1、1 一线三等角模型一线三等角模型 三等角型相似三角形是以矩形（正方形） 、等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三 角形的底角相等的角在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： 图中一定有图中一定有：BPECFP; BECF=BPPC（躺着的乘积等于立着的乘积） 三相似问题三相似问题 第一类：第一类：平行三相似(如图)，当EF与底边平行时,内错角相等导致三相似， BPEBPEC CFPFPPFEPFE。 第二类：第二类：中点三相似(如图)，当P为BC中点时， BPEBPEC CFPFPPEFPEF 证明：BEPFCBEPEPBEPBFPCBEPFPC BE
2、PEBEPE BPECFPBPPCBPEPFECFP PCFPBPFP 2 考点一考点一 一线三等角一线三等角 例 1、 （2019 成都）如图 1，在ABC中，ABAC20，tanB，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C 重合） 以D为顶点作ADEB， 射线DE交AC边于点E， 过点A作AFAD交射线DE于点F， 连接CF （1）求证：ABDDCE； （2）当DEAB时（如图 2） ，求AE的长； （3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DFCF？若存在，求出此时BD的长；若 不存在，请说明理由 变式训练：变式训练：1、如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重
3、合） ，连接PD并将线段PD绕点P顺 时针方向旋转 90得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF. （1）求证：ADPEPB； （2）求CBE的度数； （3）当 AB AP 的值等于多少时，PFDBFP？并说明理 由. P F E D C BA 3 2、 （2015 德州）(1)问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，DPC=A=B=90. 求证：ADBC=APBP. (2)探究：如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当DPC=A=B= 时，上述结论是否依然成 立？说明理由. (3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图 3，
4、在ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点 P 以每秒 1 个单 位长度的速度，由点 A 出发，沿边 AB 向点 B 运动，且满足DPC=A.设点 P 的运动时间为 t（秒） ，当以 D 为圆心，以 DC 为半径的圆与 AB 相切，求 t 的值. 考点二考点二 构造一线三等角构造一线三等角 例例 2 2、如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 P 为抛物线 2 xy 上一动点， 点 A 的坐标为（4,2） ，若点 P 使AOP45 0，请求出点 P 的坐标。 4 例例 3 3、如图，在ABC 中，AC=BC=90，C=120，D 为 AC 边上一点，且 AD=6，E 是 AB 边上一动点，连接
5、 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 30得到 DF，若 F 恰好在 BC 边上，则 AE 的长为 变式训练：变式训练：1、在ABC 中，AB =2，B = 45，以点 A 为直角顶点作等腰tADE，点 D 在 BC 上，点 E 在 AC 上，若 CE=5，求 CD 的长。 2、已知直角梯形 ABCD, ADBC, A=90 0, EBF=C. (1)当 AD:AB=1:3,C=60 0时，如图 1 所示，求证：DE+DF =BC; (2)当 AD:AB=1:1,C=45 0时，如图 2 所示，则线段 DE、DF 、BC 之间的数量关系_； (3)在(2)的条件，如图 3 所示，若 AB
6、=2 时，3BM=MC,连接 AF、FM,若 AF 与 BE 交于点 N,当AFM=45 0时,求线 段 NF 的长度. F A BC DE 图 2 N M F A B D C E 图 3 F A B D C E 图 1 5 课后训练课后训练 1.如图，在ABC 中， AB=AC=10， 点 D 是边 BC 上一动点（不与 B， C 重合） ， ADE=B=，DE 交 AC 于点 E， 且 cos= 下列结论：ADEACD；当 BD=6 时，ABD 与DCE 全等；DCE 为直角三角形时， BD 为 8 或；0CE6.4其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上） 2.ABC 中，AB=AC，BAC=90，P 为 BC 上的动点，小慧拿含 45角的透明三角板，使 45角的顶点落 在点 P，三角板可绕 P 点旋转 （1）如图 a，当三角板的两边分别交 AB、AC 于点 E、F 时求证：BPECFP； （2） 将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时， 三角板的两边分别交 BA 的延长线、 边 AC 于点 E、 F BPE 与CFP 还相似吗？ （3）在（2）的条件下，连结 EF，BPE 与PFE 是否相似？若不相似，则动点 P 运动到什么位置时，BPE 与PFE 相似？说明理由
