1、 在平面几何里，我们研究过一些平面图形（由同一个平面内的点、线所构成的图形）的形状、大小和位置关系，还有平面图形的画法和计算以及它们的应用.可是，在解决实际问题中，只知道在这些几何知识还是不够用的，例如，建造厂房、制造机器、修筑堤坝等，都需要进一步研究空间图形.第一节 平面及其基本性质第二节 线面间的位置关系第三节 多面体第四节 旋转体第一节 平面及其基本性质一、空间概念 空间图形是由空间的点、线、面所构成，这些图形上的点不完全在同一个平面内，例如桌子、书、粉笔、螺母等物体，以及我们所熟悉的长方体、圆柱、圆锥等几何图形，这些都属于空间图形，平面图形是空间图形的一部分.从集合的观点看，空间图形是
2、满足某种条件的空间点的集合.平面是最常见最基本的空间图形，桌面、黑板面、平静的水面以及窗玻璃，都给我们以平面的形象，几何里所讲的平面就是从这样的一些物体抽象出来的，几何里的平面是无限延展的，它没有厚度.二、平面的表示法,.我们通常用平行四边形表示平面,如图7-1所示,画一个水平放置的平面时,一般把平面四边形的锐角画成45 把横边的长度画成大约等于邻边长度的两倍图7-1 平面的画法及表示(a)(b)(c)(d)ABCDABCD 画直立的平面时，可以把平面画成矩形或平行四边形，使它的竖边和水平平面的横边垂直，被平面遮住的线段画成虚线或不画，如图7-1所示.详细的作图方法，后面还要介绍.,7 1.A
3、BCDAC 平面一般用一个希腊字母表示 写在表示平面的平行四边形的一个顶角的内部 或用平行四边形顶点的字母表示一个平面 如图所示的平面 可以表示为平面或平面三、平面的基本性质 在生产与生活中，人们经过长期的观察与实践，总结出关于平面的三个基本性质，我们把它们当作公理，作为进一步推理的基础.如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.如图7-2所示,已知,若,则A,BlA,Bl公理1,.PPlPl 如果两个平面有一个公共点,那么它们相交于过这一点的一条直线,如图7-3所示,已知 则 且 公理2(1.2.3.)AaMl.点 在平面 内但在平面 外直线 经过平面 外一点
4、.平面 和 相交于直线公理3 不共线的三点确定一个平面，如图7-4所示.图7-2 公理1的图形 图7-3 公理2的图形 图7-4 公理3的图形ABClPlAB “确定”二字的含义是指，经过不在一条直线上的任意三点，可以作一个平面，并且只可以作一个平面.根据上述公理，可以得出以下推论：推论1 一条直线和这条直线外一点确定一个平面（图7-5）；推论2 两条相交直线确定一个平面（图7-6）；推论3 两条平行直线确定一个平面（图7-7）；图7-7 推论3的图形mnABCl图7-5 推论1的图形Amn图7-6 推论2的图形 例1 证明两两相交且不过同一点的三条直线共面（即在同一平面内）.232233,.
5、111 如图7-8所示,为三条直线l l lllA llBllC 已知23,1证 共面.l l l求22,.llAl l11 因为所以确定一个平面233,Cl BlB,CBl Cl1 因为 所以 而323,1所以 则共面.ll l l图7-8 例1 图形ABCl12l3l证明证明四、平面图形直观图的画法 我们知道，在水平平面内画矩形不是画它的真实形状（简称真像），而是画成平行四边形，这个平行四边形通常叫做矩形的直观图.一般地，我们把平面图形（或空间图形）在水平平面内所画成的图形叫做该图形的直观图.下面举例说明平面图形的直观图的画法.在水平平面 内画已知正方形的直观图(图7-9).ABCD例21
6、1(1),;ABABAB11画 在平面 内画水平线段使法图7-9 例2图形CABD1A1B1C1D111111(2)45,;2B ADADAD 作并且取111111(3)/,;DCABDCAB11 作并且取11111(4),.BCABC DABCD1 连接则就是正方形的直观图 在水平平面 内画已知三角形的直观图(图7-10)ABC例3(1)ABCCD画法 在内作高;图7-10 例3图形CABD1A1B1C1D11(2),;ABABAB11 在平面 内画水平线段使111111111(3),45,;2ABADADC D BDCDC1 在上取作并且取111111(4),.ACBCABCABC1 分别
7、连接、则就是三角形的直观图(7 11).在水平平面 内画已知正六边形的直观图图ABCDEF例4(1)FC,OOHKFCFCAB OH=OK;画 连接正六边形的对角线并取其中点,过 作.显然,/,法 图7-11 例4图形CABDEFHKO1A1B1C1K1H1D1E1F1O11(2),;FCFCFC11 在平面 内画水平线段 使 111111111111(3),45,1;2FCOOH KH OCO HO KOH1 在上取中点过作直线使并且取111111111111111111(4),/,/,1;2H KE DFC ABFCE HH DAKK BAB 过分别作并且取11111111111111(5
8、),.BCC DE FF AABC D E FABCDEF 连接、则六边形 就是正六边 的直观图 归纳上面的例子可以知道，在水平平面内画平面图形的直观图一般可遵循下面的规则：(1)选择已知图形的水平方向线段（或作辅助的水平线段）；(2)凡水平方向的线段仍画成水平方向，其长度不变（即实长）；(3)(135)凡与水平方向线段垂直的线段画成与水平方向成45 角或角的线段,其长度为实长的一半.思考题：课堂练习题：1.背熟3个公理及公理3的三个推论.2.能否说一个平面长4米、宽2米.判断：1.2.3.空间的任意三点确定一个平面.两个平面如果相交,交点一定有无穷多个.相交于同一点的三条直线一定共面.习 题
9、答 案(单击左键显示答案)第二节 线面间的位置关系一、直线和直线的位置关系 我们已经知道，在同一平面内的两条不重合直线的位置关系只有两种：平行或相交.11111,AABCABDD CDBB11 空间中不重合的两条直线之间,还有另外一种位置关系.如图7-12所示的平行六面体中,棱与所在直线既不平行也不相交,它们不在同一平面内,还有像和和等都是这种情况.图7-12 平行六面体CABD1B1C1D1A义 不同在一平面内的两条直线叫做线.定异面直因此,空间的两条不重合直线,其位置关系有三种.（1）相交直线 在同一平面内，有且只有一个公共点；（2）平行直线 在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线 不同
10、在任何一个平面内，没有公共点.！注意两条异面直线的画法，参看图7-13（a）.1.空间直线的平行关系 定理1 不在同一平面内的三条直线，如果其中两条直线都平行于第三直线，那么这两条直线也互相平行.定理2 不在同一平面内的两个角，如果其中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.(a)异面直线的画法 （b）两条异面直线所成的角图7-13 异面直线abbabaaabOaOb2.两条异面直线所成的角 定义 经过空间任一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的锐角（或直角），称为两条异面直线所成的角图7-13（b）.当两条异面直线所成的角是直角时，就称这两条异面直线互相
11、垂直.反映两异面直线位置关系除了角度，还有距离，和两条异面直线都垂直相交 的直线叫做两条异面直线的公垂线（可以证明它是存在的且是惟一的）.公垂线在两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线间的距离。ABCDE,F,G,HAB,BC,CD,DAEF,FG,GH,HE,EFGH 已知是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形,分别是的中点(图7-14),连接求证四边形是一个平行四边形.例11.2EHABDEHBD 因为是的中位线,所以/1.2同理/FGBD,由定理1,可知/所以 四边形是一个平行四边形.EHFGEFGH证明图7-14 例1图形CABDEFHG30.(1).(2);(3)BABABAB
12、CCABDC1111 如图7-15所示的长方体中,图中哪些棱所在的直线与为异面直线 求和所成的角 求和所成的角.例2111111(1),;CC BC DC C D DD ADAB1 棱所在直线与为异面直线11(2),/,;ABCCDCABCCDCABCC1 与是异面直线而且所以即它们所成的角为9011(3),/,30,30.ABDCABDCABABABDC1 与是异面直线 而且和成角 所以和所成角为 解图7-15 例2图形CAB1B1C1D1AD二、直线与平面位置关系,.如果一条直线 和一个平面 没有公共点 那么我们说这条直线和这个平面平行,记为:/ll 一条直线和一个平面的位置关系有且仅有以
13、下三种，如图7-16所示.图7-16 直线与平面的位置关系aaa（1）直线在平面内有无数个公共点；（2）直线和平面相交有且只有一个公共点；（3）直线和平面平行没有公共点.1.直线和平面平行的判定和性质 直线和平面平行，除可以根据定义判定外，还有以下的定理.直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.,/(7 17),图证/.ababa已知 求证(用反证法)明,/,/,aaaMaMabMb 因为所以或假设因为所以717,/abab图 baMc/,1,/,McbacacMa 在平面 内过点 作直线 根据定理这和 矛盾.所以/.空间四边形相邻两
14、边中点的连线平行于由另外两边确定的平面.例3 分别是空间四边形中,的中点(图7-18),E,FABCDAB AD已知 证/平面EFBCD.求证 连接BD.明,因为=,=,/,又平面所以/平面AE EB AF FDEFBDBDBCDEFBCD.718图 例3图形CABDEF 直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和已知平面相交,那么这条直线就和交线平行.,(7 19),aabab/图证/.已知 求,aabab 证 因为/所 和没有公共点 因为所以和 没有公共点.明,/.abab 和 同在平面 内 又没有公共点 所以719,aab 图/ab1111,BCACABC
15、 DPBC11 有一块木料如图7-20所示,已知棱 平行于平面 要经过木料表面 内的一点 和棱 将木料锯开应怎样画线.例4111111,./.BCACBCACBCBCBC11 因为/平面 经过 和平面 交于 所以 111,/,/.PACEFBCEFBC1 经过点 在平面 内画线段 则,EBFCBCFEEB,FC 连接 和 所得四边形 必在同一平面内,因此,就是所要画的线.图7-20 例4图形CABD1B1C1D1AEFP解2.直线和平面垂直的判定和性质,义 如果一条直线 和一个平面 相交,并且和这个平面内的任何直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直,记为直线称为该平面的线 平面称为该直线的,
16、线面交点称为.ll 定 垂垂垂垂面面垂垂足足 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直;过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.判定直线和平面垂直,除根据定义外,还有下面的定理.直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.,(721),.且图证 mnlm ln lBl已知求,/,.证 设任意一条直线g如果都经过过 作直线在平面 内 作一直线分别和相交于三点m nBBggm n gC D E明,.在 上取那么都的垂直平分线lABA Bm nAA,.所以=AC A C ADA D,ACDA CDACEA CEACEA CEAE A E.于是,=从而
17、,于是=,/,.BAAlggglggl 因为 是的中点,且又而所以 是 内任一条直线 所以图7-21 直线和平面垂直判定定理示意图CABDEggmnAl,.如果中有一条或者两条都不经过点,那么可以通过 作它们的平行线,然后用以上的方法可以证明m nBBl,显然 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么,另一条直线也垂直于这个平面.直线和平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.,(722),图证/.ABCDABCD已知求 证(用同一法)明,.,/,假设/,过 作/,假设,确定平面并且 因为所以又因为所以ABCDDC DABCD C DEFCDCDEFC DAB
18、ABC DC DEF图7-22 直线和平面垂直性质证明示意图ABCDCEF,即在平面 内和都垂直于则和重合.所以/.CDC DEFC DCDABCD 从平面外一点引一条平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线上每一点到平面的距离相等.,ABCDB D ABCDBDAC如图7-23所示,和都是平面 的垂线 垂足分别为4cm,=8cm,=3cm,求的长(精确到0.1cm)例5,/.,ABCDABCDBDABBD CDBD.因为 所以 因为所以,图7-23 例5图形ABCDE 解2221231215312.42 在平行线,所确定的平面内,过
19、 作/,与的延长线交于点,在直角中,=3cm,=+=+=8+4 cmcm,所以=cmcmcm.AB CDAAEBDCDEACEAE BDCE CD DECD ABACAECE 3.直线和平面斜交 自平面外一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影,这个点与垂足之间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.过斜线上的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影，斜线上任意一
20、点在平面上的射影，一定在斜线的射影上.根据直角三角形性质，我们容易得到：定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(1)若射影相等，则斜线段也相等，若射影不等，则射影较长的斜线段也较长.(2)若斜线段相等，则射影也相等，若斜线段不等，则斜线段较长的射影也较长.(3)垂线段比任何一条斜线段都短.(!,)线 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,称为这条直线和这个平面所成的角,如图7-24所示,就是斜线和平面 所成的角 分清三角即两条异面所成角,直线与平面所成角,直线在平面内所成角.ACBAC4.直和平面所成的角0.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角,一条直线和平面平行,
21、或在平面内我们说它们所成的角是 可以证明，斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.724图 直线AC与平面 所成的角ABC,:(1);(2)(725).从平面 外的一点 到这个平面引垂线以及斜线和,已知=8cm,=5cm,:=4:3 求 到平面 的距离 直线和平面 所成的角度 图PPOPAPBPAPBOA OBPPA,PB例6222(1)64.POAPOPAOAOA2 在直角中,22225,POBPOPBOBOB2在直角中,2.OAOB2于是 64-252:4:3,4,33,252594.而得代入前式得cm 所以cmcmOA OBOAOBOBPOOB4所以点
22、 到平面 的距离为 cm.P图7-25 例6图形ABPO解(2),.OA OBPA PBPAOPBO 因为PA,PB在 内的射影分别是所以和所成的角分别是和41sin,30.82因为所以POPAOPAOPA4sin0.8,538.5因为所以POPBOPBOPB5.三垂线定理 三垂线定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.,(726).分别是平面 的垂线 斜线是在 上的射影 直线图PA,POAOPOaaAO已知:.证 aPO求,.证 因为所以又PAaPAaAOa明,.所以平面又平面aPAOPOPAO aPO:类似地可以证明图7-26 三垂线定理的图形
23、OAPa 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.例7 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上.,(727).在平面 内点分别为垂足图BACPPEAB PFAC POE F OPEPF已知求证=BAOCAO.:,.证明 因为所以PEPFPOOEOF,POPEABPFACOEABOFACOEOFBAOCAO.因为所以又所以图7-27 例7图形ABCPEFO 笔直的道旁有一条河,彼岸有一座电视发射塔AB,高150m,只有测角器和皮尺作测量工具,能否求出发射塔顶与道路间的距离.例8,200 如
24、图7-28所示,在道上取一点,使与道的水平角为90 再在道上取点,使水平角=45 假设测得长等于m.CBCDCDBCD 解 因为是的射影且,所以,即塔顶与道路间距离.BCACCDBCCDACAC2222,200,200,150200250.因为=45m 所以m 在直角中mmCDBCDBC CDBCABCACABBC图7-28 例8图形ABCD三、平面和平面的位置关系,/.如果两个平面 和 没有公共点 我们就说这两上平面互相平行,记为两个平面的位置关系只有：（不含重合平面）（1）两平面平行没有公共点；（2）两平面相交有一条公共直线.判定两个平面平行，除根据定义之外，还有下面的定理.两个平面平行的
25、判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.在平面 内有两条相交直线和平面 平行(图7-29),a,b已知/.证 求证 (用反证法)明/,.假设且q/,/./,/,/.因为所以同理所以此与已知矛盾,所以aaaqbqab图7-29 两平面平行的判定定理证明示意图aqb 推论1 如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行.推论2 垂直于同一条直线的两个平面平行.两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行./,(730),图证/.aabab已知求/,/.abababab 证 因为 则 与
26、 没有交点，又所以明 显然，两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.图7-30 两上平面平行性质证明示意图ab 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.容易证明，两个平行平面的公垂线段都相等.如图7-31所示.我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.图7-31 两平行平面的公垂线ABBA/,13,15,如图7-32所示,是夹在两平面间的线段若和在平面 内射影的和为14cm,求这两条射影的长和这两个平面间的距离.AC BDACcm BDc
27、m ACBD例9111111,14.A,BAABB A BACxB Dx 经过两点分别作平面 的垂线和为垂足设射影则射影 22221111/,13,1514.因为所以AABB AAxBBx22221221131514,5.5,913512.1所以 解得所以 cmcm,cmcmxxxACB DAA 即所求两射影长分别为5cm和9cm,两平面间的距离为12cm.图7-32 例9图形ABCD1B1A解四、二面角 修筑堤坝时，为了使堤坝坚固耐用，必须使坝的侧面与水面成适当的角度；发射人造卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定角度，因此生产和科学技术的发展要求我们研究两平面所成的角.一
28、个平面内的一条直线把这个平面分成两部分，每一部分叫做半平面.定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，构成二面角的两个半平面叫做二面角的面.733,.如图所示 就是一个以为棱为面的二面角记为ABAB 1.二面角的平面角 定义 在二面角的棱上取任一点，从这个点起，分别在二面角的两个半平面内作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.180.显然二面角的平面角的大小与在棱上所取点的位置无关.因此,当二面角给定时,它的平面角的大小就惟一确定.二面角的大小是用它的平面角来度量的,规定二面角大于0 小于图7-33 两面角示意图AB().,如图7-34
29、所示的山坡,它的倾斜度是60 坡面与水平面所成二面角的度数 山坡上有一条直道,它与坡脚的水平线的夹角是30 沿这条道上山,行走100cm后升高多少?EFAB例10EFEHABHFHFFGABGGH 已知=100m,设垂直于过的水平平面,垂足为,线段的长度就是所求的高度,过点 作,垂足是,连接.因为平面,所以FHABHFGABGHAB.60.所以就是坡面和水平平面所成二面角的平面角.于是FGHFEGABHFGHsin6013sin30 sin6010025 343.3.22 所以mmmFHFGFE图7-34 例10图形ABEGHF6030解 从120的二面角内一点,到二面角的两个面的垂线段长都是
30、6dm,求两垂足间的距离.例11,PABPCPD 如图7-35所示,为二面角内一点 作 ,.,.PCPCABPDPDAB 因为所以因为所以,.因此垂直于由所决定的平面设连接则ABPC PDABECE DEABCE ABDE,120.,90,120,60.所以为二面角的平面角在四边形中由于所以CEDABCEDPCEDPCEPDECEDCPD 6,6又dm 所以是等边三角形 所以dm.PCPDPCDCD图7-35 例11图形ABCDEP解 2.平面和平面垂直的判定和性质 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直.两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
31、那么这两个平面互相垂直.,(736),ABABB AB 图已知.证 求,.,.CDBCDABCDABCD 证 设则因为所以明,.在平面 内过点 作直线则是二面角的平面角 又这样的二面角是直二面角.所以BBECDABECDABBECD图7-36 两个平面垂直判定理证明示意图ABEDC 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.,(737),.图证 CD ABABCDAB 已知求证 设=,在 内作直线ABCD BBECD明,因为ABCD,90,所以是二面角的平面角 且等于即ABECDABBE,.因为所以ABCD ABBE BECDAB图7-37
32、 两个平面垂直性质证明示意图ABEDC,ABCCPAABCPC PBPBCPAC 如图7-38所示,是直角三角形,=90垂直于所在平面连接求证所在平面垂直于所在平面.例12,.90,.证 因为PA所以因为所以所以平面PABCACBACBCBCPAC明因为平面,所以平面平面BCPBCPBCPAC.图7-38 例12图形ABCP,AB ACBDABACABBDCD 在两个互相垂直的平面 和 的交线上 有两个已知点和,和分别是这两个平面内垂直于的线段,已知=6cm,=8cm,=24cm,求(图7-39).例13,.AB ACACABAC 因为所以,.连接则ADACAD222,64576640.ABD
33、ADABBD 所以在直角中cmcm22,3664026 所以在直角中cmcm.CADCDACAD图7-39 例13图形ABDC解 推论1 如果两个平面互相垂直，那么经过其中一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线，必在前一个平面内.推论2 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面.习 题1.判断题.思考题：课堂练习题：(1)没有公共点的两条直线是异面直线.()(2)空间中平行于同一直线的两条直线互相平行.()(3)两条互相垂直的直线一定共面.()1.用三种方法画异面直线图形.2.判断题：(1)平行于同一平面的两条直线一定互相平行.()(2)过平面外一点作平面的平行线，
34、能且只能作一条.()(3)一条直线垂直平面内的两条直线，这直线和该平面垂直.()（单击左键显示答案）答 案（单击左键显示答案）(4)平面内垂直于斜线的直线，就垂直于斜线在这个平面内的射影.()(5)分别在两个平行平面内的直线互相平行.()(6)如果一个平面内两条直线同时平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.()(7)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.()第三节 多 面 体 本节将介绍特殊的多面体：棱柱、棱锥、棱台及相关计算.由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.两上相邻面的交线叫做多面体的棱.棱和棱的交点叫做多面体的顶点.不在同一个面内的两个顶点
35、的连线叫做多面体的对角线.多面体至少具有四个面，若按多面体的面数分类，则有四面体、五面体、六面体、七面体等.一、棱柱 1.棱柱的概念和性质 有两个面互相平行，其余每相邻的两个面的交线都互相平行的多面体，称为棱柱.互相平行的两个面，称为棱柱的底面，其余各面称为棱柱的侧面，两个相邻侧面的交线称为棱柱的侧棱.两个底面间的距离称为棱柱的高，经过不在同一侧面内的任意两条侧棱的截面叫做棱柱的对角截面.111111111111111111741,;,;,;1 如图所示 五边形和是棱柱的底面四边形等是棱柱的侧面和是棱柱的侧棱是棱柱的高;是棱柱的一个对角截面.ABCDEABC D EABB A BCC B CD
36、DCAA BB CCDDEEOOBB D D1111,.ABCDEABC D EAC11 棱柱用表示底面顶点的字母来表示,如图7-41中的棱柱,记作棱柱有时也用棱柱的一条对角线端点的两字母来表示,例如棱柱741AC1图 棱柱CABD1B1C1D1AE1O1BO1E 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形,我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱根据棱柱的定义，容易得到棱柱的以下性质.(1)侧棱都相等，侧面都是平行四边形；(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；(3)对角截面是平行四
37、边形.在棱柱中，底面为平行四边形的棱柱称为平行六面体，它的上、下底面及四个侧面均为平行四边形.按侧棱与底面是否垂直来分，又有斜平行六面体与直平行六面体的区别，其中底面为矩形的直平行六面体，就是我们通常所说的长方体，长方体的任意一条对角线的平方等于长、宽、高的平方和.1915,5,.11 如图7-42所示,底面是菱形的直棱柱,对角线和的长分别是 cm和cm 侧棱的长是 cm 求它的底面边长B DACAA例1 1115,90,BD,B BA ADBBDBB1 连接由直四棱柱性质可知,cm是直角三角形所以 221181 252 14cmcmBDB DB B.同理 =10 2cmAC,10 2,8.A
38、BCDAB 由已知,底面的菱形,它的对角线长分别是2 14cmcm 所以边长cm图7-42 例1图形CABD1C1D1A1B解,1侧积积积 垂直于棱柱侧棱的截面,叫做这个.如图7-43所示,多边形 是棱柱的一个直截面 显然 这个直截面的各边垂直于棱柱的侧棱.LMNQRAD 2.棱柱的面,全面和体棱柱的直截面,2,棱柱侧面积棱柱全面积棱柱体积SP SSP VSH,.以上公式中为侧棱之长为直截面的周长为棱柱高为底面积PHS图7-43 棱柱的直截面CABD1C1D1AE1B1ELMNRQ11,()(744).122 已知三棱柱-侧棱的长为16cm,直截面是一个等腰直角三角形,=,这个三角形的面积是7
39、2cm 求棱柱的侧面积 精确到1cm图ABC ABCDEFDE DF例2,72DEFDEFDE DFFDES2 在等腰直角中,因为=,=90cm 272,144,12221 所以 cm2即cmcm.DE DFDEDE22288 于是=cm16.97cm.EFDEDF1612 12 16.97655.52656.222棱柱侧面积cmcmcmS图7-44 例2图形CABD1C1AE1BF解13,.B E12 如图7-45所示,正六棱柱最长对角线cm 侧面积为180cm 求此棱柱的体积 例3Ha 设棱柱高为,底面积边长为,据题意 2221326=180aHHa1212556221解此方程组,并令取正
40、值,得:,H,aHHaa2213 36sin60,22棱柱因为 VaHa H图7-45 例3图形CABDEF1C1D1A1B1E1Fa2a解213 35,665270 3;2331所以 当cmcm时,=cmcmHaV2253 35312,12225.2222332当 cmcm时cmcmHaV225 3.233即正六棱柱的体积为270 3cm 或cm 3.直棱柱的画法 前面我们已经学过平面图形直观图的画法，现在来介绍直棱柱的直观图的画法，下面以正六棱柱为例说明画法的步骤.(1)画出直棱柱下底面的真像图7-46（a）;(a)(2),45(135),Ox Oy OzOxOyOxOzOx OyxOyx
41、Oy 画出 三轴 其中 轴为水平方向 轴与 轴成或方向 轴与 所在平面 垂直 方向向上,在 平面内画出直棱柱下底面的直观图图7-46(b);(3)Oz 过下底面直观图的各个顶点作与 轴平行的直线,并分别截取棱柱侧棱的实长,得直棱柱上底面的各个顶点图7-46(c);(c)OzxyOzxy(b)二、棱 锥 1.棱锥概念和性质 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共点的三角形，这样的多面体称为棱锥.这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的棱，各侧面的公共点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高.(4)顺次连接这些点,并把被遮住的线画成虚线,去掉轴线和辅助线,
42、即得直棱柱的直观图图7-46(b).图7-46(d)747,ABCDESABSBC SCDSA SB SCSSO 如图中的棱锥 五这形是底面 三角形等是侧面,等是侧棱,点 是顶点,是高.S ABCDES AC 棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母表示,如棱锥-,有时也用表示顶点和底面一条对角线两端点的字母表示,如棱锥-.棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形,我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥S-ABCD图7-47 棱锥CABDESO 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.正棱锥有以下一些性质.(1)各侧棱长相等,各侧面都是全等的等腰三角形
43、,各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高;(2)棱锥的高,斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形,棱锥的高,侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.关于一般棱锥,有下面一个性质.如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么截面和底面相似,并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的 平方比.11.S-ABCSO=hSM lSOABC1 如图7-48所示,已知正三棱锥的高,斜高=,求经过的中点且平行于底面的截面(称为 中截面)积 的面例42222OM OASOMOMSMSOlh连接,在直角中,=22222222.22cot302 312 3233 3点 是正的中心 ABCOABC
44、ABAMOMlhSlhlhlh11111122212,13 3,44由一般棱锥的性质 有 所以 ABCABCABCSSOSlhSSO图7-48 例4图形CAB1C1A1BSO1OM解 2.正棱锥的侧面积、全面积和一般棱锥的体积111,223ShPSShPVHS正棱锥侧面积正棱锥全面积棱锥体积 ,.以上公式中 为斜高为底的周长为棱锥高为底面积hPHS,.1 已知正三棱锥的斜高等于6cm 高等于6cm 求它的全2面积例5S-ABCSOAOBCD,ADBCSD SDBC,SDSOD 如图7-49所示,是一个满足题设的正三棱锥,为高,连接并延长与交于点则,连接,为斜高,在直角中 图7-49 例5图形C
45、ABSOD解2222156622=cmcmODSDSOcot30,2在直角 BOD中,BO是 ABC的角平分线55 3 =cot=cm5 3cm22BD ODOBDBCBD22221323313422135 32S-ABC SBCSD BC 于是棱锥的全面积3 =4 5 35 3 cm cm 3.正棱锥的画法 现以正五棱锥为例说明画正棱锥直观图的步骤.(1);画出正棱锥底面的真像 图7-50 a(2);Ox Oy OzxOy 画出,三轴,并在平面内画出正棱锥底面的直观图 图7-50 b(b)Oyxz图7-50 正五棱锥的直观图的作法(a)(3);过底面直观图的中心,作与Oz轴平行的直线,截取正
46、棱锥高的实长,定出正棱锥的顶点 图7-50 c(4).连接正棱锥的顶点与底面各顶点,得侧棱,并把被遮住的线画成虚线,去掉轴线和辅助线,即得正棱锥的直观图图7-50 d(d)Oyxz(c)三、棱台 1.棱台的概念和性质 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台.原棱锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面，其他各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，上下底面之间的距离叫做棱台的高.1111111111751,1 如图所示中的棱台四边形和是上下底面 四边形等是侧面,等是侧棱是它的高.ABC DABCDABB ABCC BA A B BOO1111,.1棱台用表示上
47、下底面各顶点的字母来表示,例如棱台-或者用它的对角线两端点字母表示 如棱台ABCD ABC DAC1AC图7-51 棱台CABOD1C1D1A1BS1O 由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台，分别叫做三棱台、四棱台、五棱台由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.正棱台有以下性质.(1)正棱台的侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，各等腰梯形的高相等，它叫做正棱台的斜高；(2)正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形；(3)正棱台的两底面中心连线,相应的边心距和斜高组成一个直角梯形;两底面中心连线,侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形(图7-52).图7-52 正棱台性质示意CABOD1C1D1AE1
48、O1B1EG1G1 正四棱台的高是17cm,两底面的边长分别是4cm,和16cm,求这个棱台的侧棱的长和斜高(图7-53).AC例6 11111111111111,.OO BCBCE FOO E E O B OB O E OEOBBOOEEO1设棱台两底面的中心分别是和和的中点分别是连接则和都是直角梯形 1111114,16,2,8,2 2,8 2.ABcm ABO Ecm OEcmO Bcm OBcm 因为cm所以221178 22 219,B B 因此cm cm5 13即这个棱台的侧棱长是19cm,斜高是cm.图7-53 例6图形CBODEA1C1D1A1O1B1E解22117825 13
49、E F cmcm.2.正棱台的侧面积、全面积和一般棱台体积121212121211,2213正棱台侧面积正棱台全面积棱台体积 SPP hSSSPP hVH SSS S212,1以上公式中 为斜高,分别上 下底面的周长,分别为两底面的面积,为棱台高.hP PS SH,.已知正六棱台的上下底面的边长分别是 和,侧棱和下底面成30 角 求它的体积ab例71,.ADOO1如图7-54所示,设正六棱台的上 下底面中心为 和11111,30.OBO BBBMO BBMBBMBB M1 连接及过点 作则为棱台的高为侧棱与底面所成的角,即.OB aO Bb11 在上,下底面的正六边形中,=,tan303,3B
50、B MBMbaba1在直角中 于是棱台的上,下底面的面积分别为:图7-54 例7图形1C1D1A1O1B1E1FCABDEFOM解2222213 313 36sin60,6sin6022221 SaaSbb22223333 33 33 33 313322222则 1=Vbaababba331.2即正六棱台的体积是ba 3.正棱台的画法 现以正四棱台为例说明画正棱台直观图的步骤.(1);画出正棱台上,下底面的真像,使上,下底面的中心和对角线分别重合 图7-55(a)图7-55 正棱台直观图的画法（a）(2);Ox Oy OzxOy 画出,三轴,并在平面内画出正棱台上,下底面的直观图 图7-35
