1、 - 1 - 江苏省宿迁市 2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 文 一、 选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 0,2A? ， 1,2,4B? ，则 AB? 2.写出命题“ xN? ，使得 2 2xx? ”的否定： 3.设复数 z 满足 (1 ) 4zi?（其中 i 为虚数单位），则 z 的模为 4.“ 13x? ”是“ 4x? 或 6x? ”的 条件（填“充分不必要”、“ 必要不充分”、“充要”和“既不充分又不必要”） . 5.已知幂函数 ()fx的图象过点 2(4, )2 ，则函数 (16
2、)f 的值为 6.函数 1 2 lg ( 3)y x x? ? ? ?的定义域为 7.已知函数25 1, 2() ,2xxfx x ax x? ? ?，若 2( ( ) 65ff ? ，则实数 a 的值为 8.曲线 C ： 2( ) lnf x x x?在点 (1, (1)f 处的切线方程为 9.已知定义在 R 上的偶函数满足 3( ) 4 ( 0 )xf x x x? ? ?，若 (1 2 ) ( )f m f m?，则实数 m 的取值范围是 10.计算 ? ? 3455216lo g 8 3 81 ? ? ? ?的结果为 11.已知函数 ( 1)xy a b a? ? ? 的图象经过点 (
3、2,1) ，则 16ba? 的最小值为 12.如图是一个三角形数阵，满足第 n 行首尾两数均为 n ， ? ?,Ai j 表示第 ? ?2ii? 行第 j 个数，则 ? ?100,2A 的值为 - 2 - 13.如图，已知过原点 O 的直线与函数 8logyx? 的图象交于 A ， B 两 点，分别过 A ， B 作 y轴的平行线与函数 2logyx? 图象交于 C ， D 两点，若 /BC x 轴，则四边形 ABDC 的面积为 14.已知函数 ( ) lnf x ex x? （其中 e 是自然对数的底数） .若关于 x 的方程2 ( ) 2 ( ) 1 0f x m f x m? ? ? ?
4、恰好有 4个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6小题， 15-17题每题 14分， 18-20题每题 16分，共计 90分 .请在 答 题卡指定区域内作答 ，解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤 . 15.已知复数 12azii? ， i 为虚数单位， aR? . （ 1）若 zR? ，求 z ； （ 2）若 z 在复平面内对应的点位于第一象限，求 a 的取值范围 . 16.已知 0c? 且 1c? ，设命题 p ：函数 xyc? 在 R 上单调递减，命题 q ：对任意实数 x ，不等式 2 20x x c? ? ?恒成立 . （ 1）写出命题 q 的否定，并
5、求非 q 为真时，实数 c 的取值范围； （ 2）如果命题“ pq? ”为真命题，且“ pq? ”为假命题，求实数 c 的取值范围 . 17.（ 1）证明： 1， 3 ， 5 不可能成等数列； （ 2）证明： 1， 3 ， 5 不可能为同一等差数列中的三项 . 18.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌” A 系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的 A 系列一个阶段的调研得知，发现 A 系列每日的销售量()fx（单位：千克）与销售价格 x （元 /千克）近似满足关系式 2( ) 1 0 ( 7)4af x xx? ? ? ，其中 47x?， a 为常数 .已知销售
6、价格为 6元 /千克时，每日可售出 A 系列 15 千克 . - 3 - （ 1）求函数 ()fx的解析式； （ 2）若 A 系列的成本为 4元 /千克，试确定销售价格 x 的值，使该商场每日销售 A 系列所获得的利润最大 . 19.已知函数 2( ) (1 )2xf x a aa? ?（ 0a? ，且 1a? ）是定义在 R 上的奇函数 . （ 1）求 a 的值； （ 2）求函数 ?fx的值域； （ 3）存在 ? ?1,2x? ，使得 ? ? 14 2 0xmf x ? ? ?成立，求实数 m 的取值范围 . 20.已知函数 1()f x x x? . （ 1）求函数 ( ) ( ) ( )
7、g x f x f x?的最大值； （ 2）若对于任意 ? ?0,xk? ，均有 22( ) ( ) ( )2kf x f k x k? ? ?，求正实数 k 的取值范围； （ 3）是否存在实数 m ，使得不等式 ( ) ln 0mxf x x?对于任意 ? ?0,x? ? 恒成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由 . 宿迁市 2017-2018学年高二下学期期末考试 数学（文科） 一、填空题 1. 1,0,2,4? 2. 2,2x N x x? ? ?都 有 3. 22 4. 充分不必要 - 4 - 5. 12 6. 13,2? ?7. 5 8. 3 2 0xy? ? ? 9
8、. ? ?1, 1,3? ? ?10. 51811. 11 12. 4951 13. 243log 3314. 21,3?三、解答题 15.解析： （ 1） ? ?12 525 5 5ai aaz i i? ? ? ? ?, 若 zR?，则 5205a? ?， 52a?， 12z? . （ 2） 若 在复平面内对应的点位于第一象限， 则 05a? 且 5205a? ?， 解得 502a?， 即 的取值范围为 50,2?. 16.解析：（ 1）命题q的否定是：存在实数 x , 使得不等式 2 20x x c? ? ? 成立 . 非q为真时， ? ?22 4 0c? ? ? ? ?，即 12c?，
9、又 0c? 且 1c? ， 所以 102c?. （ 2）若命题 p 为真，则 01c?， - 5 - 若命题 pq 为真，则 1 12 c?或 1c? ， 因为 命题 “pq? 为真命题， “pq? 为假命题， 所以命题 p p和 q 一真一假，若 p p真 q 假，则 0110 2cc? ? 所以 10 2c? ， 若 p p假 q 真，则 1112cc? ? 或 c1，所以 1c? p. 综上： c p的取值范围是 ? ?10 1,2? ? ?，. 17.试题解析： （ 1）假设 1， 3 ， 5 成等差数列， 则 2 351? ，两边平方得 12 6 2 5? ，即 6 52? ， 因为
10、 6 52? ，矛盾， 所以 1， 3 ， 5 不可能成等差数列 （ 2）假设 1， 3 ， 5 为同一等差数列中的三项， 则存在正整数 m ， ()nm n? 满足 31 51mdnd? ， nm? ? ? 得 35n m n m? ? ?， 两边平方得 ? ?2223 5 2 1 5n m m n n m? ? ? ? ， 由于 式左边为无理数，右边为有理数，且有理数 ? 无理数，故假设不正确， 即 1， 3 ， 5 不 可能为同一等差数列中的三项 18 解析：（ 1）有题意可知，当 6x? 时， ( ) 15,fx? ，即 10 152a?， 解得 10a? ， 所以 ? ? 210 1
11、 0 ( 7)4f x xx? ? ?. （ 2） 设该商场每日销售 A 系列所获得的利润为 ?hx，则 ? ? ? ? ? ? 2 3210= 4 1 0 7 1 0 1 8 0 1 0 5 0 1 9 5 0 ( 4 7)4h x x x x x x xx? ? ? ? ? ? ? ? ?， - 6 - ? ?23 0 3 6 0 1 0 5 0h x x x? ? ?， 令 ? ?23 0 3 6 0 1 0 5 0 =0h x x x? ? ?，得 5x? 或 7x? （舍去）， 所以当 45x?时， ? ? ( ) 0, ( ) 4, 5h x h x? 在 为增函数； 当 57x?
12、 时， ? ? ( ) 0, ( ) 5, 7h x h x? 在 为减函数， 故当 =5x 时，函数 ()hx 在区间 ? ?4,7 内有极大值点， 也是最大值点， 即 =5x 时函数 ?hx取得最大值 50 . 所以 当销售价格为 5元 /千克时， A 系列 每日所获得的利润最大 . 19.解析： （ 1） ?fx是 R 上的奇函数 ， ? ? ? ?f x f x? ? ? ， 即 2 4 2 4( ) ( )22xxa a a aaaa a a a? ? ? ? ?. 整理可得 2a? （注：本题也可由 ? ?00f ? 解得 2a? ， 但要进行验证 不验证扣 1分） （ 2）由（
13、1）可得 ? ? 22 (1 )21xfx ? ?， 函数 ?fx 在 R 上单调递增 ， 又 2 1 1x ? ， 22021x? ? ? ?， 22 2(1 ) 221x? ? ? ? 函数 ?fx的值域为 ? ?2,2? （ 3）当 ? ?1,2x? 时， ? ? 212( ) 021xxfx ? 由题意 ，存 在 ? ?1,2x? ， ? ? 1212 2 421x xxm f x m ? ? ?成立， 即存 在 ? ?1,2x? ， ? ? ?2 1 2 221xxxm? ? 成立 - 7 - 令 ? ?2 1 1 3xtt? ? ? ?， ， 则有 ? ? ?21 2 1ttmtt
14、t? ? ? ?， 当 13t? 时函数 2 1yt t? ? ? 为增函数 ， min2 10t t? ? ?. 0m? . 故实数 m 的取值范围为 ? ?0? 20 解析： （ 1） ( ) ( ) ( )g x f x f x? = 1xx? 22221 1 1= 2 2 2 0x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，当且仅当 221=x x即当 1x? 时取 “? ，所以当 1x? 时， max( ) 0gx ? . (2) 21 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 2()kf x f k x x k x x k xx k x
15、 x k x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设 ( ),t xk x?则 20,4kt ? ?. 则 221222kkttk? ? ? ? ?在 20,4kt ? ?恒成立， 记 21( ) 2kh t tt? ? ?， 当 210k?时， ()ht 在区间 20,4k? ?上单调增 . 故 22 2( ) ( )42kkh t h k? ? ?，不成立 . 当 210k?时， ()ht 在区间 ? ?20, 1 k? 上单调减， 在区间 ? ?21,k? ? 上单调增 . 从 而， 2214kk?，所以 0 2 5 2k? ? ? . （ 3）存在实数
16、m ，使得不等式 ( ) ln 0mxf x x?对于 任 意 ? ?0,x? ? 恒成立 ， - 8 - 即存在实数 m ，使得不等式 2 ln 0mx m x? ? ?对 于 任意 ? ?0,x? ? 恒成立 ， 记 2( ) lns x mx m x? ? ?，则 2 1 2 1( ) 2 mxs x m xxx? ? ?，当 0m? 时， ( ) 0sx? ，则 ()sx在 ? ?0,? 为增函数 . (2) 3 ln 2 0sm? ? ?，此时不成立 . 当 0m? 时，由 2 21( ) 0mxsxx ?得， 12x m?当 1(0, )2x m?时， ( ) 0sx? ，则 ()
17、sx 在 1(0, )2x m?为增函数 . 当 1( , )2x m? ? ?时， ( ) 0sx? ，则 ()sx 在 1( , )2x m? ? ?为减函数 . 所以m a x11( ) ln ( )22s x m m? ? ? ? ?， 当 12m?时m a x11( ) ln ( ) 022s x m m? ? ? ? ? ?. 满足题意当 12m?时，令 12t m?，则m a x 21 1 1 1( ) l n ( ) l n2 2 2 2s x m tmt? ? ? ? ? ? ? ? ?记211( ) ln22ttt? ? ? ? ?，则 231 1 1() tt t t t? ? ? ? ?当 12m?时， 01t? ， () 0t? ? ， ()t? 在 ? ?0,1 为减函 数 . 213( ) 022ee? ? ? ? ,不成立 ， 当 1 02 m? ? ?时， 1t? ， () 0t? ? ， ()t? 在 ? ?1,? 为增函数 . 211( ) 022e e? ? ? ?,不成立综上， 12m ?时满足题意 .
