1、 1 2017学年黄冈市高二（下）期末试题 数学（理科） 一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 设集合 S x|x 2， T x|x2 3x 40 ，则 (?RS) T ( ) A. 4， 2 B. ( ， 1 C. 1， ) D. ( 2， 1 【答案】 B 【解析】 由题意可得： ，且 ， 则 ，即 . 2. 已知复数 ，则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题意可得： ， 则复数 的虚部为 . 本题选择 D选项 . 3. 随机变量 ，若 ，则 为（ ） A. B. C.
2、D. 【答案】 B 【解析】 ， ，故选 D 4. 若 个人报名参加 项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】四名同学报名参加 3项体育比赛，每人限报一项，每人有 3种报名方法；根据分步计数原理，可得共有 3333= 种不同的报名方法，故选 C 5. 广告投入对商品的销售额有较大影响某电商对连续 5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元） 2 广告费 2 3 4 5 6 销售额 29 41 50 59 71 由上表可得回归方程为 ，据此模型，预测广告费为 8万元时的销售额约为（ ） A. B. C. D.
3、 【答案】 A 【解析】 由题意得， ， 将点 代入 ，解得 ，即 ， 当 时， ，故选 D. 6. 从 中不放回地依次取 个数，事件 表示 “ 第 次取到的 是奇数 ” ，事件 表示“ 第 次取到的是奇数 ” ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：由题意， ， ，故选 D 考点：条件概率与独立事件 7. 已知函数 ，则 的图象大致是 ( ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析： ,故3 f （ x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除 BD，又当 时， , 排除 C，只有 A适合，故选： A 考点：函数的图像和性质 8. 如图，长方形的四个顶
4、点坐标为 O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线 经过点 B,现将质点随机投入长方形 OABC中，则质点落在图中阴影部分的概率为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由定积分可得，阴影部分的面积为： ， 由几何概型公式可得： . 本题选择 A选项 . 点睛： 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A满足的不等式，在图形中画出事件 A发生的区域，通用公式： P(A)= . 9. 若 且 ，则 和 的值满足（ ） A. 和 都大于 2 B. 和 都小于 2 C
5、. 和 中至少有一个小于 2 D. 以上说法都不对 【答案】 C 【解析】 假设 和 同时成立 . 因为 x 0， y 0， 所以 1+x2y ，且 1+y2x ， 两式相加得 1+x+1+y2(x+y) ， 即 x+y2 ，这与 x+y 2相矛盾， 因此 和 中至少有一个小于 2. 本题选择 C选项 . 4 点睛： 应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结 论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要指： 与已知条件矛盾； 与假设矛盾； 与定义、公理、定理矛盾； 与公认的简单事实矛盾； 自相矛盾 . 10. 2013年 8月
6、 ,考古学家在湖北省随州市叶家山发现了大量的古墓 ,经过对生物体内碳14含量的测量 ,估计该古墓群应该形成于公元前 850年左右的西周时期 ,已知碳 14的 “ 半衰期 ” 为 5730年 (即含量大约经过 5730年衰减为原来的一半 )，由此可知，所测生物体内碳 14的含量应最接近于（ ） A. 25 B. 50 C. 70 D. 75 【答案】 C 【解析】 ，且： ， 据此估计生物体内碳 14的含量应最接近于 70 . 本题选择 C选项 . 11. 对大于 1的自然数 m的三次幂可用奇数进行以下形式的 “ 分裂 ” ：.仿此，若 的 “ 分裂数 ” 中有一个是 2017，则 m的值为(
7、) A. 44 B. 45 C. 46 D. 47 【答案】 C 2017从 3开始的第 1008个奇数， 据此可得 . 本题选择 C选项 . 12. 已知函数 恰有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 令 可得：5 ， 令 , 令 , 则在区间 上 单调递减，在区间 上 g(x)单调递增， ， 当 时， ，函数 在 上单调递增， 当 时， ，函数 在 上单调递减， 当 时， ，当 时， ， . 本题选择 C选项 . 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13. 数学老师从 6 道习题中随机抽 3道让同学检测，规定至少要解答
8、正确 2道题才能及格。某同学只能求解其中的 4道题，则他能及格的概率是 _ 【答案】 【解析】 由超几何分布的概率公式可得，他能及 格的概率是： . 点睛： 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是： 考察对象分两类； 已知各类对象的个数； 从中抽取若干个个体，考查某类个体个数 X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型 14. 已知函数 ，则曲线 在 处的切线方程是 _ 【答案】 【解析】 由题意可得： ，令 可得： ， 即： ， 且： ， 6 切线过点 ，斜率为 ，则切线方程为 . 15. 设 ，则 等于
9、_ 【答案】 135 【解析】 解： ， 当 时，可得： . 16. 先阅读下面的文字： “ 求 的值时，采用了如下的方式：令，则有 ，两边平方，可解得 =2（负值舍去） ” 。那么，可用类比的方法，求出 的值是 _ 【答案】 【解析】试题分析：由题观察可类比得 ; 考点：类比推理 . 三、解答题：（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知定义在 上的函数 是奇函数 求 的值，并判断函数 在定义域中的单调性（不用证明）； 若对任意的 ，不 等式 恒成立，求实数 的取值范围 【答案】 ； . 【解析】试题分析： (1)根据函数奇偶性的定义和性质建立方程
10、关系即可求 的值； (2)根据函数奇偶性和单调性的性质 ,将不等式进行转化进行求解即可 . 试题解析： 是定义在 上的奇函数， ， ， ， ， 即 对一切实数 都成立 ， 7 不等式 等价于 又 是 上的减函数， 对 恒成立， 即实数 的取值范围是 考点：函数的奇偶性和单调性 . 【方法点晴】本题属于对函数单调性应用的考察，若函数 在区间上单调递增，则时，有 ，事实上，若 ,则 ，这与矛盾，类似地，若 在区间上单调递减，则当时有 ；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系 .本题中的易错点是容易忽视定义域 . 18. 为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了 60
11、人，从女生中随机抽取了 50 人参加环保知识测试，统计数据如下表所示： 优秀 非优秀 总计 男生 40 20 60 女生 20 30 50 总计 60 50 110 （ 1）试判断是否有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； （ 2） 为参加市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，现在环保测试优秀的同学中选 3人参加预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为 ，若随机变量 表示这 3人中通过预选赛的人数，求 的分布列与数学期望 附 : 8 0 500 0 400 0 100 0 010 0 001 0 455 0 708 2 706 6 635 10 828 【答案】 （ 1）
12、有 %的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（ 2）分布列见解析， 【解析】试题分析：（ 1）利用公式计算得 ，故有 把握；（ 2） 的可能取值为 ， 且 满足二项分布 ，由此求得分布列和期望 试题解析： （ 1） 因为 所以有 99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关 （ 2） 的可能取值为 0， 1， 2， 3 ， 所以 的分布列为： X 0 1 2 3 P 因为 ， 9 所以 考点： 1独立性检验； 2二项分布 19. 如图 ,某段铁路 AB 长为 80公里， ,且 公里，为将货物从 A地运往 C地 ,现在 AB上的距点 B为 x的点 M处修一公路至点 C.已知铁路运费为每公里 2元
13、,公路运费为每公里 4元 . （ 1） 将总运费 y表示为 x的函数 . （ 2）如何选点 M才使总运费最小？ 【答案】 （ 1） ；（ 2）当在距离点 为 公里时的点 处修筑公路至 时总运费最省 【解析】试题分析：（ 1）有已知中铁路 长为 ，且 ，为将货物从 运往 ，现在 上距点 为 的点 处修一条公路至 ，已知单位距离的铁路运费为 ，公路运费为 ，我们可以计算公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由 到 的总运费；（ 2）由（ 1）中所得的总运费 表示为 的函数，利用导数法，我们可以分析出函数的单调性，以及憨厚的最小值点，得到答案 . 试题解析：（ 1）依题中， 铁路 长为 ,且 ,将货物
14、从 运往 ,现在上的距点 为 的点 处修一公路至 ,且单位距离的铁路运费为 ,公路运费为 . 铁路 上的运费为 ,公路 上的运费为 , 则由 到 的总运费为 . （ 2） ,令 ,解得 ,或 （舍） . 当 时 , ；当 时 , ； 故当 时 , 取得最小值 , 即当在距离点 为 时的点 处修筑公路至 时总运费最省 . 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数最值的应用 . 【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数求解函数的极值与最值问题，本题的解答中，根据题意列出 到 的总运费为的函数关系式是关键，再利用导数研究函数的单调性及求解函数的极值、最值，着重考查了分析问题和解答问题的能力、以及转10 化与化归思想的应用，属于中档试题 . 20. 已知数列 的前 项和为 ，且 （ 1）试求出 ，并猜想 的表达式； （ 2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出 的表达式。 【答案】 （ 1） ；（ 2）见解析 . 【解析】 试题分析：（ 1）先根据数列的前 项的和求得 ，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出 ；（ 2）利用数学归纳法证明猜想成立，由 可直接求出的表达
