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3、北偏东,即由正北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图3-25-1(c),其他方向角类似. 4.坡角:坡面与所成的二面角的度数(如图3-25-1(d)所示,坡角为). 坡比:坡面的铅直高度与之比(如图3-25-1(d)所示,i为坡比). 水平长度 水平角 水平面 题组一常识题 1.教材改编 如图3-25-2所示,设A,B两 点在河的两岸,一测量者在点A所在的同 侧河岸边选定一点C,测出AC=50 m, ACB=45, CAB=105, 则A,B两点间的 距离为. 2.教材改编 如图3-25-3所示,D,C,B 三点在地面的同一条直线上,DC=a, 从C,D两点测得A点的仰角分别为 60,30,则A
4、点离地面的高度AB= . 3.教材改编 如图3-25-4所示,已知A 船在灯塔C北偏东80的方向,且A,C间 的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40 的方向,且A,B两船间的距离为3 km,则 B,C间的距离为km. 4.教材改编 如图3-25-5所示,长为 3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒 的一端A在离堤足C处1.4 m的地面 上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石 堤上,若石堤的倾斜角为,则tan 等 于. 题组二常错题 索引:方位角概念不清;不能正确数形结合;不能将空间问题转化为解三角形问题. 5.如图3-25-6所示,两座灯塔A和B与海岸观 察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏
5、西 40的方向,灯塔B在观察站南偏东60的方 向,则灯塔A相对于灯塔B 的方向角是. 解析 由条件及图可知, A=ABC=40, 又BCD=60, 所以CBD=30,所以 DBA=10,因此灯塔A在灯 塔B南偏西80的方向. 南偏西80 6. 若点A在点C的北偏东30 的方向,点B在点C的南偏东 60的方向,且AC=BC,则点A 在点B的的方向. 解析 如图所示,ACB=180-30- 60=90,又AC=BC,CBA=45,又 易知=30,=90-45-30=15,点 A在点B的北偏西15的方向. 7.如图3-25-7,在山脚A测得山顶P的 仰角=30,沿倾斜角=15的斜坡向 上走a米到B,
6、在B处测得山顶P的仰 角=60,则山高PQ=米. 思路点拨 根据题意作出图形,结合图形利 用正弦定理即可求解. C 总结反思 测量距离问题实质是求一条线段的长度.求解时,恰当地画出(找出) 适合解决问题的三角形,将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和 角,使用正弦定理或者余弦定理求长度. A C 探究点二测量高度问题 例2 2020绵阳一模 2020年5月27日中国珠穆朗玛峰高程测量登山队顺利登 顶,他们在峰顶竖立觇标,安装GNSS(全球导航卫星系统)天线,对这座世界最高 峰的高度进行测量.如在水平面上的A处测得峰顶H的仰角是45, 然后在另一点B处测得峰顶H的仰角是60,若H在水平面
7、的射影 为O(如图3-25-9),且AOB=150,AB=a,则珠穆朗玛峰的最新高度OH= . 思路点拨 设OH=h,依据题意可得AO,BO,然后使用余弦定理 AB2=AO2+BO2-2AOBOcosAOB,简单计算即可得结果. 探究点二测量高度问题 例2 2020绵阳一模 2020年5月27日中国珠穆朗玛峰高程测量登山队顺利登顶,他 们在峰顶竖立觇标,安装GNSS(全球导航卫星系统)天线,对这座世界最高峰的高度 进行测量.如在水平面上的A处测得峰顶H的仰角是45,然后在另一 点B处测得峰顶H的仰角是60,若H在水平面的射影为O(如图3-25-9), 且AOB=150,AB=a,则珠穆朗玛峰的
8、最新高度OH=. 总结反思 求解高度问题的注意点: (1)在处理有关高度问题时,理解仰角、俯角、方向(位)角是关键; (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两 个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错; (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题. B A 总结反思 测量“角度”即是求一个角的大小,把该角看作某个三角形的内角, 根据已知条件求出该三角形的一些元素后,使用正弦定理或者余弦定理解三角 形即可. 变式题 如图3-25-13所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东 方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息 中心立即把消息告知在其南偏西30的方向、相距20海里的 C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,求cos 的值. 【备选理由】例1、例2是距离问题,例3是高度问题.这三个题体现了正、余 弦定理在解三角形问题中的实际应用,考查学生综合运用知识解决实际问题 的能力. D 例2 配合例1使用 如图,海上一艘轮船以60海里/时的速度向正东方向航行, 在A处测得小岛C在北偏西30的方向,小岛D在北偏东30的方向,航行20分 钟后到达B处,测得小岛C在北偏西60的方向,小岛D在北偏西15的方向,则 两个小岛间的距离CD=海里. 30
