1、第六章 平面向量和复数 第一节 平面向量的概念及加、减、数乘 第二节 平面向量的数量积*第三节 复数的概念*第四节 复数的四则运算*第五节 复数的三角形式及乘除运算*第六节 复数的指数形式及在电工学中的应用第一节 平面向量的概念及加、减、数乘一、平面向量的概念 在几何学、物理学以及日常生活中，我们常遇到许多的量.有一类量比较简单，在取定单位后可由一个实数完全确定，如长度、面积、体积、时间、质量、温度等，这种只有大小的量叫做数量；另外还有一类比较复杂的量，例如位移、力、速度、加速度等，它们不但有大小，而且有方向，这种量就称为向量.定义1 既有大小又有方向的量叫做向量，或称做矢量,.,(62),.
2、,ABABa baABaAB,a b c 我们用有向线段来表示向量 有向线段的长度表示向量的大小,或称向量的模,有向线段的方向代表向量的方向,有向线段的始点和终点分别叫做向量的始点和终点,始点为,终点为 的向量记作 有时也用 来表示向量 图向量 和 的模分别记作和习惯上 用黑体字母 表示向量,在书写时,则用 aaa b c,AB CD 或 表示向量.AB 图6-1 向量62图 向量aABAB a.,.在实际问题当中 有许多向量与其起点无关 而一切向量的共性是它们有大小和方向,在数学中,我们只研究与起点无关的向量.这样的向量称之为自由向量.这样,平面内任意点都可以作出向量的起点.将起点放在坐标原
3、点 处,终点在点的向量称为点的向径和径矢显然向量和平面上的点是一一对应的OMOMM,.,.我们规定 如果向量 和 的模相等并且方向也相同 则称它们是相等的 记作非零向量 和 方向相同或方向相反,则称 和 平行,记作和向量 方向相反 长度相等的向量叫做 的记作模为1个长度单位的向量叫做单长度为零的向量叫做.记作 为 零向量的方向不确定 视情况而定和向量 方向相同且长度为1的向量称为的单位向量 记作相反向量,-位向量.零向量0ab,a=b.ababa/b.a,aa.aa,a0 00二、平面向量的加法与减法,OOAOBOAOBOACBOC 在力学中我们知道 作用在点 的两个不共线的力,的合力是以,为
4、邻边的平等四边形的对角线向量(图6-3).(64).OOAOBOAOBOACBOCOC 义 已知平面上的两个向量 和 以平面上任一点 为始点作向量=以,为邻边作平行四边形,它的对角线向量,称为两 的和 记为 图 定2向量与ab,a,b,ab,a+b=这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.63图 合力示意图OABCab图6-4 定义2示意OABC,OAOAABABOBOBOBOAOB 在物理学中,我们知道一质点从点 出发到达点 作位移,如果继续从点 到点 作位移 那么其结果等于从点 到点 作位移 因此 位移 可以看作是两次位移 与 的和.(图6-5).,(66).OOAaAABbO
5、BOBOB 义 已知平面上两向量以平面上任意一点 为始点作向量 以 为始点作向量 那么以 为始点 为终点的向量 就叫做两向量 与 的和 记为 图我们称这种求向量和的方法为则.三角形法则用式子表达就是:定3三角形法a,b,ab,a+b=AB+BC=AC 容易验证以上两种向量的加法法则是一致的,需要指出的是平行向量相加,须用三角形法则.;(3)向量的加法满足下面的运算律:(1)交换律 (2)结合律 +=0(4)-0.a+b=b+a;a+bc a+b+ca+=a;a+a65OB=OA+AB 图 OAB66图 三角形法则的图形abOAB下在我们定义向量的减法.义 减去一个向量等于加上它的相反向量,即-
6、=+-a bab定4:,:OOAa OBbBA-这样我们得到两向量的差的几何作图法 在平面上任取一点作那么向量即为图6-7这是因为a bBABOOA b+a=a+bab.至此，我们知道向量的加法和减法可以像实数的加法与那样进行，例如，减正等于加负，移项变号等.BA-图6-7 abOABab三、数乘向量在物理学中我们知道 力质量加速度:=力和加速度都是向量,质量是数量,如果用与 分别表示力,加速度与质量,那么上面的公式可以写成:mf,a=mfa这说明向量与数量有一种结合关系.,义 向量 与实数 的乘积是一个向量,记作的模等于 的模的倍 即的方向 当0时与 反向 我们把这种运算叫做数,简称数aa,
7、aaaaa:,aa,定5向量与量的乘法乘.000显然,的充要条件是=或a=a=;001;-1-a a=a;a=a aaa 两个非零向量平行的充要条件是存在一个数 使得定理中的非零二字可否省去?a,bab.定 定理理证 充分性 由向量数乘定义因此ab,b/b,a/b.明,必要性则 与 同向或反向 若 与 同向 取由向量相等的定义 则若 与 反向 取-则有aa/b,ab,ab,=baa=b,ab,=a=b.b向量与数量的乘法满足以下运算律.(1)结合律 (2)第一分配律 +(3)第二分配律 (4)1 aa;a=a+a;a+ba+b;a=a.至此，对于向量的加、减及数乘可以像多项式那样进行运算，例如
8、：25522-10-4212a+ba ba+ba+b=a+b.习 题思考题：课堂练习题：1.数量、向量、有向线段的含义是什么？2.向量的模、零向量、单位向量、相等向量的定义？1.判断正误.(1)(2)(3),.a babab 任何向量都有确定的大小和方向.零向量的模必为零.向量若则 答 案答 案单击左键显示答案2.,1,2,.如图 设有向量其中求 a babab ,.3.写出图中与向量相等的向量 相反的向量 共线向量AE CDEFA B4.,.已知向量求作向量a b cab bc ca 5.,.已知向量作a b c dabcd 6.:化简(1)32;(2)343.ababaabcabc 2 3
9、 2abBA D答 案答 案答 案答 案答 案第二节 平面向量的数量积 向量的加法和数乘统称为向量的线性运算，这一节再介绍向量的又一种运算.在物理学中,我们知道一个质点在力 的作用下,经过位移.那么这个力所做的功为fscosW=f s其中 为 与 的夹角,这里的功是由向量 与 按上式确定的一个数量.Wfsfs,义 平面上两个向量 与 的模和它们的夹角余弦的乘积叫做向量的数量 也称内积记作或即:(!与 的数量积也常称为点积 又称标量积)定1ab,a,ba bab,ab,.cosa b=a ba,b.OOOAOBOAOB 平面上两个向量的夹角,我们这样规定:在平面上任取一点,以 为始点作 则 与
10、之间大于等于零,小于等于 的夹角,称为 的夹角 记为a,b,a,b,a,b两个向量的数量积是一个数而不是向量.cos如果那么有 a0,b0,:a ba,ba b00,两个向量相互垂直的充要条件是(若是否有或)定理a,ba b=.a b=a=0b=00,0,0,0,20,cos 充分性 由可知若则于是同理 若则若cos可 得即 a b=a ba,baa=0,ab;,bab;a,ba,bab.,022必要性 由可知那么cosab,a,bab=a b22,.特别地习惯上写成2a a=aaa向量的数量积满足下面的运算律.;(1)交换律 (2)关于数因子的结合律 (3)分配律 a b=b a;a b=a
11、 baba+b c=a c+b c.证明 根据向量的数量积的这些运算律可知，对于向量的数量积运算，可以像多项式的乘法那样进行，例如：2222;2;42-233-8-1222222a+ba babaabbabababababaabbaabba+bcdac+bcadbd.习 题思考题：课堂练习题：1.什么叫向量的线性运算？2.数乘向量、平面向量的数量积都是数吗？1.?向量与非零向量的平行 或共线 的充要条件是什么ab2.判断与是否共线ab121212(1)3,4;0,3;(3)2,42,.(2)不共线为基底ae beabeaeebeee ee 答 案答 案答 案答 案*第三节 复数的概念一、虚数单
12、位随着生产力和科学的发展，数的概念也得到扩展.22;5,1,.1.16,:从解方程来看,方程7=2在自然数集N中无解,在整数集中就有一个解-5;方程38在整数集 中无解,而在有理数8集 中就有一个解方程在有理数集 中无解,在实数3集 中就有两个解5 但是 在数的范围扩充到实数集 以后像这样的方程还是无解因为没有一个实数的平方等于在世纪 由于解方程的需要 人们开始引进了一个新数i,叫做虚数单位 并规定x+Zx=x=ZQx=xQRx=Rx(1)1 2 它的平方等于-1,即:i(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加,乘运算律仍然成立.显然,根据上面的规定,可知i就是-1的一个平方根
13、.22121,1,2 又因为-ii所以i也是-1的一个根,这样,方程就有了两个解,ii.xxx 2222271,1,1,1.134546443844虚数单位i有以下的特性.ii,iii i=-i,ii iii i=i,ii iii ii,ii i 4243,:1,1,4n4n+1一般地说 若 是正整数 那么 iii,ii-i.nnn 11,nnnnN0 我们规定,i,i利用数学归纳法可以i证明上述虚数单位 i 的特性对一切正整数 都成立.-5计算.1142 i(2)i;(3)2i+i-;(4)-i-i7i.2i351999例1(1);499 4 3 1999(1)ii-i;-5511i(2)i
14、=-i;ii i i1157(3)2i+i-=i+i=i;2i223425656(4)-i-i7i=i=-i.351515 解二、复数,按照规定,i可以与实数 相乘,而后可同实数 相加,由于运算满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成i,这样,数的范围又扩充了,出现了形如iR 的数 我们把它们称为数,全体复数所成的集合称为复数集,一般用字母C来表示.baa+ba+ba,b复 18世纪以后,复数在数学,力学和电学中得到了应用,从此对它的研究日益展开,现在复数已成为科学技术中普遍使用的一种数学工具.a+bb=ba=baba+b 复数 i,当 0时,就是实数;当 0时,叫做虚数;当0,0 时,
15、叫做纯虚数 与 分别叫复数 i 的实与虚,记作和.例如2-3i,5+i,-0.7i都为虚数,它们的实部分别为2,5,0;虚部分别为-3,1,-0.7.;部部ReZReZIm ZIm Z显然,实数集是复数集 的真子集,即.RCRCRCRC引进复数以后,数的范围得到扩充,现把复数的分类总结如下(图6-8):图6-8 复数分类a+b复数ia,bR0a b实数有理数正有理数正整数正分数循环小数小数0a+bi bbi a=b虚数0 纯虚数,0无理数分数零负有理数负整数负分数正无理数负无理数无限不循环小数.所有虚数组合的集合,称为虚数,用字母 表示,实数集与虚数集 的并集就是复数集,实数集与虚数集 的交集
16、是空集,即:=,=集IRIRICRIICRIRI C RIRI C RI,:a+bc+da+bc+da,b,c,d 如果两个复数i与i的实部与虚部分别相等,我们就说这两个复数相等,记为i=i,这就是说,当那么R R0i=i,i=0a+bc+da=c b=da+bab 两个实数可以比较大小,但两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小.两复数相等的定义,实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法,这也是解决复数问题常用的思想方法.234322 设i,当 为何值时,(1)Z是实数;(2)Z是虚数;(3)Z是纯虚数.Z=mmmmm例2430,mmm=m=Z2(1)当时 即1或3时,是实数;430
17、,2(2)当时 即1且3时,是虚数;mmmmZ230,43022(3)当时 即m=-1时,Z是纯虚数.mmmm 222122343,53,(1);0.ZmmmmZmZZZ11 设ii当 取何值时 (2)例32122235,;433mmm=ZZmm(1)当时 即 4时,22(2)230430,3,0.1 或 时 即时mmmmmZ 解 解三、复数的几何表示,.,1a,bP a babababixya+b 内点数 以前我们所学的直角坐标平面是指横轴与纵轴都是实数轴,单位都是1,一对有序实数与平面内的点 一一对应虽然 复数也是由一对有序实数 和 构成,但 和 i的单位不同,的单位是非曲直,i的单位是,
18、所以我们规定:直角坐标系中横轴 为实轴,单位是 1,纵轴 (不包括原点)为虚轴,单位是,那么复数i 就可用这样的平面内的点 1.用复平面的表示复,.M a,babM表示 其中复数的实部 和虚部 分别是点 的横坐标和纵坐标 图6-9图6-9 直角坐标系中复数OxyabMabi 我们把表示复数的平面叫复数直角坐标平面，简称复平面，这样给出一个复数，在复平面上就能找到一个确定的点和它对应，反过来，对复平面上任何一点，都有一个确定的复数和它对应.显然，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上.用复平面上的点表示复数-3-2i,4i,2,0.例442,0,00.ABCO 如图6-10所示,点-3
19、,-2表示-3-2i,点0,4 表示 i,点2,0 表示点表示 解图6-10 例4 图形C 2,0O 0,0A-3,-2B 0,4xy,3,4,3,00,2?NPQ 复平面上的点M 2,3和各表示什么复数 例523,3,4343,03,0,22MNPQ 如图6-11所示,点2,3 表示i 点表示i,点表示 点表示i.解图6-11 例5 图形P 3,0ON-3,-4M 2,3xy0,2QZa+bOZOZOZZZOZOZ=a+bZOZ 数 如图6-12所示,如果复平面内的点表示复数i,连接点 与点,我们把有向线段看成向量,这样就把复数同向量联系起来了.显然向量是由点 惟一确定的;反过来,点 也可由
20、向惟一确定,因此复数集 与复平面上所有以原点 为始点的向量所成的集合也是一一对应的.为方便起见,我们常把复数i说成点 或说成向量(!相等的向量 2.用向量表示复C表示同一个复数.)22,.OZrra+bZra+brZa+ba+b 图6-12 中的向量的模为,我们也称 为复数i的模(或绝对值),记作或i显然,ia+b图6-12 i的模与辐角OxyZ=a+biabrxOZa+bOZ 由 轴的非负半轴到向量的角(图6-12)叫做数i的辐,它表示了向量的方向.复角(),36090().Z=a+bkkZkkZ 一个不等于零的复数i的辐角有无穷多个,它们彼此相差2 的整数倍.例如,i的辐角是2+这里的单2
21、位是弧度 但也可用度表示为,我们把辐角 在 0,2内的值叫做辐通常记为arg,即0arg2.ZZ 角的主值 每一个不等于零的复数有惟一的模和辐角主值，并且由它的模和辐角主值惟一确定.因此，有这样的结论：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等.复数0没有确定的辐角.0要确定复数i()的辐角,可以应用公式:a+batanba=其中 终边所在象限就是与复数相对应的点Z所在的象限.a,b,显然,当时aR3arg0,arg,arg,arg.22iiaaaa用向量表示复数:2+i,2i,-3,2-3i并分别求出它们的模和辐角的主值.例6 222115,2,1,tan,234.如图6-13所示,
22、向量表示复数2+i,它的模 2+i且点 2,1在第I象限内,所以辐角的主值=26OAab 解2,3,33,23232313,tan.2,325619303 41.OBOCODD 向量表示复数2i,2i辐角主值向量表示复数辐角主值向量表示复数i,i因为点在第IV象限,所以辐角的主值为=360613图 例6图形Oxy:2A+i:B 2i:C-3:D2-3i123-1-2-3-1-212-33-3:,ZZZabiZabix 轭数 如果两个复数的实部相等 虚部互为相反数,这两个复数叫共轭复数.例如,3+4i和3-4i,3i和3i都是共扼复数 复数 的共扼复数用 表示 若 则显然两个共轭复数的模相等 并
23、且表示两个共轭复数的点关于 轴对称,如图6-14所示.共复图6-14 共扼复数3+2i与3-2iOxy-223:32iM1:32iM2习 题思考题：1.?i新数叫什么241999;.iii 2.什么叫复数?什么叫虚数?两个复数能比较大小吗?实数集与虚数集的并集,交集各是什么?3.,?复数相等定义是什么?在 0,2内每一个不等于零的复数 它的模和辐角主值是唯一的吗答 案答 案答 案课堂练习题：2.:填空(1),232,;.(2),3420,;.x,yRxii yxyx,yRxyixy 若则 若 2则 1.填表.i122i52 i120i32212122i322arctan45252 i2710
24、22121232 2-13132120100000000纯虚数虚数纯虚数实数实数（单击左键显示答案）（单击左键显示答案）*第四节 复数的四则运算一、复数的加法和减法 复数的加法和减法法则类似多项式的加法和减法的运算法则，就是实部和实部相加减，虚部和虚部相加减，即：iiiiiiabcdacbdabcdacbd显然，两个复数的和或差仍然是一个复数.234;(2)234.357 计算.(1)5-6iii 1-iiii 例1 6 1 4 (1)原式=5-2-3i=-11i;23412341 1 1 1(2)原式=1-iiii i=2-2i.3550,.设iii求实数 和 的值x+2yyxxy例2 35
25、50,52350 x+2yyxxyyxiii可化为 i,:502350根据复数相等的定义 有 xyyx:3,2.解得 xy解 解,:123 容易验证,复数的加法满足交换律和结合律,即对任何有Z,Z,ZC,1221123123ZZZZZZZZZZ 复数i与i相加,也可以在复平面上利用向量相加的方法进行.!回忆向量的加法,减法.abcd 2222,6 15,OZOZabcdOZ OZOZOZOZ ZZOZOZOZabcda+cb+d 111112 设及分别与复数i及i对应,且不在同一条直线上 图以及为两邻边画平行四边形则对角线向量即对应复数i与i的和i 下面对这个结论作一证明.121121,作 轴
26、的垂线及并且作容易证明并且四边形是矩形 因此:xPZ QZRZZ SRZZZ SZ OQZ PRS112 OR=OP+PR=OP+Z SOPOQacRZRSSZPZQZbd,于是点 的坐标是这说明向量对应复数i.Zac bdOZacbd 图6-15 不共线两复数相加的图形OxyQPR2Z1ZSZ 2211,OZ OZZOZZ ZOZabc+da+cbd 1 如果在同一条直线上(图6-16),我们可以利用向量相加的三角形法则,以 为起点作的相等向量则向量对应复数i与i的和i 下面对这个结论作一证明.121211,:xZ Q Z PZRZ SZRZ OPZZ SQRSZ 作 轴的垂线及并且作容易证
27、明并且四边形是矩形 因此112 OROQQROQZ SOQOPacRZRSSZQZPZbd,于是 点 的坐标为这说明向量对应复数i.Zac bdOZa+cbd 图6-16 共线两复数相加的图形OxyQPR2Z1ZSZ复数相减同样可以在复平面内利用向量相减的方法来进行.1211221221,OZ OZZ ZZ ZOZOZOOZZ ZOZacbd 设不在同一条直线上 连接则过点 作向量则对应复数i(图6-17),下面对这个结论作一证明.1212211,.:作 轴的垂线及并且容易证明并且四边形是矩形因此xZ P Z QZRZ SQZZ SZZROQPZ S1222112,.ORSZQPOPOQacR
28、ZSZQZQSQZPZPZQZbd 617图 两复数相减的图形OxyQPR2Z1ZSZ,于是 点 的坐标为这说明向量对应复数i.Zac bdOZacbd 122212112,.OZ OZOZOMOZOZOZOZOMacbdOZOZ 如果在同一条直线上 作的相反向量则按照共线向量求和的方法即可得到复数i对应的向量12,ZZ 显然 两个共轭复数的差是一个纯虚数.(的几何意义是什么?)二、复数的乘法和除法12,数 复数相乘的法则类似多项式的乘法,设ii是任意两个复数,那么它们的积:Zab Zcd1.复的乘法2iiiiiia+bcdacbcadbdacbdbcad 显然,两个复数的积仍然是一个复数,两
29、个共扼复数的乘积为实数.(两个虚数的乘积是否一定是虚数?)123,:容易验证,复数的乘法满足交换律,结合律以及乘法对加法的分配律,即对任何有Z ZZC12211231231231213,.Z ZZ ZZ ZZZZ ZZZZZ ZZ Z3(1)342;(2);3(3).2a+bab 计算.1-2iii ii1 i2例3(1)220 15 原式=11-2iii;2222(2);ababbaab 原式=i233213133(3)332222213 393 31.88881 原式=iii2 ii 解 2.复数的除法 两个复数相除（除数不为零）可以把它们写成分式的形式，然后，将分子、分母同乘以分母的共扼
30、复数，把结果化简并写成复数的一般形式，即：2222220iiiiiii i iabcdacbdbcadabcdcdcdcdacbdbcadcdcdcd220,0,.i 因为i所以由此可见商是一个i确定的复数abcdcdcd(1)(2)100 计算.1+i(1+2i)(4-4i);.1-i例4(1)1+2i 3+4i3-8+6+4 i1+2i-5+10i 原式=3-4i3-4i 3+4i9+162512 -+i;55(2)1001001001+i 1+i2i 原式=i=1.1-i 1+i2解2,.ii 设4i-2-求实数 和 的值i1-ixyx+yxy例5 将原式的等号两边分别化简解4,左边=4
31、i-2+i-=-2-ixyyx右边iii.xyxyxyxy,:24:6,4.根据复数相等的定义 得 解得yxyxxyxy 习 题思考题：1.:计算100(1)2+3133?;1(2)3-2321?;(3).1iiiiiiii 复数的加、减、乘、除运算法则是什么？课堂练习题：2210.:xx 解方程253.?3 42?.iii复数的三种形式是什么 答 案答 案答 案答 案答 案212223244.?.kkkkiiiikN*第五节 复数的三角形式及乘除运算一、复数的三角形式,(6 18):abr 设复数i的模为辐角为图可以看出cossinarbrcossincossin.abrrr所以 i=i i
32、22,cos,sin,(tan,0),.rrabbabarraZ a b 我们把cos+isin叫做复数的其中或终边所在的象限就是复数相对应的点所在象限三角形式ab图6-18 i的模与辐角Oxyabr:Mabi360(),复数的三角形式中,辐角 可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以写主值,也可以在主值上加2或为简便起见 在复数的代数形式化为三角形式时 一般 只取主值.(!复数的三角形式不惟一,若辐角取主值,则惟一.)kkkZ 把以下复数化成三角形式.(1)3i;(2)1-i;(3)-1;(4)3i.例132,cos,32,arg3,3sin;666r=(1)3+1因为与i对应的点在第一象限
33、所以i于是i=2 cosi 解(3)101,1,arg1,1cossin;因为与对应的点在 轴的负半轴上所以于是i r=x 2(4)033,3,33 cossin.222 因为和 i对应的点在 轴的正半轴上,所以arg 3i于是 iirycossin1.44把一个复数表示成三角形式,辐角 不一定要取主值,例如,2i也是复数i的三角形式1(2)1 12,cos,12777,2 cos,sin;444 因为与i对应的点在第四象限,所以arg 1-i于是1-i=ir=cos315sin315.将复数 2i表示为代数形式例2 cos315sin315cos45sin4522122 2i2i 2i-i.
34、求复数cos+isin的共扼复数的三角形式Z=r例3cossin.Z=rrcos-isini在这里要注意cos-isin并不是复数的三角形式.r解解二、复数三角形式的乘法和除法12,:设复数的三角形式分别是Z Z1.乘法1111222212111222cossin,cossin,cossincossin ii则iiZrZrZ Zrr1 2121212121 21212coscossinsinsincoscossincossin,iirrrr1112221 21212cossincossincossin.即 +ii irrrr,这就是说 两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数
35、的辐角的和.上面的结论可以推广到有限个复数相乘的情形.11112222121 21212cossin,cossin,cossin,cossin.设 iii则innnnnnnnZrZrZrZ ZZrrrcossin.显然cosisininnrrnn,+这就是说 复数的(N)次幂的模等于这个复数的模的次幂,它的辐角等于这个复数的辐角的 倍,这个公式叫做n nnn棣莫佛公式.cossin3 cossin.121266 计算 2ii例43 cossin126126原式=2i6cossin64422i+i223+3i.6.例5 计算3-i,1111因为 3-i=2 cos+isin所以6666622co
36、s11sin1164164.11113-icos+isini66 =64 cos+isin解解,OZOZOZOZ 如图6-19所示,向量对应复数-1+i,把按逆时针方向旋转120 得到向量求与向量对应的复数(用代数形式表示).例6 00,:ZZ 所求的复数就是-1+i乘以一个复数的积 这个复数的模是1,辐角的主值是120所以所求的复数是 cossinoo-1+i120+i12013=-1+i-+i 221-31+3=-i22图6-19 例6图形Oxy11ZZ解123.2 如图6-20所示,已知平面内并列的三个相等的正方形,利用复数证明,例7123.,证 如图建立坐标系(确定复平面),由于平行线
37、的内错角相等,1,2,3分别为复数1+i,2+i,3+i的辐角,这样,就是积 1+i2+i 3+i的辐角 1+i2+i 3+i=10i.其辐角的主值是又 1,2,3都是锐角,这样:2 明,123.2 301+2+3所以2620图 例7图形Oxy1231123111122222cossin,cossin(0),ZrZrZ 设复数ii则 2.除法111111221222222222cossincossincossincossincossincossini+i-i=i+i-irrZZrr1121212122coscossinsinsincoscossin=irr112122cossin.irr,44
38、554 cossin2 cossin336645452 cossin2 cossin363622例如 +ii ii2i.这就是说，两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差（复数除法的几何意义是什么？）.sin120-i 计算2 cos120i例8cos270sin270,2 cos120sin1202 cos240sin240,-i=ii isin2702 cos240sin240cos270i所以 原式=i1cos 270240sin 27024021cos30sin302i31i+i.44 利用复数除法和乘法法则可以
39、证明棣莫佛定理对于负整数指数幂也能成立.解11cossincos0sin0cossincossincos+isinii ii1cossin这样 cos+isincos+isin innncossinnn=i上式说明对于所有整数指数的幂，棣莫佛定理恒成立.9sin.计算 cos-+i-33例9cossincos3sin31.原式=-9-i-9-33 i .2Z 已知复数 的模是1,且实部不是零,求证:是一个实数1+ZZ例101,:cossincos0ZZ所以 的三角形式可设为i11cossincossiniiZZ211111cossincossin2cos-i+iZZZZ2.1所以证明是一个实数
40、ZZ解证明cossincossin+开 设是复数的 次方根(N),那么:irinn3.方cossincossincossiniiinnrnn 因为相等复数,它们的模相等,辐角可以相差2 的整数倍,所以:2()nrnkkZ2,.由此可知 nkrncossin:因此 i的 次方根是rn22cossininkkrnn当 取0,1,2,-1各值时,就可得上式的 个值,由于正弦,余弦函数的周期都是2;knn当 取大于或等于 的整数值时,又会重复出现 取0,1,2,-1时的结果,所以:knkn22cossincossin()ii 0,1,2,-1nnkkrrnnkn,.这就是说 复数的 次方根有 个值nn
41、求1-i的立方根.例11 77cossin,1441-i=2i所以i的立方根为:66772244cossin337878cossin(0,1,2)12122i2ikkkkk6667755cossin,cossin,1212442323cossin.1212即1-i的立方根是下面三个复数:2i2i2i解,.+设R求的平方根aa例12,a=aa cos+isin所以的平方根是33cossin,cossin,2222aaaaa即-的平方根是下面两上复数:ii或ii解22cossin,22kkak=i 0,122100.在复数集C中解方程:ZZ例1324440360,:bac 因为应用上例结论 有23
42、6261322iiiZ 2210 因此,我们可以在复数集内将分解成两个一次因式乘积.ZZ2210=-1+3i-1-3i=+1-3i+1+3iZZZZZZ解CZ5 在复数集 中解方程=32.例1432 cos0sin0.5原方程就是:Zi5020232 cossin55222 cossin(0,1,2,3,4).55 所以 iikkZ=kkk12345222 cos0sin02,2 cossin,5544662 cossin,2 cossin,5555882 cossin.55即 iiiii ZZZZZ解 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点,它们均匀分布在以原点为圆心,以2为半径的圆上(图
43、6-21).(),.n 一般地,方程Z的根的几何意义是复平面上个点 它们均匀分布在以原点为圆心,以为半径的圆上nb bCnb图6-21 例14图形Oxy2525252525习 题思考题：课堂练习题：什么是复数的三角形式？三角形式的乘、除、乘方法则.1.计算.(1)3 cossin2 cossin?;6666ii 4sin(2)215cos15?;i (3)8 cossin4 cossin?.3366ii 2.:2 cossin?.66i化为三角形式答 案答 案答 案*第六节 复数的指数形式及在电工学中的应用一、复数的指数形式 前面我们学习了复数的代数形式和三角形式，在科学技术中，特别在电学中还
44、需要用到复数的指数形式.cosisini根据欧拉公式:ecossin:cossinZ=riZ=riri可知,对于任一个复数都可以写成 e,i我们称 e 为复数的指数形式 为复数的模 指数中的i是虚数单位,是复数的辐角,其单位只能是弧度,其中e=2.71828(!复数的指数形式中的 不一定是辐角主值.)rrcossin3,2222 cossin.44i-i24例如 3iee i,:,.至此 复数有三种形式 代数形式 三角形式与指数形式它们之间是可以互化的(1)cos150sin150;(2)sin.ii 把下列复数表示成指数形式.3 cos66例155(1)cossin;665i6 原式=3i3
45、e(2)sin.-i6 原式=cos-i-e66(1)(2)把复数化成指数形式.3i;-2+2i.例2(1)sin;i23i=3 cosi=3e2233(2)cossin2 2.443i4-2+2i=2 2ie解解(1)(2).2-ii43 把下列复数化成代数形式.2e;5e例3(1)cossin144-i4 2e2ii;2213(2)cossin332251522 2i3 5e5i5i i.解二、复数指数形式的乘法和除法12111222cossincossin rrrr12iieeii1.乘法121 212121 2cossin,i=ierrrr12121 2.rrrr12iii即 eee,
46、这个结论可推广到有限个复数乘积的情形 当这有限个复数相等时,有:()iineeNnnrrn121211122211121222cossincossincossin,12iii eeii =ierrrrrrrr2.除法121122.12iii即 eeerrrr4(1)10;(2)23;(3).57ii-ii-i3264 计算下列各式.9.6ee 92ee 2e例4(1)96;52i-+i33 原式=9.6 10ee76(2)4;5ii23 原式=4ee(3).i 原式=4e解12313250,2;1,2;2.kkkiii181818当时e当时e当=2时,e132582,2,2,Ziiii6181
47、818即e 的立方根为 eee显然(0,1,2,1).knrrkninn+2iee8Zi6 试求复数e立方根的指数形式.例52322668 cossin,2 cossin66332(0,1,2).kkkZ=Zk3i18 ii e 解.复数在电工学中应用举例sin 314,12RCFVtV-3如图6-22所示,电阻=2,电容=10,串联在交流电路中,电源的瞬时电压为=220 2求电路中的瞬时电流.例6 cRZ 在交流电路中,电阻R与电容C串联时所产生的复阻抗是 与之和,即:解cos52sin52Z=R+ZiCc-3113.18=2+=2+=2+=2-3.18i314i 10i=3.76-57i-
48、57622图 例6电路RCIV:由欧姆定律得220 2 cos 314sin 31412123.76 cos57 52sin57 52iIittVZ58.52 cos 31472 52sin 31472 52itt()58.52sin 31472 52于是A.I tt习 题思考题：课堂练习题：实数集中同底数幂的乘法，除法法则，复数的指数形式是什么？其中辐角有何规定？1.:计算35634(1)38;(2)162e.iiiee 2.(1)2+2i;(2)3 cos1sin15005.将下列复数化成指数形式.-i答 案答 案答 案答 案 部 分思考题解答：1.只有大小的量叫数量；既有大小又有方向的量
49、叫向量；带有方向的线段叫有向线段；用有向线段表示向量.返 回思考题解答：2.,;1;a 向量的大小 或长度,或绝对值 称向量的模模为零的向量称零向量 模为 的向量称单位向量 模相等,方向相同的向量叫相等向量.返 回课堂练习题解答：2.,.OAa ABb abOAABOB 作返 回 3.,.与相等的向量相反向量共线向量AEEBCF FDAB EBCF FD CD 课堂练习题解答：返 回课堂练习题解答：4.,.:,.OOAa OBb OCcBA CB ACBAab CBbc ACca 任取一点作并作由三角形法则可知ABCOabc返 回课堂练习题解答：5.,:.OOAa ABb BCc CDdabc
50、dOAABBCCDOD 任取一点作由折线法则知OABCDabcd 返 回6.(1)8+4b;(2)5+67.aabc 课堂练习题解答：返 回思考题解答：1.向量的加法、减法，实数与向量的混合运算叫向量的线性运算也叫向量的初等运算.返 回思考题解答：2.,;cos,0,.数乘向量仍为向量 平面向量的数量积却是一个数 其中夹角属于aRaba ba b 返 回课堂练习题解答：1./.ababR返 回课堂练习题解答：132.(1),.44 因为所以与 共线 平行ebab ab 12(2).(3)2 22,.零向量方向不确定,所以与共线 因为所以与共线 平行abbeeaab 返 回思考题解答：24199
