1、 1 2016 2017学年度 下学期期末考试试题 高二 数学 (理科 ) 满分 150分，考试时间 120分钟 . 第卷 (共 60 分 ) 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知复数 在复平面对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. -1,4 2 已知随机变量 ? 服从正态分布 ? ?22,N ? ， ? ?4 0.84P ? ? ，则 ? ?0P ?（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84 3 已知 为实数 ,若复数 为纯虚数 ,则 的值为
2、( ) A. 1 B. 0 C. D. 4 若 ，则 的值为 ( ) A. 2 B. 0 C. 1 D. 2 5 如图，由曲线 2 1yx?直线 0, 2xx?和 x 轴围成的封闭图形的面积是（ ） A. 1 B. 23 C. 43 D. 2 2 6.已知某一随机变量 x的概率分布如下，且 Ex =5.9，则 a的值为（ ） x 2a -8 a 9 p 0.5 b-0.1 b A.5 B. 6 C.7 D. 8 7.如图，用 K、 A1、 A2三类不同的元件连成一个系统 .当 K正常工作且 A1、 A2至少有一个正常工作时，系统正常工作 .已知 K、 A1、 A2 正常工作的概率依次为 0.9
3、、 0.8、 0.8，则系统正常工作的概率为( ) A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 8.定义在 R上的可导函数 f(x),f (x)是其导函数 .则下列结论中 错误的 是 ( ) A. 若 f(x)是偶函数 ,则 f ( x)必是奇函数 B. 若 f(x)是奇函数 ,则 f ( x)必是偶函数 C. 若 f ( x)是偶函数 ,则 f(x)必是奇函数 D. 若 f ( x)是奇函数 ,则 f(x)必是偶函数 9 下列说法： 分类变量 A 与 B 的随机变量 2K 越大，说明 “ A 与 B 有关系 ” 的可信度越大 . 以模型 kxy ce? 去拟合一组数据时，
4、为了求出回归方程，设 lnzy? ，将其变换后得到线性方程0.3 4zx?，则 ,ck的值分别是 4e 和 0.3. 根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为 y a bx? 中， 2, 1, 3b x y? ? ?，则 1a? . 3 如果两个变量 x 与 y 之间不存在着线性关系，那么根据它 们的一组数据 ),2,1)(,( niyx ii ? 不能写出一个线性方程 正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.来自 中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则 不同的
5、安排方案总数有 A 48 种 B 64 种 C 72 种 D 96 种 11.设函数 在 上存在导数 ，有 ，在 上 ，若，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 12 若曲线 ? ? ? ? 21 ( 1 1 )ln 1f x e x eax? ? ? ? ?和 ? ? 32( 0)g x x x x? ? ? ?上分别存在点 ,AB，使得 AOB? 是以原点 O 为直角顶点的直角三角形，且斜边 AB 的中点 y 轴上，则实数 a 的取值范围是 （ ） A. ? ?2,ee B. 2,2ee?C. ? ?21,e D. ? ?1,e 第卷 (共 90 分 ) 二、填空题（共 4小题，每
6、小题 5分，共计 20分） 13.函数xxf 1)( ?在 41?x 处的切线方程 为 _ 4 14 已知随机变量 B（ 36， p），且 E（ ） =12，则 D（ 4 +3） =_. 15将 4个不同的小球装入 4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是 . 16.研究问题：“已知关于 x 的不等式 02 ? cbxax 的解集为（ 1， 2），解关 于 x 的不等式02 ? abxcx ”，有如下解法：由 0)1()1(0 22 ? xcxbacbxax ，令 xy 1? ，则)1,21(?y ，所以不等式 02 ? abxcx 的解集为 ），（ 121 。
7、类比上述解法，已知关于 x 的不等式0k x bx a x c?的解集为 ( 2, 1) (2,3)? ，则关于 x 的不等式 0111 ? cxbxaxkx 的解集为 . 三、解答题（共 6题， 17题 10分， 1822每题 12分，总计 70分） 17.近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（ AirQualityIndex，简称 AQI ）是定 量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级， 0 50? 为优； 51 100? 为良； 101 150? 为轻度污染； 151 200? 为中度污染； 201 300? 为重度污染；大于 300 为严重污染环
8、保部门记录了 2017 年某月哈尔滨市10天的 AQI 的茎叶图如下： （ 1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（ 100AQI? ）的天数；（按这个月总共 30天计算） （ 2）现工作人员从这 10 天中空气质量为优良的日子里随机抽取 2 天进行某项研究，求抽取的 2 天中至少有一天空气质量是优的概率； （ 3）将频率视为概率，从本月中随机抽取 3天，记空气质量优良的天数为 ? ，求 ? 的概率分布列和数学期望 . 18.已知某 商品的价格 x （元）与需求量 y （件）之间的关系有如下一组数据： 5 x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 （ 1） 求 x ,y ;
9、 （ 2） 求出回归直线方程 （ 3）计算相 关系数 r的值，并说明回归模型拟合程度的好坏。 （参考公式：22 2( ) ( )? ()i i i ii ix y n x y x x y yb x n x xx? ? ? ? ?xbya ? ? ，22( )( )( ) ( )iiiix x y yrx x y y? ? ?） 参考 数 据 ： 5 5 5221 1 1( ) 4 0 , 6 2 0 , ( ) 5 3 . 2 , 1 3 3 1 1 . 5 3i i i ii i ix x x y y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当 n-2=3， 0.05 0.878r ? ,
10、19.已知函数 （ 1）若函数 F(x)= +ax2在 上为减函数，求 的取值范围； （ 2）当 时， ，当 时， 方程 - =0 有两个 不等 的实根，求实数 的取值范围； 20.已知函数 ? ? ? ?21f x x a x a R? ? ? ? ?. ( )当 1a? 时，求 ? ? 2fx? 的解集； ( )若 ? ? 21f x x?的解集包含集合 1,12?，求实数 a 的取值范围 . 6 21.已知直线 l 的参数方程为22 (22x m ttyt? ? ?为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2 2co s 3 sin
11、 1 2? ? ? ?.直线 l 过点 ），（ 022? . （ 1）若直线 l 与曲线 C 交于 ,AB两点，求 FBFA? 的值； （ 2）求曲线 C 的内接矩形的周长的最大值 . 22.已知函数 ? ? lnf x x a x? ， ? ? 1 agx x? ，其中 aR? （ 1）设函数 ? ? ? ? ? ?h x f x g x?，求函数 ?hx的单调区间； （ 2）若存在 ? ?0 1,xe? ，使得 ? ? ? ?00f x g x? 成立，求 a 的取值范围 . 7 2017高二数学（ 理）答案 1【答案】 C 2【答案】 A 3【答案】 C 4【答案】 C 5【答案】 D
12、6【答案】 B 7【答案】 B 8.【答案】 C 9【答案】 C 10【答案】 A 11【答案】 B 12【答案】 B 13【答 案】 y=-4x+3 14【答案】 128 15【答案】 16【答案】 1 1 1( , ) ( ,1)2 3 2? 17【答案】 （ 1） 18（ 2） 35 (3) 1.8E? 试题解析：（ 1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为 2，空气质量良的天数为 4， 故该样本中空气质量 优良的频率为 63105? ，从而估计该月空气质量优良的天数为 330 185? (2)由题意可知， 10天中有 6天是优良，其中 2天优，所以 022426 2311 55C
13、CP C? ? ? ? ?（ 3）由（ 1）估计某天空气质量优良的概率为 35 ， ? 的所有可能取值为 0,1,2,3 ? ? 3280 5 125P ? ? ? ?， ? ? 213 3 2 3 61 5 5 1 2 5PC? ? ? ?， ? ? 223 3 2 5 42 5 5 1 2 5PC? ? ? 8 ? ? 33 273 5 125P ? ? ? ?， 故 ? 的 分布列为： 显然 33,5B? ? ?， 33 1.85E? ? ? ? . 18答： (1)18,7.4;(2)y=-1.15x+28.1;(3)r=0.9940.878,拟合好； 19【答案】（ 1） a=3 （
14、 2） 【解析】 试题分析： (1)函数为减函数，则导函数 恒成立，据此可得 ； (2)利用题意构造新函数 ，结合题意 和新函数的性质可得 . 试题解析： (1) 1 20ax? ? ? 恒 成立，m ax1( ) 2 3aax ? ? ? ?(2) = 在 上有两个根 ? 令 时， ， 在 上单调递增 时， ， 在 上单调递减 处有极 大值也是最大值， ? 9 ， ? 20试题解析：解： (1)当 1a? 时， ? ? 1 2 1f x x x? ? ? ?， ? ? 2 1 2 1 2f x x x? ? ? ? ? ?， 上述不等式可化为 1 ,21 1 2 2,xxx? ? ? ? ?
15、 ?或 1 1,21 2 1 2,xxx? ? ? ? ? ?或 1,1 2 1 2,xxx? ? ? ? ?解得 1,20,xx? ? ?或 1 1,22,xx? ? ?或 1,4,3xx? ? 10 2x? 或 1 12 x?或 41 3x? ， 原不等式的解集为 403xx?(2) ? ? 21f x x?的解集包含 1,12?， 当 1,12x ?时，不等式 ? ? 21f x x?恒成立， 即 2 1 2 1x a x x? ? ? ? ?在 1,12x ?上恒成立， 2 1 2 1x a x x? ? ? ? ?， 即 2xa?， 22xa? ? ? ? ， 22x a x? ?
16、? ?在 1,12x ?上恒成立， ? ? ? ?m in22m axx a x? ? ? ?， 51 2a? ? ? ， a 的取值范围是 51,2?. 10 21【答案】（ 1） 2 ；（ 2） 16. 试 题解析：（ 1）已知曲线 C 的标准方程为 22112 4xy?，则其左焦点为 ? ?2 2,0? ，则 22m? ，将直线 l 的参数方程222222xtyt? ? ? ? ?与曲线 C 的方程 22112 4xy?联立，得 2 2 2 0tt? ? ? ，则12 2FA FB t t?. （ 2）由 曲线 C 的方程为 22112 4xy?，可设曲线 C 上的动点 ? ?2 3 c
17、os , 2 sinP ?，则以 P 为顶点的内接矩形周长为 ? ?4 2 3 c o s 2 s i n 1 6 s i n 032? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，因此该内接矩形周长的最大值为 16. 21【答案】 （ 1）函数 ?hx在 ? ?0,? 上单调递增；（ 2） ? ? 2 1, 2 ,1ee? ? ? ?. 【解析】 试题分析：（ 1）求函数的导数，讨论 1a ?和 的关系由导数的正负即可找到单调区间； （ 2 ） 若 存 在 ? ?0 1,xe? ，使得 ? ? ? ?00f x g x? 成 立 ， 即 存 在 ? ?0 1,xe? ， 使 得? ? ? ? ? ?0 0 0 0h x f x g x? ? ?，只需函数 ? ? 1 lnah x x a xx? ? ?在 ? ?1,e 上的最小值小于零即可 . 试题解析： （ 1） ? ? 1 lnah x x a xx? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ?2 22 11111 x x ax a x aaahx x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 10a? 时，即 1
