1、第二十六章常第二十六章常 微微 分分 方方 程程 初初 步步(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、内容提要一、内容提要1、微分方程的基本概念。2、可分离变量的微分方程及经过变换后可分离变量的微分 方程。3、一阶线性非齐次微分方程的解法，即常数变易法。4、可降阶的微分方程。5、线性微分方程解的结构。6、常系数二阶线性非齐次微分方程的解法。二、重点和难点二、重点和难点 可分离变量的一阶微分方程、一阶线性非齐次微分方程、常系数二阶线性非齐次方程的解法为重点。常数变易法、可降阶的微分方程及常系数二阶线性非齐次方程的特
2、解设定为难点。三、基本要求三、基本要求1、正确理解微分方程及其阶、解、通解、特解、初始条件等概念。2、能熟练识别、求解各种类型的一阶常系数线性非齐次微分方程和二阶常系数线性非齐次微分方程以及可降阶的微分方程。四、对教学的建议四、对教学的建议五、本章关键词五、本章关键词微分方程一阶线性微分方程二阶常系数线性微分方程 在教学中作为重点内容为：可分离变量的微分方程、可以转化成可分离变量的微分方程、一阶线性非齐次微分方程及可降阶的微分方程，二阶常系数线性非齐次特解设定应多举例题，让学生熟练掌握其方法。(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、一阶可分离变量的微分方程一、一阶可分离变量的微分方程(
3、)()()()()()0()(1)若微分方程可以写成 的形式。其解法很简单，只需把 和 写在一起。和 写在一起，即变量分离，然后两端积分便可。dyf x g ydxg ydyf xdxdyf x dxg yg y230 求微分方程 的通解。yxdyedxy例例1 1解解23变量分离，xyydye dxe 2311.23故yxeec(2)形如 的微分方程称为齐次微分方程，作代换，令，则可变量分离。dyyfdxxyux22 求微分方程 的通解。dyxyxydx例例2 2解解21变形 dyyydxxx令，yuyxux则，dyduuxdxdx21代入有，duxudx211故当 时，有，dudxuxu
4、arcsinln|.得 uxcsin(ln|).即原方程的通解为 yxxc1.当 时，即 不是方程的解uyx ()(3)形如 的微分方程，作代换令 或，便可分离变量。dyf axbycaxbyudxaxbycu2(1)求微分方程 的通解。dyxydx例例3 3解解1设，xyu 1则，dydudxdx21代入有 ，duudx21则，dudxuarctanuxcarctan(1).即原方程的通解为 xyxc二、一阶线性非齐次微分方程常数变易法二、一阶线性非齐次微分方程常数变易法()()一阶线性非齐次微分方程 的解法如下。dyp x yq xdx0.(1)先求与其对应的齐次方程 的通解为 pdxdy
5、pydxyce().().(2)再设一阶线性非齐次微分方程的解为 即将所求出的齐次方程通解中的积分常数 改为待定函数，其叫作常数变易法pdxyc x ecc x().()().(3)将所设的解及其导数代入非齐次线性微分方程，便可解出 于是可求出非齐次线性微分方程的通解(注意：代入后必有 与 抵消)c xp x yp x y1(1)(1)求解微分方程。xndyxnyexdx例例4 4解解(1)1变形：为一阶线性非齐次微分方程.xndynyexdxx0.1先考虑与其对应的齐次方程 的通解dynydxx1变量分离：，dyndxyxln|ln|1|ln.故 ynxc(1)01即 为齐次方程 的通解.n
6、dynyc xydxx()(1).设 为原方程的解nyc x x1()(1)()(1).则 nnyc x xc x n x将、代入原方程，有yy1()(1)()(1)()(1)(1)1nnnxnnc x xc x n xc x xexx()().则，xxc xec xec()(1).即原方程的通解为 xnyec x1().(1)(1).(1)(1).()(1).注：一阶线性非齐次微分方程 的通解也可直接套用公式 但该公式太长，不利记忆，于是多采用上题的方法来求解.当然例4也可这样求解：变形：故，即原方程的通解为 该解法虽然简单，但技巧性较强.这里不做pdxpdxnnxnxnxxndypyqyq
7、edxc edxxyn xyexyexyecyec x 要求，一般了解即可.26 求微分方程 的通解。dyyxydxx 例例5 5解解此属于伯努利方程，变形、作代换便可化成一阶线性非齐次微分方程.216 1dyxy dxx y ,16则 dyxdxx y1令，zy6得 为一阶线性非齐次微分方程dzzxdxx60先求与其对应的齐次方程 的通解.dzzdxx6因为，dzdxzx 6.故 zcx66()设 为方程 的解.dzzc x xzxdxx67()6()则 zc x xc x x6766()6()()代入有：c x xc x xc x xxx781()()8故 ，c xxc xxc2618故
8、czxx2611.8即原方程的通解为 cxyx三、可降阶的二阶微分方程三、可降阶的二阶微分方程(,)(1)形如 的微分方程yf x y1112(,)(,)0(,)0(,)0 此类方程的特点是方程缺少函数，可用降阶法来求，具体解法是：设 则 代入则有 这时方程则变成为函数 关于自变量 的一阶微分方程.若可以求出其通解，即 为一阶微分方程，再求解便可得到原方程的通解.xxxyypyppf x ppxx p cx y cx y c c20 求微分方程 的通解。yyyx例例6 6解解因方程缺少函数，则可设，则，yypyp20于是 为一个伯努利方程，pppx21111变形：有，pxpp 1111则 dp
9、dxxp11令，则 该方程是 关于 的一阶线性非齐次方程.dzzzzxpdxx 可以采用常数变易法求出其通解.这里不再一一细说.该方程也可以这样来做：变形：.z xzx 212111()122则，.xzxxzxxczxc 2112故 xyxc 21211ln|42即原方程的通解为 .yxcc(,)(2)形如 的微分方程yf y y1112.(,).(,)0(,)0(,)0 此类方程的特点是方程缺少自变量，其可用降阶法来求，具体解法是：设 则 代入则有 这时方程则变为含有变量 和 的一个一阶微分方程.若可以求出其通解，即 为一阶微分方程，再求解便可得到原方程的通解.xxyxyxypypp yp
10、pdppf y ppydyy p cy y cx y c c 230 求微分方程 的通解。yyyy例例7 7解解因方程缺少自变量，则可设，则，dpxypypdy230.代入有 dpypppdy01故当，时，pp2.1有，dpdydpdpdyyppypp11111则有，c ypc yppc y11.1即 c ydydxc y111有 dydxc y211ln|则原方程的通解为 yyxcc01可验证：，.pp即，也是方程的解为补解.ycyx四、用微分方程解决实际问题举例四、用微分方程解决实际问题举例例例8 8 确定探照灯反射镜面的形状(已知从光源射出的光线经过镜面平行地反射出去)。解解()()设光
11、源位于坐标原点，并取 轴为平行于反射光的方向.如果所求的曲面由曲线 绕 轴旋转而成，则反射镜面的问题就相当于求曲线 的问题.如图26-1所示.xyf xxyf xyyx2Ox312()yf xTM图26-1 例8示意23122(,)()21设 为曲线 上任意一点，过该点的切线为，由入射角和反射角的关系，可得，由图26-1容易看出.M x yyf xMT232222tantantan21tan故.221即，yyxy21().xxyyy 这是一个齐次方程，令.xuy(注：令 麻烦)yux则 ，dxduxyuuydydy22111 代入微分方程.duuyuudyuu 22ln(1)ln|ln1故 ，
12、dudyuuycyu22221 所以 uucyxxycy221(12)即 为一抛物线.ycxc例例9 9 求一曲线，使其切线在纵轴上的截距等于切点横坐标的平方，且该曲线过(1,1)点。解解(,)()设 为所求曲线上任意一点，过该点的切线方程为.其中、为切线的流动坐标.x yYyy XxXY20令 得切线在 轴上的截距为，则有 XyYyxyyxyx即 为一阶线性非齐次方程.yyxx 可采用常数变易法.求得其通解.这里不再细说.21仍采用 xyxyx 1故 ，yyxcxx 2即 .yxcx 11因 ，xy2故 c 22即所求曲线方程为 为一抛物线.yxx(三三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答
13、 案案答答 案案 31 ,0?、三阶微分方程的通解的形式是怎样的F x y yy2 、对形如的微分方程的求解的步骤是什么?yyfx 23 sin 对应的齐次方、一阶线性非齐次微分方程dyxdxxy?4、对形如，的微分方程，要使其降阶关键是什么yfyy程是什么?(四四)课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案3361 350?、是几阶微分方程yyyx2 230.、求齐次线性微分方程的通解yyy23 1.、求微分方程，当初始条件为的特解xyyyx 24 .、求微分方程的通解yyx 返返 回回1231,.、yy x c c c返返 回回2 .、首先令，则，然后两端对求导得，最后实施变量分离去求解yuyxuxxduyuxdx 返返 回回23 0.、是，dyxdyx返返 回回4 .、是，令，则dpypypdy返返 回回1、：解.是二阶微分方程返返 回回2、：解2 230微分方程的特征方程为，rr12 13 .可得，是特征方程的两个根rr 312.故微分方程的通解为：xxyC eC e返返 回回3、：解 可得两端积分,ydydxyxyx lnlnln 得cyxCyx 2 1 2.又 故xyC2.微分方程的特解为：yx返返 回回4、：解22 分离变量得两端积分,dyydydxdxxyxln2lnlnyxC2 故就是所求微分方程的通解.ycx
