1、 - 1 - 2016-2017 学年广西桂林市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的） 1已知 =（ +1， 0， 2 ）， =（ 6， 0， 2）， ，则 的值为（ ） A B 5 C D 5 2函数 y=cos2x的导数是（ ） A sin2x B sin2x C 2sin2x D 2sin2x 3已知 i是虚数单位，则 对应的点在复平面的（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象 限 4观察下列等式， 13+23=32， 13+23+33=62， 13+23+33+
2、43=102根据上述规律， 13+23+33+43+53+63=（ ） A 192 B 202 C 212 D 222 5若随机变量 X的分布列如下表，且 EX=6.3，则表中 a的值为（ ） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A 5 B 6 C 7 D 8 6已知小王定点投篮命中的概率是 ，若他连续投篮 3次，则恰有 1次投中的概率是（ ） A B C D 7用反证法证明 “ 若 x+y 0则 x 0或 y 0” 时，应假设（ ） A x 0或 y 0 B x 0且 y 0 C xy 0 D x+y 0 8已知变量 X服从正态分布 N（ 2， 4），下列概率与 P（ X 0）相等的是（
3、 ） A P（ X 2） B P（ X 4） C P（ 0 X 4） D 1 P（ X 4） 9由曲线 xy=1，直线 y=x， y=3所围成的平面图形的面积为（ ） A B 2 ln3 C 4+ln3 D 4 ln3 10正方体 ABCD A1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为（ ） A B C D 11在哈 尔滨的中央大街的步行街同侧有 6 块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若- 2 - 要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（ ） A 20 B 21 C 22 D 24 12已知定义在 R上的可导函数 f（ x）的导函数为 f（ x），满足 f（
4、 x） f（ x），且 f（ x+3）为偶函数， f（ 6） =1，则不等式 f（ x） ex的解集为（ ） A（ ， 0） B（ 0， + ） C（ 1， + ） D（ 4， + ） 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13已知 ，则 P（ AB） = 14 （ ex+x） dx= 15若三角形内切圆半径为 r，三边长为 a， b， c，则三角形的面积 S= （ a+b+c） r，利用类比思想：若四面体内切球半径为 R，四个面的面积为 S1， S2， S3， S4，则四面体的体积 V= 16若关于 x 的方程 xlnx kx+1=0 在区间 ， e上有两个不等实根，则实数
5、k 的取值范围是 三、解答题（共 6小题，满分 70 分 .解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤） 17（ 1）已知 A =6C ，求 n的值； （ 2）求二项式（ 1 2x） 4的展开式中第 4项的系数 18已知函数 f（ x） =x3+ax2+bx在 x= 与 x=1处都取得极值 （ 1）求 a， b的值； （ 2）求曲线 y=f（ x）在 x=2处的切线方程 19设数列 an满足： a1=2， an+1=an2 nan+1 （ 1）求 a2， a3， a4； （ 2）猜想 an的一个通项公式，并用数学归纳法证明 20某企业招聘中，依次进行 A科、 B科考试，当 A科合格时，才可考 B科
6、，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过甲参加招聘，已知他每次考 A科合格的概率均为 ，每次考 B科合格的概率均为 假设他不放弃每次考试机会，且 每次考试互不影响 （ I）求甲恰好 3次考试通过的概率； - 3 - （ II）记甲参加考试的次数为 ，求 的分布列和期望 21如图所示，已知长方体 ABCD 中， 为 DC 的中点将 ADM 沿 AM 折起，使得 AD BM （ 1）求证：平面 ADM 平面 ABCM； （ 2）是否存在满足 的点 E，使得二面角 E AM D为大小为 若存在，求出相应的实数 t；若不存在，请说明理由 22已知函数 f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2lnx
7、 （ 1）当 a=1时，求 f（ x）的单调区间； （ 2）若函数 f（ x）在（ 0， ）上无零点，求 a最小值 - 4 - 2016-2017 学年广西桂林市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的） 1已知 =（ +1， 0， 2 ）， =（ 6， 0， 2）， ，则 的值为（ ） A B 5 C D 5 【考点】 M5：共线向量与共面向量 【分析】 根据题意，由空间向量的平行判定方法，可得若 ，必有 = ，解可得 的值，即可得答案 【解答】 解：根据题意，已
8、知 =（ +1， 0， 2 ）， =（ 6， 0， 2）， 若 ，必有 = ， 解可得： = ； 故选： A 2函数 y=cos2x的导数是（ ） A sin2x B sin2x C 2sin2x D 2sin2x 【考点】 63：导数的运算 【分析】 根据题意，令 t=2x，则 y=cost，利用复合函数的导数计算法则计算可得答案 【解答】 解：根据题意，令 t=2x，则 y=cost， 其导数 y= （ 2x） （ cost） = 2sin2x； 故选： C 3已知 i是虚数单位，则 对应的点在复平面的（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 A5：复数代数形式的乘
9、除运算 - 5 - 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 对应的点在复平面的坐标得答案 【解答】 解： = ， 对应的点在复平面的坐标为（ 1， 1），在第四象限 故选： D 4观察下列等式， 13+23=32， 13+23+33=62， 13+23+33+43=102根据上述规律， 13+23+33+43+53+63=（ ） A 192 B 202 C 212 D 222 【考点】 F1：归纳推理； 8M：等差数列与等比数列的综合 【分 析】 解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加
10、，右边的底数也在增加从中找规律性即可 【解答】 解： 所给等式左边的底数依次分别为 1， 2； 1， 2， 3； 1， 2， 3， 4； 右边的底数依次分别为 3， 6， 10，（注意：这里 3+3=6， 6+4=10）， 由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 右边的底数为 10+5+6=21又左边为立方和，右边为平方的形式， 故有 13+23+33+43+53+63=212 故选 C 5若随机变量 X的分布列如下表，且 EX=6.3，则表中 a的值为（ ） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 CG：离散型
11、随机变量及其分布列 【分析】 由题意知： 0.5+0.1+b=1，解得 b=0.4，从而 4 0.5+0.1a+9 0.4=6.3，由此能求出a 【解答】 解：由题意知： 0.5+0.1+b=1， 解得 b=0.4， EX=6.3， - 6 - 4 0.5+0.1a+9 0.4=6.3， 解得 a=7 故选： C 6已 知小王定点投篮命中的概率是 ，若他连续投篮 3次，则恰有 1次投中的概率是（ ） A B C D 【考点】 CB：古典概型及其概率计算公式 【分析】 利用 n次独立重复试验中事件 A恰好发生 k次概率计算公式直接求解 【解答】 解： 小王定点投篮命中的概率是 ， 他连续投篮 3
12、次，则恰有 1次投中的概率： p= = 故选： A 7用反证法证明 “ 若 x+y 0则 x 0或 y 0” 时，应假设（ ） A x 0或 y 0 B x 0且 y 0 C xy 0 D x+y 0 【考点】 FC：反 证法 【分析】 熟记反证法的步骤，直接填空即可反面有多种情况，需一一否定 【解答】 解：用反证法证明 “ 若 x+y 0则 x 0或 y 0” 时，应先假设 x 0且 y 0 故选： B 8已知变量 X服从正态分布 N（ 2， 4），下列概率与 P（ X 0）相等的是（ ） A P（ X 2） B P（ X 4） C P（ 0 X 4） D 1 P（ X 4） 【考点】 CP
13、：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 由变量 X服从正态分布 N（ 2， 4）可知， x=2 为其密度曲线的对称轴，即可求出答案 【解答】 解：由变量 X 服从正态 分布 N（ 2， 4）可知， x=2为其密度曲线的对称轴，因此 P（ X 0） =P（ X 4） 故选 B - 7 - 9由曲线 xy=1，直线 y=x， y=3所围成的平面图形的面积为（ ） A B 2 ln3 C 4+ln3 D 4 ln3 【考点】 6G：定积分在求面积中的应用 【分析】 由题意利用定积分的几何意义知，欲求由曲线 xy=1，直线 y=x， y=3所围成的平面图形的面积曲边梯形 ABD 的面积与直角
14、三角形 BCD的面积，再计算定积分即可求得 【解答】 解：根据利用定积分的几何意义，得： 由曲线 xy=1，直线 y=x， y=3所围成的平面图形的面积： S= （ 3 ） dx+ =（ 3x lnx） +2 =3 ln3 1+2 =4 ln3 故选 D 10正方体 ABCD A1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 MI：直线与平面所成的角； MK：点、线、面间的距离计算 【分析】 正方体上下底面中心的连线平行于 BB1，上下底面中心的连线与平面 ACD1所成角，即为 BB1与平面 ACD1所成角， 直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦
15、值 【解答 】 解：如图，设上下底面的中心分别为 O1， O，设正方体的棱长等于 1， - 8 - 则 O1O与平面 ACD1所成角就是 BB1与平面 ACD1所成角，即 O1OD1， 直角三角形 OO1D1中， cos O1OD1= = = ， 故选 D 11在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有 6 块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（ ） A 20 B 21 C 22 D 24 【考点】 D8：排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则蓝色最多 可以用 4 块，则分 4 种情况依次讨论配色方案的数目，由分类计数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则蓝色最多可以用 4块， 分 4种情况讨论： 、 6块广告牌都不用蓝色，即全部用红色，有 1种情况； 、 6
