1、学习目标1.理解公因式及提公因式法的概念理解公因式及提公因式法的概念.重点重点2.能运用提公因式法分解因式能运用提公因式法分解因式.难点难点问题：整数18，42，60的最大公因数是什么？18=6342=6760=6106思考：多项式 z2+yz 中每一项的因式分别是什么？你发现什么？每一项中均有因式 z2的因式是 z 和 zyz的 因式是 y 和 z回忆与思考导入新课导入新课pa+pb+pc提单项式公因式分解因式 多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.相同因式p问题1 观察以下多项式，它们有什么共同特点？合作探究 x2x相同因式x讲授新课讲授新课 一般地，如果多项式的各项有公因
2、式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.(a+b+c )pa+pb+pcp=找 3x 2 6 xy 的公因式.系数：最大公约数3字母：相同的字母x 所以公因式是3x指数：相同字母的最低次数1问题2 如何确定一个多项式的公因式？u正确找出多项式的公因式的步骤：3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.找一找:以下各多项式的公因式是什么？3aa23mn-2xy(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a 2-
3、a 3(4)9 m 2n-6mn (5)-6 x 2 y-8 xy 2 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误注意：某项提出莫漏1.解：原式=x(3x-6y).把3x2-6xy+x分解因式.正确解：原式=3xx-6yx+1x =x(3x-6y+1)小亮的解法有误吗？把12x2y+18xy2分解因式.解：原式=3xy(4x+6y).错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2注意：公因式要提尽.正解：原式=6xy(2x+3y).小明的解法有误吗？提出负号时括号里的项没变号错误把-x2+xy-xz分解因式.解：原式=-x(x+y-z).注意：首项有负常提负.正确解：原式=-(x2-
4、xy+xz)=-x(x-y+z)小华的解法有误吗？找多项式的公因式的方法1系数各项系数的最大公因数;2字母各项相同字母；3指数各项相同字母的最低次幂.一看系数二看字母三看指数归纳总结531xxy注意:例1中括号内的第3项为1例1 把 因式分解253xxyx分析：第3项的因式有哪些？135xyxxx解：原式典例精析3222xxx解：原式)32(2xxxx642例2 把 因式分解.找出公因式提取公因式得到另一个因式写成积的形式分析：先确定公因式的系数，再确定字母.系数为4和6，最大公因数是2；两项的字母局部x2与x都含有字母x，且x的最低次数是1，所以公因式为2x.例3 把 因式分解242812x
5、 yxy z解:242812x yxy z22423xyxyzzxyxyxy3424222例4 计算：(1)39371391；20.1614.(2)原式20.16(29721314)2021.1320260；解：(1)原式31337139113(33791)方法总结：在计算求值时，假设式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便例5 ab7，ab4，求a2bab2的值原式ab(ab)4728.解：ab7，ab4，方法总结：含ab，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用ab和ab表示的式子，然后将ab，ab的值整体带入即可.1.多项式15m3n2+5m2n-20m2
6、n3的公因式是A5mn B5m2n2 C5m2n D 5mn2 2.以下多项式的分解因式，正确的选项是A12xyz-9x2y2=3xyz4-3xyz B3a2y-3ay+6y=3ya2-a+2 C-x2+xy-xz=-xx2+y-z Da2b+5ab-b=ba2+5a B当堂练习当堂练习 C3.把以下各式分解因式：把以下各式分解因式：(1)8 m2n+2mn=_；(2)12xyz-9x2y2=_；(3)-x3y3-x2y2-xy=_；2mn(4m+1)3xy(4z-3xy)-xy(x2y2+xy+1)4.把-24x3 12x2+28x 分解因式.解：原式=324x(212xx28)=x4(26
7、xx3)75.简便计算：(1)1.992+1.990.01;(2)20212+2021-20212;(3)(-2)101+(-2)100.(2)原式=2021(2021+1)-20212 =20212021-20212=2021(2021-2021)=-2021解：(1)原式=()=3.98；(3)原式=(-2)100(-2+1)=2100(-1)=-2100.6.:2x+y=4,xy=3,求代数式求代数式2x2y+xy2的值的值.解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 4=12.导入新课导入新课a米米b米米b米米a米米(a-b)情境引入如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正
8、方形，将剩余局部拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a2-b2=(a+b)(a-b)讲授新课讲授新课用平方差公式进行因式分解一想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式)(baba-+=22ba-)(22bababa-+=-整式乘法因式分解因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：辨一辨：以下多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.1x2+y22x2-y23-x2-y2-(x2+y2)y2-x24-x2+y25x2-25y
9、2(x+5y)(x-5y)6m2-1(m+1)(m-1)2(1)49;x 例1 分解因式：22(2)3x(23)(23);xx22(2)()().xpx qaabb(+)(-)a2 -b2 =解:(1)原式=2x32x2x33()()()()xpx qxpx q(2)原式(2)().xp q p q 22()()xpx q典例精析方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.分解因式：(1)(ab)24a2；(2)9(mn)2(mn)2.针对训练(2m4n)(4m2n)解：(1)原式(ab2a)(ab2a)(ba)(3
10、ab)；(2)原式(3m3nmn)(3m3nmn)4(m2n)(2mn)若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.)(22bababa-+=-2015220142=（2mn）2-(3xy)2=(x+z)2-(y+p)2=例2 分解因式：443(1);(2).xya bab解：(1)原式(x2)2-(y2)2(x2+y2)(x2-y2)分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.(x2+y2)(x+y)(x-y);(2)原式ab(a2-1)分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.ab(a+1)(a-1).方法总结：分
11、解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止分解因式：(1)5m2a45m2b4；(2)a24b2a2b.针对训练(a2b)(a2b1).5m2(a2b2)(ab)(ab)；解：(1)原式5m2(a4b4)5m2(a2b2)(a2b2)(2)原式(a24b2)(a2b)(a2b)(a2b)(a2b)例3 把x3y2-x5 因式分解.解：x3y2-x5=x3(y2-x2)=x3(y+x)(y-x)分析:x3y2-x5有公因式 x3，应先提出公因式，再用公式进行因式分解.问题：能直接用公式分解因式吗？又如：把-4ax2+16ay2因
12、式分解解：-4ax2+16ay2=-4a(x2-4y2)=-4a(x+2y)(x-2y)例4 x2y22，xy1，求x-y，x，y的值xy2.解：x2y2(xy)(xy)2，xy1，联立组成二元一次方程组，解得1,23.2xy 方法总结：在与x2y2，xy有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.例5 计算以下各题：(1)1012992；(2)53.524-46.524.解：(1)原式(10199)(10199)400；(2)原式422)=4()()41007=2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.例6
13、 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n2=8n，n为整数，8n被8整除，方法总结：解决整除的根本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除1.以下多项式中能用平方差公式分解因式的是()Aa2(b)2 B5m220mnCx2y2 Dx29当堂练习当堂练习D2.分解因式(2x+3)2-x2的结果是A3(x2+4x+3)B3(x2+2x+3)C(3x+3)(x+3)D3(x+1)(x+3)D3.假设a+b=3，a-b=7，那么b2-
14、a2的值为A-21 B21 C-10 D10A4.把以下各式分解因式：把以下各式分解因式：(1)16a2-9b2=_;(2)(a+b)2-(a-b)2=_;(3)9xy3-36x3y=_;(4)-a4+16=_.(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)5.假设将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，那么n的值是_.46.4m+n=40，2m-3n=5求(m+2n)2-(3m-n)2的值原式=-405=-200解：原式=m+2n+3m-n m+2n-3m+n=4m+n 3n-2m=-(4m+n)2m-3n)，当4m+n=40，2m-3n=5时，7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余局部的面积解：根据题意，得222(21.6)2223.2)(6.8 3.2)36(cm2)答：剩余局部的面积为36 cm2.
