1、 1 福建师大附中 2017-2018学年下学期期末考试（实验班） 高二理科数学试卷 时间： 120分钟 满分： 150分 一、选择题（每小题 5 分，共 70分；在给出的 A,B,C,D 四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.复数 (i为虚数单位 )的共轭复数是 （ ） A. 1+i B. 1?i C. ?1+i D. ?1?i 2 设随机变量 X 服从正态分布 2( , )N? ， 若 ( 4) ( 0)P x P x? ? ?， 则 ? （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 3.计算 ( ) A. 1 B C D 4 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件 A? 两次的点数均为奇数 ，
2、B? 两次的点数之和小于 7 ，则 ? ?P BA ? （ ） A 13 B 49 C.59 D 23 5. 设 0p1，随机变量 的分布列是 0 1 2 P 则当 p在（ 0， 1）内增大时 ， ( ) A. D（ ）减小 B. D（ ）增大 C. D（ ）先减小后增大 D. D（ ）先增大后减小 6. 若 2 0 1 8 2 0 1 80 1 2 0 1 8(1 2 )x a a x a x? ? ? ? ?L)( Rx? ,则 2018122 20182 2 2aa? ? ?L的值为（ ） A 2 B 0 C -1 D -2Z。 7. 我 校校友 数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了
3、世界领先的成果哥德巴赫猜想是 “ 每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和 ” ，如 在不超过 30的素数中，2 随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 （ ） A. B. C. D. 8已知随机变量 X满足 5)1( ?XE ， 5)1( ?XD ，则下列说法正确的是（ ） A 5)(,5)( ? XDXE B 4)(,4)( ? XDXE C 5)(,5)( ? XDXE D 5)(,4)( ? XDXE 9. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ） A. 18 B.24 C.30 D.36 10
4、. 已知在 10件产品中可能存在次品，从中抽取 2件检查，其次品数为 ? ，已知 ? ? 16145P ?，且该产品的次品率不超过 40% ，则这 10件产品的次品率为 （ ） A 10% B 20% C 30% D 40% 11. 如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段 (虚线部分 )与两条直道 (实线部分 )平滑连接(相切 )已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( ) A 321122y x x x? ? ? B 3211 322y x x x? ? ? C 314y x x? D 3211 242y x x x? ? ? 12 2018年元旦期间，某高速公路收费
5、站的三个高速收费口每天通过的小汽车数 （单位：辆）均服从正态分布 ，若 ，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过 700辆的概率为（ ） A. 1125 B. 12125 C. 61125 D. 64125 13 某种植基地将编号分别为 1， 2， 3， 4， 5， 6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号 1， 3， 5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且 2号品种的马铃薯不能种植在 A、F这两块 实验田上，则不同的种植方法有 ( ) 3 A. 360种 B.
6、432 种 C. 456种 D. 480种 14 已知函数 ? ? ? ?210 2 1 ( 0 )xx xfx ex x x? ? ?，若函数 ? ? ? 1y f f x a? ? ?有三个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. ? ?11 1 2 3e?， ，B. ? ?111 1 2 3 3ee? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ，C. ? ?111 1 2 3 3ee? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ，D. ? ?21 1 2 3e?， ，二、 填空题 （每小题 5分，共 20分） 15. 从 1， 3， 5， 7， 9 中任取 2个数字，从 0， 2， 4， 6中
7、任取 2个数字， 一共可以组成 _个没有重复数字的四位数 .(用数字作答 ). 16.若2 3 2 50 1 2 5( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )x x a a x a x a x? ? ? ? ? ? ? ? ?L，则 ?2a _ 17. _.（用组合数表示） 18 四根绳子上共挂有 10 只气球 ,绳子上的球数依 次 为 1,2,3,4，每枪只能打破一只球 ,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球 ,则将这些气球都打破的不同打法数是_.（用数 字表示） 三、解答题（要求写出过程，共 60分） 19. (本小题满分 10分 ) 已知复数 iaaz )1(21 21 ?， iR
8、aiaz ,()1(22 ? 是虚数单位） . （）若复数 21 zz? 在复平面内对应的点在第四象限，求实数 a 的取值范围； （）若虚数 1z 是实系数一元二次方程 044 2 ? mxx 的根，求实数 m 的值 . 4 20. (本小题满分 10 分 )已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线 C 的极坐标方程为 ? ?2 cos sin? ? ? （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）直线12: (312xtltyt?为参数）与曲线 C 交于 ,AB两点，于 y 轴交于点 E ，求11EA EB? 的值。 21. (本小题满分
9、 12分 ) 某厂有 4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现 1次故障，且每 台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需 1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为 13 . (1)若出现故障的机器台数为 ? ，求 ? 的分布列； (2) 该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于 90%？ (3)已知一名工人每月只有维修 1 台机器的能力，每月需支付给每位工人 1 万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障 能及时维修，就使该厂产生 5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有 2名工人，求该厂每月获利的均值 . 22. (本小题满分 1
10、4分 ) 已知随机变量 ? 的取值为不大于 n 的非负整数值，它的分布列为： ? 0 1 2 L n P 0p 1p 2p L np 其中 ip （ 0,1,2, ,in? L ）满足： ? ?0,1ip? ，且 0 1 2 1np p p p? ? ? ? ?L 定义由 ? 生成的函数 ? ? 20 1 2 nnf x p p x p x p x? ? ? ? ?L，令 ? ? ? ?g x f x? ? 5 （ I）若由 ? 生成的函数 ? ? 231 1 14 2 4f x x x x? ? ?，求 ? ?2P? 的值； （ II ）求证：随机变量 ? 的数学期望 ? ?1Eg? ? ，
11、 ? 的 方 差? ? ? ? ? ? ? ? ? 21 1 1D g g g? ? ? ? ； （ ）现投掷一枚骰子两次，随机变量 ? 表示两次掷出的点数之和，此时由 ? 生成的函数记为 ?hx，求 ?2h 的值 23.(本小题满分 14分 ) 已知函数 ? ? 2 lnf x x x x? ? ?. （ 1）求函数 ?fx的极值； （ 2）若 1x ， 2x 是方程 ? ? 2ax f x x x? ? ?（ 0a? ）的两个不同的实数根， 求证： 12ln ln 2ln 0x x a? ? ?. 6 福建师大附中 2017-2018学年下学期期末考试卷 高二理科数学 选修 2-3参考答案
12、 一、 1.B 2.B 3.A 4.D 5.D 6.C 7.C 8.D 9.C 10.B 11. A 12. C 13. A 14.B 二、 15. 1260； 16. 1； 17. mknC? . 18.12600 三、 17. 试题解析：（ 1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为 A ，则事件 A 的概率为 13 ，该厂有 4台机器就相当于 4 次独 立重复试验，因出现故障 的机器台数为 X ，故 1 4,3XB?， ? ? 404 2 1 60 3 8 1P X C ? ? ?， ? ? 304 1 2 3 21 3 3 8 1P X C ? ? ?
13、? ?, ? ? 2204 1 2 2 42 3 3 8 1P X C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 304 1 2 83 3 3 8 1P X C ? ? ? ? ? 即 X 的分布列为： （ 2）设该厂有 n 名工人，则“每台机器在任 何时刻同时出现故障及时进行维修”为 xn? ，即 0x? ， 1x? ， ?， xn? ，这 1n? 个互斥事件的和事件，则 72 9081? % 8081? , ?至少要 3 名工人，才能保证 每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于 90%. （ 3）设该厂获利为 Y 万元，则 Y 的所有可能取值为： 18
14、,13,8 ? ? ? ? ? ? ? ? 721 8 0 1 2 81P Y P X P X P X? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? 81 3 3 81P Y P X? ? ? ?， ? ? ? ? 184 81P Y P X? ? ? ?， 7 即 Y 的分布列为： 则 ? ? 7 2 8 1 1 4 0 81 8 1 3 88 1 8 1 8 1 8 1EY ? ? ? ? ? ? ?， 故该厂获利的均值为 140881 . 18. 解 ：（ ） iaaazz )(221 221 ?在第四象限 ?002212 aaa? ? ? 01 2,5.2 aaa 01 ? a .
15、（） 1z 是实系数一元二次方程 044 2 ? mxx 的根 044 121 ? mzz 0)1(42 )1(824)1(4)2( 4 22222 ? ? iaaamaaa 0)1(42 )1(8 22 ? aaa且 024)1(4)2( 4 222 ? maaa 0?a M=5 20. 2 （ 1） ? ? ? ?221 1 2xy? ? ? ? （ 2） 5 【解析】 试题分析：（）运用直角坐标与极坐标互化公式 , （）直线 参数方程中参数的几何意义及应用于求弦长 . 试题解析：（ 1） 则 的直角坐标方程为 ，即 （ 2）将的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 ， 设点 对应的参数分
16、别为 ，则 7分 1 考点：直角坐标与极坐标互化公式 , 直线参数方程中参数的几何意义 8 22。 试题解析：（ I） ? ? 12 2P ? ? （ II）由于 ? ? 0 1 20 1 2 nE p p p n p? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? 1122 nng x f x p p x n p x ? ? ? ? ? ， 所以 ? ? ? ?g1E ? ? 由 ? 的方差定义可知 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 220 0 0 02n n n ni i i ii i i iD i E p i p E p E i p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 0 0 112n n n ni i i ii i i ii i p i p E p E i p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?222 12n ii i i p E E E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 1n ii i i p E E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 1 1 1n ii i i p g g? ? ? ?
