1、12.3 角的平分线的性质角的平分线的性质第第2课时课时 角平分线的判定角平分线的判定R八年级上册八年级上册我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们来对是否在这个角的平分线上呢？这节课我们来对这个问题进行探究这个问题进行探究.学习目标：学习目标：1能说出角平分线的性质的逆定理，并能给能说出角平分线的性质的逆定理，并能给 予证明予证明.2能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理能够熟练地运用角平分线的性质的逆定理 解决一些相关的数学问题解决一些相
2、关的数学问题.如图，要在如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处处500 m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为它的位置，比例尺为1：20 000）？）？思考角的内部角的内部到角的两边到角的两边的的距离相等的点在角距离相等的点在角的平分线上的平分线上交换角的平分线的性质中的已知和结论，交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？你能得到什么结论，这个新结论正确吗？知识点1PDOA，PEOB，PD=PE，点
3、点 P 在在AOB的平分线的平分线上（上（OP 平分平分 AOB）角的内部角的内部到角的两边到角的两边的的距离相等的点在角距离相等的点在角的平分线上的平分线上你能证明这个结论的正确性吗你能证明这个结论的正确性吗？这个结论可以这个结论可以用来用来判定角的平分线，而角判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等的平分线的性质可用来证明线段相等这个结论与角的平分线的性质在应用上有这个结论与角的平分线的性质在应用上有 什么不同？什么不同？角相等角相等角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了了“角相等角相等”和和“线段相等线段相等”之间的一种特殊之间的一种特殊关
4、系关系.角平分线性质角平分线性质角平分线性质定理的逆定理角平分线性质定理的逆定理线段相等线段相等这为今后我们证明角相等，线段相等提供这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路了一种解题思路.知识点2例例如图如图，ABC 的角平分线的角平分线 BM，CN 相相交于点交于点 P求证：点求证：点 P 到三边到三边 AB，BC，CA 的的距离相等距离相等证明：证明：过过P 点作点作 PD，PE，PF分别垂直于分别垂直于 AB，BC，CA，垂，垂足分别为足分别为 D，E，F.BM 是是ABC的角平分线，的角平分线，点点P 在在BM 上，上，PD=PE.同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点
5、即点P 到三边到三边AB，BC，CA 的距离相等的距离相等EDF练习练习1 判断题：判断题：（1）如图，若）如图，若QM=QN，则，则OQ 平分平分AOB；（）ABOQMN判断题：判断题：（2）如图，若）如图，若QMOA 于于M，QNOB 于于N，则则OQ是是AOB 的平分线；的平分线；（）ABOQMN判断题：判断题：（3）已知：）已知：Q 到到OA 的距离等于的距离等于2 cm，且且Q 到到OB 距离等于距离等于2 cm，则，则Q 在在AOB 的平分线上的平分线上（）ABOQMN如图，要在如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的
6、交叉路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处处500 m.这个集贸市场应建于何处（在图上标出这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为它的位置，比例尺为1：20 000）？）？图上距离图上距离500m120000=解：解：图上距离图上距离=0.025m=2.5cm.P如图所示：如图所示：P点即为所求点即为所求;理由：理由：P点在这个交叉口的角平分线上，所点在这个交叉口的角平分线上，所以以P点到公路与铁路的距离相等点到公路与铁路的距离相等.作其中任意两角的平分线，交点即为所要作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点找的点.练习练习2 要在三角形的内部找到一点，使这要在三角形的内部
7、找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？如何确定？练习练习3 如图，如图，ABC 的的ABC 的外角的平的外角的平分线分线 BD 与与ACB 的外角的平分线的外角的平分线 CE 相交于相交于点点 P.求证：点求证：点 P 到三边到三边 AB，BC，CA 所在直所在直线的距离相等线的距离相等.证明：证明：过过P作作PMAC于于M，PNBC于于N，PQAB于于Q.CE为为MCN的平分线，的平分线，PM=PN，同理同理PN=PQ，点点P到到三边三边AB，BC，CA的距离相的距离相等等.QNM1.如图所示，表示三条相互交叉的公路，如图所示
8、，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（的距离相等，则可供选择的地址有（）处处处处处处处处基础巩固基础巩固D2.如图，点如图，点P是是ABC的外角的外角CBE和外角和外角BCF的平分线的交点，求证：的平分线的交点，求证：AP平分平分BAC.综合应用综合应用证明：证明：作作PQBC，PMAE，PNAF，垂足分别为，垂足分别为Q，M，N.P点在点在CBE和和BCF的平分的平分线上，线上，PM=PQ，PN=PQ，PM=PN.NQM又又PMAE，PNAF，AP平分平分BAC.3.如图，如图，AD是是ABC的角
9、平分线，的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是，垂足分别是E、F连接连接EF，EF与与AD交于交于G，AD 垂直平分垂直平分EF吗？证明你的结论吗？证明你的结论拓展延伸拓展延伸解：解：AD垂直平分垂直平分EF.证明如下：证明如下：AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DEAB，DFAC，1=2，AED=AFD=90，DE=DF.AED AFD（AAS）.AE=AF，在，在AEG和和AFG中，中，AEG AFG（SAS）.AGE=AGF=90，EG=FG.ADEF.AD垂直平分垂直平分EF.AEAFAGAG 12，角相等角相等角平分线性质角平分线性质角平分线性质定理的逆定理角平分线性质定理的
10、逆定理线段相等线段相等角的内部角的内部到角的两边距到角的两边距离相等的点在角的平分线离相等的点在角的平分线上上1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。学习目标学习目标1.巩固公式法解一元二次方程的步骤。巩固公式法解一元二次方程的步骤。2.利用根的判别式判断方程根的情况利用根的判别式判断方程根的情况。3.利用公式法熟练解方程。利用公式法熟练解方程。用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：242bbacxa 4 4、代入求根公式、代入求根公式:3 3、求出求出 的值的值。24bac 1 1、把方程化成一般形式把方程化成
11、一般形式。5 5、写出方程的解：、写出方程的解：12xx、特别注意特别注意:若若 则方程无解则方程无解240bac ab、c c2 2、写出写出 的值。的值。（2）9x2+6x+1=0公式法解方程：公式法解方程：（1）x2-7x-18=0例例：解方程：解方程：2323xx 注：注：当当时，方程有两相等的实数根，时，方程有两相等的实数根，24bac=0=0注意此时方程的解的写法。注意此时方程的解的写法。例：解方程：例：解方程：2136xx 注：注：当当时，方程没有实数根。时，方程没有实数根。24bac 0 01.用公式法解下列方程用公式法解下列方程（1）x2-3x-1=0 （2）x2 0.5x-0.5=0（3）(3x-1)(x+6)=12.关于关于x的二次三项式的二次三项式x2+4x+k是一个是一个完全平方式。求完全平方式。求k的值。的值。用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：242bbacxa 4 4、代入求根公式、代入求根公式:3 3、求出求出 的值的值。24bac 1 1、把方程化成一般形式把方程化成一般形式。5 5、写出方程的解：、写出方程的解：12xx、特别注意特别注意:若若 则方程无解则方程无解240bac ab、c c2 2、写出写出 的值，值的范围为实数的值，值的范围为实数 。
