1、 1 河北省临漳县一中 2017-2018 学年高二数学下学期期末考试试题 文 注意：本试卷包含 、 两卷。第 卷为选择题，所有答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。第 卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 ， 0， 1， ，则 A. B. C. D. 0， 1， 2. 设 ，则 A. 0 B. C. 1 D. 3. 在 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 A. B. C. D. 4. 已知函数 ，则 A. 的最小正周期为 ，最大值为 3 B. 的
2、最小正周期为 ，最大值为 4 C. 的最小正周期为 ，最大值为 3 D. 的最小正周期为 ，最大值为 4 5. 以角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系 xOy，若角 终边过点 ，则 A. B. C. D. 6. 设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 A. 6 B. 19 C. 21 D. 45 7. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设 ， 是两个不同的平面， l， m 是两条不同的直线，且 ， 下面命题正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D
3、. 若 ，则 9. 函数 ，其值域为 D，在区间 上随机取一个数 x，则 的概率是 A. B. C. D. 10. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减 C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减 11. 抛物线 的焦点为 F，过焦点 F 且倾斜 角为 的直线与抛物线相交于 A， B 两点，若 ，则抛物线的方程为 A. B. C. D. 12. 设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知函数 ， 为 的导函数，则 的值为 _ 14.
4、 如图，已知正方体 的棱长为 1，则四棱锥的体积为 _ 3 15. 直线 与圆 交于 A， B 两点，则 _ 16. 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， 已知 ， ，则 的面积为 _ 三、解答题 （本大题共 7 小题，共 80.0 分） 17. 设 是等差数列，且 ， 求 的通项公式； 求 18. 如图，四棱锥 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， ， 证明：直线 平面 PAD； 若 面积为 ，求四棱锥 的体积 19. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式 为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两
5、组，每组 20 人 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式 根据工人完成生产任务的工 作时间 单位： 绘制了如下茎叶图： 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； 求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m和不超过 m 的工人数填入下面的列联表： 4 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 根据 中的列联表，能否有 的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： ， k 20. 已知圆 经过椭圆 C： 的两个焦点和两个顶点，点， M， N 是椭圆 C 上的两点，它们在 y 轴两侧，且 的平分线在 y 轴上 ， 求椭圆
6、C 的方程； 证明：直线 MN 过定点 21. 设函数 讨论 的单调性； 当 时， ，求 a 的取值范围 请考生在 22、 23 题中任选一题作答 ， 如果多做 ， 则按所做的第一题计分 22. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的普通方程为 在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 5 写出圆 C 的参数方程和直线 l 的直角坐标方程； 设直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A、 B， P 为圆 C 上的任意一点，求 的取值范围 23. 已知函数 解不等式 ； 若对于任意的实数 都有 ，求 a 的取值范围 6 文数 答案和解析 【答案】 1. A
7、2. C 3. A 4. B 5. D 6. C 7. C 8. C 9. B 10. A 11. D 12. D 13. e 14. 15. 16. 17. 解 ： 是等差数列 ， 且 ， 可得 ： ， 可得 ， 的通项公式 ； ， ， 18. 证明：四棱锥 中， 平面 PAD， 平面PAD， 直线 平面 PAD； 解：四棱锥 中，侧面 PAD 为等边三角 形且垂直于底面 ABCD， ， 设 ， 则 ， ， O 是 AD 的中点， 连接 PO， OC， CD 的中点为： E，连接 OE， 则 ， ， ， 面积为 ，可得： ， 即： ，解得 ， 则 19. 解： 根据茎叶图中的数据知， 第一种
8、生产方式的工作时间主要集中在 之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在 之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； 这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 排在中间的两个数据是 79 和 81，计算它们的中位数为 ； 由此填写列联表如下； 7 超过 m 不超过 m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40 根据 中的列联表，计算 ， 能有 的把握认为两种生产方式的效率有差异 20. 解： 圆 与 x 轴交点 即为椭圆的焦点， 圆 与 y 轴交点 即为椭圆的上下两顶点， 所以 ， 从而 ， 因此椭圆 C 的方
9、程为： 证明：设直线 MN 的方程为 由 ，消去 y 得 设 ， ，则 ， 直线 AM 的斜率 ； 直线 AN 的斜率 由 的平分线在 y 轴上，得 即 ， 又因为 ，所以 ， 所以 因此，直线 MN 过定点 21. 解： 因为 ， ， 所以 ， 令 可知 ， 当 或 时 ，当 时 ， 所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增； 由题可知 下面对 a 的范围进行讨论： 当 时，设函数 ，则 ， 因此 在 上单调递减， 又因为 ，所以 ， 所以 ； 当 时，设函数 ，则 ， 所以 在 上单调递增， 8 又 ， 所以 因为当 时 ， 所以 ， 取 ，则 ， 所以 ，矛盾； 当 时，取 ，则 ，矛盾
10、； 综上所述， a 的取值范围是 22. 解： 圆 C 的普通方程为 圆 C 的参数方程为 为参数 直线 l 的极坐标方程为 ， ， 直线 l 的直角坐标方程为 直线 l 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 A、 B， 由直线 l 的方程 可得点 ，点 设点 ，则 由 知 ， 则 ， 的取值范围是 23. 解： 不等式 ，即 ， 等价于： 或 或 ， 解得 ，或 ，或 所以所求不等式的解集为 ，当 时， 又因为对于任意的实数 都有 ， 所以 a 的取值范围是 9 【解析】 1. 解：集合 ， 0， 1， ， 则 故选： A 直接利用集合的交集的 运算法则求解即可 本题考查集合的基本运算，交集的求
11、法，是基本知识的考查 2. 解： ， 则 故选： C 利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的摸 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的摸的求法，考查计算能力 3. 解：在 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点， ， 故选： A 运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量 本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题 4. 解：函数 ， ， ， ， ， ， 故函数的最小正周期为 ， 函数的最大值为 ， 故选： B 首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果 本题考查的知识要点：三
12、角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用 5. 解：角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系 xOy，若角 终边过点 ， 则 ， ， ， ， ， ， 故选： D 由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 和 的值，可得 的值 本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题 10 6. 解：由变量 x， y 满 足约束条件， 得如图所示的可行域，由解得 当目标函数 经过 A 时，直线的截距最大， z 取得最大值 将其代入得 z 的值为 21， 故选： C 先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数 的最大值 在解决线性规划的
13、小题时，常用 “ 角点法 ” ，其步骤为： 由约束条件画出可行域 求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证，求出最优解 也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值 7. 解：四棱锥的三视图对应的直观图为： 底面ABCD， ， ， ， ，可得三角形 PCD 不是直角三角形 所以侧面中有 3 个直角三角形，分别为： ， ， 故选： C 画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果 本题考查简单几何体的三视图的应用，是基本知识的考查 8. 解：对于 A，若 ，则 或 ， 相交，不正确； 对于 B，若 ，则 l、 m 位置关系不定，不正确； 对于 C，根据平面与平面垂直的判定，可知正确； 对于 D， ，则 l、 m 位置关系不定，不正确 故选 C 对 4 个命题分别进行判断，即可得出结论 本题考查了空间线面、面面平行和垂直关系，面面平行的判定定理，线面垂直的定义及 其应用，空间想象能力 9. 解：函数 ， 的值域为 ， 即 ， 则在区间 上随机取一个数 x， 的概率 故选： B
