1、 1 2016-2017 学年度下学期高二数学（理）期末考试卷 一、单项选择 (每题 5分，共 60分 ) 1、设全集 ? ?1, 2,3, 4,5U ? , ? ?1,2A? ， ? ?2,3,4B? ，则 ()UC A B? （ ） A ? ?3,4 B ? ?3,4,5 C ? ?2,3,4,5 D ? ?1,2,3,4 2、 已知复数 231 iz i? ?（ i 为虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3、 “ ” 是 “ ” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不
2、充分也不必要条件 4、 下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ） A f（ x） = B f（ x） = C f（ x） =2 x 2x D f（ x） = tanx 5、 函数 的大致图象为 ( ) A. B. C. D. 6、 已知函数 ?fx是定义在 R 上周期为 4的奇函数，当 02x?时， ? ?2logf x x?， 2 则 ? ? 722ff?（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 7、 观察下列等式， 13 23 32,13 23 33 62,13 23 33 43 102，根据上述规律， 13 23 33 4353 63 ( ) A. 192 B.
3、202 C. 212 D. 222 8、 直线 （ 为参数）被曲线 所截的弦长为 ( ) A. 4 B. C. D. 8 9 、设 ， 用 二 分 法 求 方 程 在 内 近 似 解 的 过 程 中 ，则方程的根落在区间（ ） A. B. C. D. 不能确定 10、已知实数 满足 ， ，则函数 的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11、已知 是 上的增函数，那么实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12 、 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 函 数 ， 若 函 数 为 偶 函 数 ， 且 对 任 意，都有 ，则（ ） A. B. C. D. 二、填空
4、题 （每题 5分，共 20分） 13、 函数 ? ? ? ?1 ln 23f x xx? ? ?的定义 域为 _； 14、 曲线 2yx? 与 yx? 所围成的图形的面积是 _ 3 15、关于 x 不等式 2 3 3xx? ? ? 的 解集是 16、在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 . 函数 32 3 1y x x? ? ?的图象关于点 ? ?0,1 成中心对称； 对 ,x y R?若 0xy? ，则 1, 1xy? ?或 ； 若实数 ,xy满足 221,xy?则2yx?的最大值为 33； 若 ABC? 为钝角三角形，则 sin cos .AB? 三、解答题 17、 （本题 10分）
5、已知 a 、 b 、 m 是正实数 ， 且 ab? ， 求证 ： a a mb b m? ? 18、（本题 12分） 设命题 p：实数 x满足（ x a）（ x 3a） 0， 其中 a 0，命题 q：实数 x满足 （ 1）若 a=1，且 p q为真，求实数 x的取值范围； （ 2）若 p是 q的充分不必要条件 ，求实数 a的取值范围 19、 （本题 12分） 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线1 2: sinx cosC y ?（ ? 为参数），在以 O 为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2 2: c o s 42C ? ? ?，曲线 3 : 2sinC ? . 4 （ 1）求曲线
6、1C 与 2C 的交点 M 的直角坐标； （ 2）设点 A ， B 分别为曲线 2C ， 3C 上的动点，求 AB 的最小值 . 20、 （本题 12分） 已知 ? ? 12f x x x? ? ? ?. （ 1）解不等式 ? ? 5fx? ； （ 2）若关于 x 的不等式 ? ? 2 2f x a a?对任意的 xR? 恒成立，求 a 的取值范围 . 21、 （本题 12分） 已知函数 2( ) 2 2f x x ax a b? ? ? ? ?，且 (1) 0f ? （ 1）若 ()fx在区间 (2,3) 上有零点，求实数 a 的取值范围； （ 2）若 ()fx在 0,3 上的最大值是 2，
7、求实数 a 的的值 22、 （本题 12分） 已知函数 ? ? ? ?2 2 lnf x ax a x x? ? ? ?，其中 aR? . （ 1）当 1a? 时，求曲线 ? ?y f x? 的点 ? ?1, 1f 处的切线方程； （ 2）当 0a? 时，若 ?fx在区间 ? ?1,e 上的最小值为 -2，求 a 的取值范围 . 5 参考答案 一、单项选择 1、 C 【解析】由题意可得 ? ?5,4,3?AC? ,则()UC A B? ?5,4,3,2 . 2、 C 【解析】 因 ? ? ? ? ? ? ?2 3 1 1 5 1 51 1 2 2 2ii iziii? ? ? ? ? ?，故复
8、数 1522zi? ? 对应的点在第三象限，应选答案 C。 3、 B 【解析】 因为 ? ?ln 1 0 1 0xx? ? ? ? ? ?，所以 1 0 0xx? ? ? ? ?，反之不成立，因此是必要不充分条件，应选答案 B 。 4、 C 【解析】 解： A中， f（ x） = 是奇函数，但在定义域内不单调； B 中， f（ x） = 是减函数，但不具备奇偶性； C 中， f（ x） 2 x 2x既是奇函数又是减函数； D 中， f（ x） = tanx是奇函数，但在定义域内不单调； 故选 C 5、 C 【解析】 函数 为偶函数，所以去掉 A,D.又当 时， ，所以选 C. 6、 A 【解析
9、】 函数 ?fx是定义在 R 上周期为 4的奇函数 , ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 0f f f f? ? ? ? ? ? ?, 又 1227 1 1 l o g 12 2 2f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,所以 ? ? 7212ff?，故选 A. 7、 C 【解析】 所给等式左边的底数依次分别为 1， 2； 1， 2， 3； 1， 2， 3， 4； 右边的底数依次分别为 3， 6， 10，（注意：这里 3 3 6? ， 6 4 10? ）， 6 由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为 1， 2， 3， 4
10、， 5， 6， 右边的底数为 10 5 6 21? ? ? ，又左边为立方和，右边为平方的形式， 故有 3 3 3 3 3 3 21 2 3 4 5 6 2 1? ? ? ? ? ?，故选 C. 8、 A 【解析】 由直线的参数方程可得，直线的普通方程为 ， 又由 ，可得 表示以 为圆心， 半径为 的圆，此时圆心在直线 上，所以截得的弦长为 ，故选 A. 9、 B 【解析】方程 的解等价于 的零点 .由于 在 上连续且单调递增， 所以 在 内有零点且唯一，所以方程 的根落在区间 ，故选 B 10、 B 【解析】 依题意， ，令 ， ， 为增函数， 为减函数，故有 个零点 . 11、 D 【解析
11、】 依题意， 函数在 上为增函数，故 ，解得 . 点睛： 本题主要考查分段函数的单调性 .由于函数是在 上的增函数，所以分段函数的两段都是增函数，即当 时，一次函数的斜率大于零，当 时，对数函数的底数大于 .除此之外，还需要满足在 处的函数值，左边不大于右边 .由此列出不等式组，从而求得实数 的取值范围 . 12、 A 【解析】 依题意， 为偶函数，则函数 关于 对称，由于函数 ，即函数在 上为减函数，在 上为减函数 .所以 . 点睛：本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数图象变换 .对于形如 的函数，7 都可以看作是 向左或右平移得到，根据这个特点，可以判断本题中函数 的图像是
12、关于 对称的 .再结合函数的单调性，并且将 转化为 ，就能比较出大小 . 二、填空题 13、 ? ?2,3? 【解析】 由题意得 20 2 330x xx? ? ? ? ?,即定义域为 ? ?2,3? . 14、 16 【解析】 由积分的几何意义可 知， ? ?1 2 2 3 100 1 1 1 1 1|2 3 2 3 6S x x d x x x? ? ? ? ? ? ?. 15、 ( , 6 0, )? ? ? 【解析】 当 2 3 0x? ，即 32x ? 时，原不等式可化为 30x? ，则 0x? ；当 2 3 0x ? ，即 32x ?时，原不等式可化为 6x?，则 6x? ，故原不
13、等式的解集是 ( , 6 0, )? ? ?. 16、 【解 析】由函数 3( ) 2 3 1f x x x? ? ?可得 33( ) ( ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 1 ) 122f x f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?.所以函数关于点 ? ?0,1 成中心对称成立 .所以正确 .由的逆否命题是 ,xy? 若 1x? 且 1y? ，则0xy?.显然命题成立 .所以正确 .由图可知正确 .显然不正确，如果 A,B都是锐角则大小没办法定 .所以不正确 .故填 . 考点： 1.函数的对称性 .2.命题的真假 .3.几何法解决最值问题 .4.三角函数问题 . 三、解答题
14、17、 试题分析：只要证明 ( ) ( )a b m b a m? ? ?，只要证明 am bm? ，只要证 ab? ，而 ab? 为已知条件，命题得证 试题解析： a ， b ， m 是正实数 ， 要证 a a mb b m? ? ， 只要证 ( ) ( )a b m b a m? ? ?， 即证 ab am ab bm? ? ?， 即证 ab? ab? ， 原不等式成立 8 18、 解：由（ x a）（ x 3a） 0，其中 a 0， 得 a x 3a， a 0，则 p： a x 3a， a 0 由 解得 2 x 3 即 q： 2 x 3 （ 1）若 a=1，则 p： 1 x 3， 若 p
15、 q为真，则 p， q同时为真， 即 ，解得 2 x 3， 实数 x 的取值范围（ 2， 3） （ 2）若 p是 q的充分不必要条件，即 q是 p的充分不必要条件， ，即 ， 解得 1 a 2 19、 （ 1）点 M 的直角坐标为 ? ?1,0? ；（ 2） |AB 的最小值为 21? 试题分析：（ 1）先把曲线 1C 的参数 方程化成普通方程为 ? ?2 1 1 1x y x? ? ? ? ?，利用三角函数公式和极坐标转换直角坐标公式得曲线 2C 的直角坐标系方程，两个方程联立解得交点 M 的直角坐标为? ?1,0? （ 2）先由已知得曲线 3C 的直角坐标方程为 ? ?22 11xy? ?
16、 ? ，根据点到直线的距离公式求出曲线 3C的圆心 ? ?0,1 到直线 10xy? ? ? 的距离，所以 min| | 2 1AB ? 试题解析：（ 1）由2 sinx cosy ?得曲线 1C 的普通方程为 ? ?2 1 1 1x y x? ? ? ? ? 由 2c o s42? ? ?，得曲线 2C 的直角坐标系方程为 10xy? ? ? 由 2 110xyxy? ? ?，得 2 20xx? ? ? ，解得 1x? 或 2x? （舍去） 所以点 M 的直角坐标为 ? ?1,0? （ 2）由 2sin? ，得曲线 3C 的直角坐标方程为 2220x y y? ? ?，即 ? ?22 11x
17、y? ? ? 9 则曲线 3C 的圆心 ? ?0,1 到直线 10xy? ? ? 的距离为 0 1 1 22d ? 因为圆 3C 的半径为 1，所以 min| | 2 1AB ? 20、 （ 1） ? ? ?, 3 2,? ? ? ?；（ 2） ? ?1,3? . 试题分析： （ 1）分三种情况 2 2 1 1x x x? ? ? ? ? ?， ，去掉绝对值解不等式即可； (2)若 关于 x的不等式 ? ? 2 2f x a a?对于任意的 xR? 恒成立 ,故 ?fx的最小值大于 2 2aa? .而由绝对值的意义可得 ?fx的最小值为 3,可得 232aa?,由此计算得出 a的范围 . 试 题解析：（ 1）当 2
