4.85 127.74， e5.05 156.02） （ 2）若模型 、 的相关指数计算分别为 ，请根据相关指数判断哪个模
10、型的拟合效果更好 5 20某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中 2道题的 便可通过已知 6道备选题中应聘者甲有 4道题能正确完成， 2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ，且每题正确完成与否互不影响 （ ）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望； （ ）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？ 21对于命题 P：存在一个常数 M，使得不等式 对任意正数 a， b恒成立 （ 1）试给出这个常数 M的值； （ 2）在（ 1）所得结论的条件下证明命题 P； （ 3）对于上述命
11、题，某同学正确地猜想了命题 Q： “ 存在一个常数 M，使得不等式对任意正数 a， b， c恒成立 ” 观察命题P与命题 Q的规律，请猜想与正数 a， b， c， d相关的命题 22已知函数 存在两个极值点 （ ）求实数 a的取值范围； （ ）设 x1和 x2分别是 f（ x）的两个极值点且 x1 x2，证明： 6 2016-2017 学年广东省中山市高二（下 ）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的） 1若复数 z满足 z 2i= i?z，则 z=（ ） A 1+i B 1
12、i C 1+i D 1 i 【考点】 A7：复数代数形式的混合运算 【分析】 由题意可得 z= ，由复数的乘除运算法则，化简即可得到所求复数 【解答】 解： z 2i= i?z， 可得 z= = = =1+i， 故选： C 2设随机变量 X B（ 8， p），且 D（ X） =1.28，则概率 p的值是（ ） A 0.2 B 0.8 C 0.2或 0.8 D 0.16 【考点】 CN：二项分布与 n次独立重复试验的模型 【分析】 根据方差列方程解出 p 【解答】 解： D（ X） =8p（ 1 p） =1.28， p=0.8或 0.2 故选 C 3某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机 对学
13、习的影响部分统计数据如表： 使用智能手机 不使用智能手机 总计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 总计 20 10 30 附表： 7 P（ K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 经计算 K2的观测值为 10，则下列选项正确的是（ ） A有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B有 99.5%的把握认为使用智能手机对学 习无影响 C在犯错误的概率不超过 0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响 D在犯错误的概率
14、不超过 0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响 【考点】 BO：独立性检验的应用 【分析】 根据 K2的观测值，对照临界值表即可得出结论 【解答】 解：根据 K2的观测值为 10 7.879，对照临界值表， 有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 故选： A 4用反证法证明：若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a 0）有有理数根，那么 a、 b、 c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A假设 a、 b、 c都是偶数 B假设 a、 b、 c都不是偶数 C假设 a、 b、 c至多有一个偶数 D假设 a、 b、 c至多有两个偶数 【考点】 R9：反证法与放缩法 【
15、分析】 本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对 “b 、 c 中至少有一个偶数 ” 写出否定即可 【解答】 解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定 “ 至少有一个 ” 的否定 “ 都不是 ” 即假设正确的是：假设 a、 b、 c都不是偶数 故选： B 5函数 f（ x） =x2 lnx的单调递减区间是（ ） A B C ， D 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性 8 【分析】 求出原函数的导函数，由导函数小于 0求出自变量 x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求 【解答】 解：由 f（ x） =x2 lnx，得： f （ x） =（ x2 lnx） =2x = ， 因为函数 f（ x） =x2 lnx的定义域为（ 0， + ）， 由 f （ x） 0，得： 0， 解得： 0 x 所以函数 f（ x） =x2 lnx的单调递减区间是（ 0， ， 故选： A 6已知 X的分布列为 X 1 0
