1、 - 1 - 2017-2018 学年第二学期高二年级期末考试 数学 (文科 ) 试卷 （考试时间： 120分钟，满分： 150分） 一、选择题（每题 5分，共计 60 分。） 1.设集合 ? ? ? ? ? ?1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 , 2 , 3 , 2 , 3 , 4U A B? ? ?，则 ?)( BACU ? （ ） .? ?2,3 .? ?1,4,5 .? ?4,5 .?1,5 2下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1yx? B. 2yx? C. 1y x? D. |y x x? 3.设命题p：2,2nn N n? ? ?，则p?为 ( ) A.2
2、 n?B.?C.2 nn N n? ? ?D.2, =2?4.命题 :p 所有有理数都是实数，命题 :q 正数的对数都是负数，则下列为真命题的是（ ） A ()pq? B pq? C ( ) ( )pq? ? ? D ( ) ( )pq? ? ? 5. “ sin? =21 ” 是 “ 212cos ? ” 的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不 充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知 432a? ， 254b? ， 1325c? ，则 （ ） A.bac? B.abc? C.b c a? D.c a b? 7.把 函数 sinyx? （ x R? ）的图象上所有点
3、向左平行移动 3? 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A. sin(2 )3yx?， x R? B. sin( )26xy ?， x R? C. sin(2 )3yx?， x R? D. sin(2 )32yx?， x R? 8.函数 f(x)=xcos2x在区间 0,2 上的零点个数为 ( ) A. 2 B. 3 C.4 D.5 9.定义在 R 上 的函数 f（ x）满足 f（ x+6） =f（ x），当 -3 x -1 时， f（ x） =-（ x+2） 2，当-1 x 3时， f（ x） =x,则 f（ 1） +
4、f（ 2） +f（ 3） +? +f（ 2012） =( ) A.335 B.338 C.1678 D.2012 - 2 - 10. 如图，长方形 ABCD 的边 2AB? ， 1BC? ， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 ,BCCD 与 DA 运动， 记 BOP x?.将动点 P 到,AB两点距离之和表示为 x 的函数 ?fx，则 ? ?y f x? 的图像大致为 （ ）。23 424yO x2xOy423 42xOy423 423 424yO xA. B. C. D. 11.若,ab是函数? ? ? ?2 0 , 0f x x px q p q? ? ? ? ?的两个不同的零点，且,
5、 , 2ab?这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq?的值等于（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 12 已知函数 ? ?21 , 0log , 0xxfxxx? ? ? ?，若方程 ? ?f x a? 有四个不同的解 1 2 3 4, , ,x x x x ， 且 1 2 3 4x x x x? ? ? ，则 ? ?3 1 2 2341x x x xx?的取值范围是 （ ） A ? ?1,? ? B ? ?1,1? C ? ?,1? D ? ?1,1? 二、填空题（每题 5分，共计 20 分。） 13.? ? cos 6f x x ?的最小正周期为 5? ，其中
6、0? ，则 ? = 14.设函数 2 11() 21xxfxxx? ? ?，则 ?)3(ff . 15.已知函数 2 11xy x? ? 的图像与函数 y kx? 的图像恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 . 16在 ABC? 中，角 CBA , 的 对边分别为 cba , ，且满足条件 1222 ? bcacb ，81coscos ?CB ，则 ABC? 的周长为 。 三 、 解答题 （共 70分） xPOD CBA- 3 - 17.（ 12 分） 在 ABC 中，内角 A B C， ， 对边的边长分别是 a b c， ， ，已知 2c? ， 3C ? （ ） 若 ABC 的面积等于 3
7、 ，求 ab， ； （ ） 若 sin sin ( ) 2 sin 2C B A A? ? ?，求 ABC 的面积 18. （ 12 分）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1， 2， 3；蓝色卡片两张，标号分别为 1， 2. ( )从 以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4的概率； ( )现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小 于 4 的概率 . 19. （ 12 分）如图 6，在四棱锥 P-ABCD中， PA平面 ABCD，底面 ABCD是等腰梯形， AD BC，AC BD. （）证明： BD PC
8、； （）若 AD=4， BC=2，直线 PD与平面 PAC所成的角为 30，求四棱锥 P-ABCD 的体积 . 20. （ 12 分） 已知椭圆2 2 12x y?上两个不同的点A，B关于直线12y mx?对称 - 4 - （ 1）求实数m的取值范围； （ 2）求AOB?面积的最大值（O为坐标原点） 21（ 12 分） 已知函数 2()xxf x x xe? ? ?（其中 e 2.71828? L ） . () 求 )(xf 在 )1(,1( f 处的切线方程 ； ( ) 若 函 数 2( ) ln ( ) g x f x x x b? ? ? ?的 两 个 零 点 为 12,xx ， 证 明
9、 ：1()gx? + 2()gx? 12()2xxg ? . 选做题（共 10 分。请考生在第 22题、第 23题中任选一题作答。） 22、 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲 线 1:C cos ()sinxy ? ? ? 为 参 数，以平面直角坐标系 xOy的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线: (2 sin ) 6l cos? ? ? （ 1）将曲线 1C 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 3 、 2倍后得到曲线 2C 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 2C 的参数方程； （ 2）在曲线 2C 上求 一点 P，使点 P到直线
10、l 的距离最大，并求出此最大值 23.已知函数 f（ x） =|2x a|+a （ ）当 a=2时，求不等式 f（ x） 6 的解集； （ ）设函数 g（ x） =|2x 1|，当 x R时， f（ x） +g（ x） 3 ，求 a的取值范围 - 5 - 高二年级期末考试文科数学参考答案 一、选择题 BDCDA ACDBB DD 二、填空题 13、 10 14、 9131941)32()32()3( 2 ? fff15、 10 ? k 或 21 ?k 16. 52? 三、解答题 17.（本小题满分 12分） 解：（） 2a? ， 2b? 6分 （） 1 2 3sin23S ab C? 12分
11、18.(I)310P?. (II)815P?. 19.（）设 AC和 BD 相交于点 O，连接 PO，由（）知， BD? 平面 PAC， 所以 DPO? 是直线 PD和平面 PAC所成的角，从而 DPO? 30? . 由 BD? 平面 PAC， PO? 平面 PAC，知 BD PO? . 在 Rt POD 中，由 DPO? 30? ，得 PD=2OD. 因为四边形 ABCD为等腰梯形， AC BD? ，所以 ,AOD BOC均为等腰直角三角形， 从而梯形 ABCD的高为 1 1 1 ( 4 2 ) 3 ,2 2 2A D B C? ? ? ? ?于是梯形 ABCD面积 1 (4 2) 3 9.
12、2S ? ? ? ? ? 在等腰三角形中， 2 , 2 2 ,2O D AD? 所以 222 4 2 , 4 .P D O D P A P D A D? ? ? ? ? 故四棱锥 P ABCD? 的体积为 11 9 4 1 233V S P A? ? ? ? ? ? ?. 20.【答案】（ 1）63m?或63?；（ 2）2. - 6 - 试题解析：（ 1）由题意知0m?，可设直线 AB的方程为1y x bm? ?，由22 121x yy x bm? ? ? ?， 消去y，得2221 1 2( ) 1 02 bx x bmm? ? ? ? ?， 直线1y x b与椭圆2 2 1x y?有两 个不
13、同的交点， 2 242 2 0b m? ? ? ? ? ?， ，将 AB中点2222( , )22m m bM mm?代入直线 方程12mx?解得222mb m?， 。由 得63m?或63?； （ 2）令6 6( , 0) (0 , )t ? ? ?，则42223222| | 112ttAB tt? ? ? ? ?，且 O 到直线 AB的距离为22121td t? ?，设AOB?的面积为()St， 221 1 1 2( ) | | 2( ) 22 2 2 2S t AB d t? ? ? ? ? ? ?，当且仅当2 12t ?时，等号成立，故AOB?面积的最大值为22. 21、 【解析】 (
14、)由题意得 1( ) +2 1exxf x x? ?， e1)1( ?f ， )(xf 在 )1(,1( f 处的切线斜率为 1)1( ?f ， )(xf 在 )1(,1( f 处的切线方程为 1e1 ? xy ，即 01eee ? yx . ? 4分 - 7 - 令 1 2 ( 1)( ) ln1tt t ttt? ? ? ? ?， 4 3 22 2 2 21 1 4 4 1( ) 1 ( 1 ) (1 )t t t tt t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? 10分 令 4 3 2( ) 4 1m t t t t t? ? ? ? ?， 32( ) 4 3 8 1
15、m t t t t? ? ? ? ?，设 )(xh = 324 3 8 1t t t? ? ?， 2( ) 12 6 8 0h t t t? ? ? ? ?对 1t? 恒成立，即 ()mt? 在 ? ?1,? 上单调递增， ( ) (1) 0m t m? ? ?， ()mt? 在 ? ?1,? 上单调递增， ( ) (1) 0m t m? ? ?， 即 () 0t? ? ， ()t? 在 ? ?1,? 上单调递增， ( ) (1) 0t? ? ?,即原不等式成立 .? 12 分 22解（） 由题意知，直线 l 的直角坐标方程为： 2 6 0xy? ? ? ，? 2分 曲线 2C 的直角坐标方程
16、为： 22( ) ( ) 123xy?， 曲线 2C 的参数方程为： 3 co s ()2 sinxy ? ? ? 为 参 数? 5分 （） 设点 P的坐标 ( 3 cos ,2sin )?，则点 P到直线 l 的距离为： 0| 2 3 c o s 2 s i n 6 | | 4 s i n (6 0 ) 6 |55d ? ? ? ? ? ?，? 7分 - 8 - 当 sin（ 600） =-1时，点 P（ 1,23? ），此时m ax | 4 6 | 255d ? 10分 24、 ( ) 当 2a? 时， ( ) | 2 2| 2f x x? ? ?. 解不等式 |2 2| 2 6x? ，得 13x? .因此， ( ) 6fx 的解集为 | 1 3xx? . ( ) 当 x?R 时， ( ) ( ) | 2 | |1 2 |f x g x x a a x? ? ? ? ? ?| 2 1 2 |x a x a? ? ? ? 1 |aa? ? ? ， 当 12x?时等号成立， 所以当 x?R 时， ( ) ( ) 3f x g x? 等价于 |1 | 3aa? . 当 1a 时， 等价于 13aa? ，无解 . 当 1a? 时， 等价于 13aa? ，解得 2a . 所以 a 的取值范围是 2, )? .
