1、单元复习课第2章圆 思维脑图构体系思维脑图构体系核心题型明考向核心题型明考向考向一圆的对称性及应用考向一圆的对称性及应用垂径定理最多的应用是求线段的长垂径定理最多的应用是求线段的长,常考查结合垂径定理和勾股定理求圆的半常考查结合垂径定理和勾股定理求圆的半径、弦心距、拱高径、弦心距、拱高,弦长等弦长等,而圆的旋转不变而圆的旋转不变,则考查弦、弧、圆心角、弦心距四则考查弦、弧、圆心角、弦心距四者关系者关系.1.(20201.(2020武汉中考武汉中考)如图如图,在半径为在半径为3 3的的O O中中,AB,AB是直径是直径,AC,AC是弦是弦,D,D是是 的中的中点点,AC,AC与与BDBD交于点交
2、于点E.E.若若E E是是BDBD的中点的中点,则则ACAC的长是的长是()A.A.B.3B.3 C.3C.3 D.4 D.4 AC532223D D2.(20192.(2019自贡中考自贡中考)如图如图,O O中中,弦弦ABAB与与CDCD相交于点相交于点E,AB=CD,E,AB=CD,连接连接AD,BC.AD,BC.求证求证:(1):(1);(2)AE=CE.(2)AE=CE.证明证明:(1)AB=CD,(1)AB=CD,即即 ,;,;(2),AD=BC,(2),AD=BC,又又ADE=CBE,DAE=BCE,ADE=CBE,DAE=BCE,ADEADECBE(ASA),AE=CE.CBE
3、(ASA),AE=CE.ADBCABCDADACBCACADBCADBC 【答题指导答题指导】1.1.垂径定理垂径定理在应用垂径定理与推论进行计算时在应用垂径定理与推论进行计算时,通常利用圆的半径通常利用圆的半径r,r,弦心距弦心距d,d,拱高拱高h,h,弦长弦长a a这几个量来构造直角三角形这几个量来构造直角三角形,如图如图,在在a,r,d,ha,r,d,h四个量中四个量中,存在关系式存在关系式r=d+h,r=d+h,+d+d2 2=r=r2 2.利用这两个关系式利用这两个关系式,知道其中任何两个知道其中任何两个,其余两个都能求出来其余两个都能求出来.2a()22.2.弦、弧、圆心角、弦心距
4、间的关系弦、弧、圆心角、弦心距间的关系在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果两条弧相等如果两条弧相等,那么这两条弧所对的弦相等那么这两条弧所对的弦相等,所对的圆心角、所对的圆心角、圆周角也都相等圆周角也都相等,运用这一相等关系运用这一相等关系,可以实现线段相等与角相等之间的互相转可以实现线段相等与角相等之间的互相转化化.考向二圆周角及其应用考向二圆周角及其应用利用同圆或等圆中圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数利用同圆或等圆中圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数;用直径所用直径所对的圆周角为对的圆周角为9090得到直角三角形得到直角三角形.更多的考查圆周角性质的综合应用更多的考查圆周角
5、性质的综合应用.1.(20201.(2020青岛中考青岛中考)如图如图,BD,BD是是O O的直径的直径,点点A,CA,C在在O O上上,AC,AC交交BDBD于点于点G.G.若若COD=126COD=126,则则AGBAGB的度数为的度数为()A.99A.99B.108B.108C.110C.110D.117D.117ABADB B2.(20202.(2020绍兴中考绍兴中考)如图如图,点点A,B,C,D,EA,B,C,D,E均在均在O O上上,BAC=15,BAC=15,CED=30,CED=30,则则BODBOD的度数为的度数为()A.45A.45B.60B.60C.75C.75D.90
6、D.90D D3.(20193.(2019菏泽中考菏泽中考)如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径,C,D,C,D是是O O上的两点上的两点,且且BCBC平分平分ABD,ADABD,AD分别与分别与BC,OCBC,OC相交于点相交于点E,F,E,F,则下列结论不一定成立的是则下列结论不一定成立的是()A.OCBD A.OCBD B.ADOC B.ADOC C.C.CEFCEFBED BED D.AF=FDD.AF=FDC C 【答题指导答题指导】1.1.遇到求与圆有关的角时遇到求与圆有关的角时,常常选用常常选用:(1):(1)同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等;(2);(2)同弧所对
7、的同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆周角等于它所对的圆心角的一半;(3);(3)圆的内接四边形的对角互补圆的内接四边形的对角互补;(4);(4)同圆的同圆的半径相等半径相等,等边对等角等等边对等角等.2.2.在圆中在圆中,直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角,在应用时在应用时,往往通过辅助线构造直角三角形往往通过辅助线构造直角三角形,然后利用直角三角形的有关性质进行解决问题然后利用直角三角形的有关性质进行解决问题.若题目中无直径若题目中无直径,往往需要作出往往需要作出直径直径.考向三切线的性质与判定考向三切线的性质与判定切线的性质和判定是中考必考内容切线的性质和判定是中考必考内
8、容,综合利用切线的性质与判定是最为常见的综合利用切线的性质与判定是最为常见的考法考法,由切线性质可以得出垂直由切线性质可以得出垂直,而通过证垂直可以得出切线而通过证垂直可以得出切线.1.(20201.(2020温州中考温州中考)如图如图,菱形菱形OABCOABC的顶点的顶点A,B,CA,B,C在在O O上上,过点过点B B作作O O的切线交的切线交OAOA的延长线于点的延长线于点D.D.若若O O的半径为的半径为1,1,则则BDBD的长为的长为()A.1A.1B.2B.2C.C.D.D.23D D2.(20192.(2019天津中考天津中考)已知已知PA,PBPA,PB分别与分别与O O相切于
9、点相切于点A,B,APB=80A,B,APB=80,C,C为为O O上一上一点点.(1)(1)如图如图,求求ACBACB的大小的大小;(2)(2)如图如图,AE,AE为为O O的直径的直径,AE,AE与与BCBC相交于点相交于点D.D.若若AB=AD,AB=AD,求求EACEAC的大小的大小.解解:(1)(1)连接连接OA,OB,PA,PBOA,OB,PA,PB是是O O的切线的切线,OAP=OBP=90OAP=OBP=90,AOB=360AOB=360-90-90-90-90-80-80=100=100,由圆周角定理得由圆周角定理得,ACB=AOB=50,ACB=AOB=50;12(2)(2
10、)连接连接CE,AECE,AE为为O O的直径的直径,ACE=90,ACE=90,ACB=50ACB=50,BCE=90,BCE=90-50-50=40=40,BAE=BCE=40BAE=BCE=40,AB=AD,ABD=ADB=70AB=AD,ABD=ADB=70,EAC=ADB-ACB=20EAC=ADB-ACB=20.3.(20193.(2019常德中考常德中考)如图如图,O O与与ABCABC的的ACAC边相切于点边相切于点C,C,与与AB,BCAB,BC边分别交于点边分别交于点D,E,DEOA,CED,E,DEOA,CE是是O O的直径的直径.(1)(1)求证求证:AB:AB是是O
11、O的切线的切线;(2)(2)若若BD=4,EC=6,BD=4,EC=6,求求ACAC的长的长.略略 【答题指导答题指导】1.1.看到切线看到切线,就想到作过切点的半径就想到作过切点的半径,看到直径就想到直径所对的圆周角是直角看到直径就想到直径所对的圆周角是直角.2.2.看到切线的判定看到切线的判定,就想到就想到:若已知直线与圆的公共点若已知直线与圆的公共点,则采用判定定理法则采用判定定理法,其其基本思路是基本思路是:当已知点在圆上时当已知点在圆上时,连接过这点的半径连接过这点的半径,证明这条半径与直线垂直即证明这条半径与直线垂直即可可,可简述为可简述为:有切点有切点,连半径连半径,证垂直证垂直
12、;若未知直线与圆有交点若未知直线与圆有交点,则采用数量关则采用数量关系法系法,其基本思路是其基本思路是:过圆心作直线的垂线段过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于圆的半径证明垂线段的长等于圆的半径,可可简述为简述为:无切点无切点,作垂线作垂线,证相等证相等.考向四与圆有关的计算考向四与圆有关的计算圆的有关计算常见考点为正多边形与圆的相关计算圆的有关计算常见考点为正多边形与圆的相关计算,利用扇形弧长、面积公式利用扇形弧长、面积公式计算等计算等,是中考的一个热点问题是中考的一个热点问题.1.(20201.(2020黔东南州中考黔东南州中考)如图如图,正方形正方形ABCDABCD的边长为的边长为2
13、,O2,O为对角线的交点为对角线的交点,点点E E、F F分别为分别为BCBC、ADAD的中点的中点.以以C C为圆心为圆心,2,2为半径作圆弧为半径作圆弧 ,再分别以再分别以E E、F F为圆心为圆心,1,1为为半径作圆弧半径作圆弧 ,则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为()A.-1A.-1 B.-2B.-2 C.-3C.-3 D.4-D.4-BDBO OD、B B2.(20192.(2019河池中考河池中考)如图如图,在正六边形在正六边形ABCDEFABCDEF中中,AC=2,AC=2 ,则它的边长是则它的边长是()A.1A.1B.B.C.C.D.2D.23D D233.(2020
14、3.(2020宁波中考宁波中考)如图如图,折扇的骨柄长为折扇的骨柄长为27 cm,27 cm,折扇张开的角度为折扇张开的角度为120120,图中图中 的长为的长为_cm(_cm(结果保留结果保留).).1818AB 【答题指导答题指导】1.1.正正n n边形的每一个内角的度数为边形的每一个内角的度数为 ,相邻两个顶点与中心的连线均构相邻两个顶点与中心的连线均构成顶角为成顶角为 的等腰三角形的等腰三角形,作边心距作边心距,则有等腰三角形三线合一的性质则有等腰三角形三线合一的性质.2.2.利用扇形的弧长、半径、圆心角之间的关系时利用扇形的弧长、半径、圆心角之间的关系时,设扇形的圆心角为设扇形的圆心
15、角为,半径为半径为r,r,弧长为弧长为l,则弧长计算公式为则弧长计算公式为l=.这三个量中只要知道其中的两个就可以求出这三个量中只要知道其中的两个就可以求出第三个量第三个量.3.3.在利用扇形面积公式进行计算时在利用扇形面积公式进行计算时,要明确扇形所在圆的半径要明确扇形所在圆的半径,扇形的圆心角的扇形的圆心角的度数或扇形的弧长度数或扇形的弧长,然后代入到公式然后代入到公式S S扇形扇形=lr r或或S S扇形扇形=进行求解进行求解.on360（180-）on360（）r180122n r360思想方法提素养思想方法提素养一、转化思想一、转化思想【思想解读思想解读】转化思想是常用的数学思想之一
16、转化思想是常用的数学思想之一.它是指在研究新问题或复杂问题它是指在研究新问题或复杂问题时时,常常把问题转化为已知的或比较简单的问题来解决常常把问题转化为已知的或比较简单的问题来解决.【应用链接应用链接】在圆的有关知识的应用时在圆的有关知识的应用时,往往通过添加辅助线来完成图形和问往往通过添加辅助线来完成图形和问题的转化题的转化.探索圆的相关性质时探索圆的相关性质时,利用圆的对称性利用圆的对称性,将圆的问题转化为四边形或三将圆的问题转化为四边形或三角形问题角形问题,或在计算弧长和扇形的面积时或在计算弧长和扇形的面积时,将不规则的图形的面积转化为规则图将不规则的图形的面积转化为规则图形的面积形的面
17、积,也可转化为几个规则图形面积的和与差也可转化为几个规则图形面积的和与差.【典例典例1 1】(2019(2019朝阳中考朝阳中考)如图如图,四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形,以以ADAD为直径作为直径作O O交交ABAB于点于点F,F,连接连接DBDB交交O O于点于点H,EH,E是是BCBC上的一点上的一点,且且BE=BF,BE=BF,连接连接DE.DE.(1)(1)求证求证:DE:DE是是O O的切线的切线;(2)(2)若若BF=2,DH=BF=2,DH=,求求O O的半径的半径.5【思路点拨思路点拨】(1)(1)连接连接DF,DF,证明证明DAFDAFDCE,DCE,可得可得DF
18、A=DEC,DFA=DEC,证出证出ADE=DEC=90ADE=DEC=90,即即ODDE,DEODDE,DE是是O O的切线的切线.(2)(2)连接连接AH,AH,求出求出DB=2DH=2DB=2DH=2 ,在在RtRtADFADF和和RtRtBDFBDF中中,可得可得ADAD2 2-(AD-BF)-(AD-BF)2 2=DB=DB2 2-BF-BF2 2,解方程可求出解方程可求出ADAD的长的长,则半径可求出则半径可求出.【自主解答自主解答】略略5 【跟踪训练跟踪训练】1.(20191.(2019云南中考云南中考)如图如图,ABCABC的内切圆的内切圆O O与与BC,CA,ABBC,CA,
19、AB分别相切于点分别相切于点D,E,F,D,E,F,且且AB=5,BC=13,CA=12,AB=5,BC=13,CA=12,则阴影部分则阴影部分(即四边形即四边形AEOF)AEOF)的面积是的面积是()A.4A.4B.6.25B.6.25C.7.5C.7.5D.9D.9A A2.(20192.(2019玉林中考玉林中考)如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC=5,BC=6,AB=AC=5,BC=6,以以ABAB为直径作为直径作O O分别交分别交AC,BCAC,BC于点于点D,E,D,E,过点过点E E作作O O的切线的切线EFEF交交ACAC于点于点F,F,连接连接BD.BD.(1)(1)
20、求证求证:EF:EF是是CDBCDB的中位线的中位线;(2)(2)求求EFEF的长的长.解解:(1)(1)连接连接AE,OE,AE,OE,如图所示如图所示:ABAB为为O O的直径的直径,ADB=AEB=90ADB=AEB=90,AEBC,BDAC,AEBC,BDAC,AB=AC,BE=CE=3,AB=AC,BE=CE=3,EFEF是是O O的切线的切线,OEEF,OEEF,OA=OB,OEOA=OB,OE是是ABCABC的中位线的中位线,OEAC,OEBD,OEAC,OEBD,BDEF,BE=CE,BDEF,BE=CE,CF=DF,EFCF=DF,EF是是CDBCDB的中位线的中位线;(2)
21、AEB=90(2)AEB=90,ABCABC的面积的面积=AC=ACBD=BCBD=BCAE,AE,EFEF是是CDBCDB的中位线的中位线,EF=BD=.EF=BD=.2222AEABBE534，1212BC AE6 424BDAC55，12125二、方程思想二、方程思想【思想解读思想解读】方程思想是将所求的量设成未知数方程思想是将所求的量设成未知数,用它表示问题中的其他各量用它表示问题中的其他各量,根据题中隐含的等量关系根据题中隐含的等量关系,列方程列方程(组组),),通过解方程通过解方程(组组)或对方程或对方程(组组)进行研究进行研究,解决所求得问题解决所求得问题.【应用链接应用链接】在
22、求圆中弦、半径、弦心距的问题时在求圆中弦、半径、弦心距的问题时,经常使用方程思想求解经常使用方程思想求解.【典例典例2 2】(2019(2019黄石中考黄石中考)如图如图,AB,AB是是O O的直径的直径,点点D D在在ABAB的延长线上的延长线上,C,E,C,E是是O O上的两上的两点点,CE=CB,BCD=CAE,CE=CB,BCD=CAE,延长延长AEAE交交BCBC的延长线于点的延长线于点F.F.(1)(1)求证求证:CD:CD是是O O的切线的切线;(2)(2)求证求证:CE=CF;:CE=CF;(3)(3)若若BD=1,CD=BD=1,CD=,求弦求弦ACAC的长的长.2【思路点拨
23、思路点拨】(1)(1)连接连接OC,OC,可证得可证得CAD=BCD,CAD=BCD,由由CAD+ABC=90CAD+ABC=90,可得出可得出OCD=90OCD=90,即结论得证即结论得证;(2)(2)证明证明ABCABCAFCAFC可得可得CB=CF,CB=CF,又又CB=CE,CB=CE,则则CE=CF;CE=CF;(3)(3)证明证明DCBDCBDAC,DAC,可求出可求出DADA的长的长,求出求出ABAB的长的长,设设BC=a,AC=BC=a,AC=a,a,则由勾股定则由勾股定理可得理可得ACAC的长的长.【自主解答自主解答】略略2 【跟踪训练跟踪训练】1.(20201.(2020凉
24、山州中考凉山州中考)如图如图,点点C,DC,D分别是半圆分别是半圆AOBAOB上的三等分点上的三等分点,若阴影部分的若阴影部分的面积是面积是 ,则半圆的半径则半圆的半径OAOA的长为的长为_._.323 32.(20192.(2019福建中考福建中考)如图如图,四边形四边形ABCDABCD内接于内接于O,AB=AC,ACBD,O,AB=AC,ACBD,垂足为垂足为E,E,点点F F在在BDBD的延长线上的延长线上,且且DF=DC,DF=DC,连接连接AF,CF.AF,CF.(1)(1)求证求证:BAC=2CAD;:BAC=2CAD;(2)(2)若若AF=10,BC=4AF=10,BC=4 ,求
25、求tanBADtanBAD的值的值.略略5三、分类讨论思想三、分类讨论思想 【思想解读思想解读】在解决一个问题时在解决一个问题时,无法用同一种方法解决无法用同一种方法解决,而需要将问题划分为而需要将问题划分为几个能用不同的形式几个能用不同的形式,将这些小问题一一加以解决将这些小问题一一加以解决,从而使问题得到解决从而使问题得到解决.【应用链接应用链接】在本章解答某些关于线段长和点的坐标等问题时在本章解答某些关于线段长和点的坐标等问题时,有时会遇到多种有时会遇到多种情况情况,需要对各种情况加以分类需要对各种情况加以分类,在进行分类讨论时在进行分类讨论时,遵循的原则是遵循的原则是:分类对象是分类对
26、象是确定的确定的,分类标准是统一的分类标准是统一的,要做到不重不漏要做到不重不漏.【典例典例3 3】(2019(2019宁波中考宁波中考)如图如图,Rt,RtABCABC中中,C=90,C=90,AC=12,AC=12,点点D D在边在边BCBC上上,CD=5,CD=5,BD=13.BD=13.点点P P是线段是线段ADAD上一动点上一动点,当半径为当半径为6 6的的P P与与ABCABC的一边相切时的一边相切时,AP,AP的长为的长为_.6.53 13或【思路点拨思路点拨】根据勾股定理求出根据勾股定理求出AB,AD,AB,AD,当当P P与与BCBC相切时相切时,点点P P到到BCBC的距离
27、为的距离为6,6,过过P P作作PHBCPHBC于于H,H,则则PH=6;PH=6;当当P P与与ABAB相切时相切时,点点P P到到ABAB的距离为的距离为6,6,根据相似三角形的根据相似三角形的性质即可得到结论性质即可得到结论.【跟踪训练跟踪训练】(2019(2019菏泽中考菏泽中考)如图如图,直线直线y=-y=-x-3x-3交交x x轴于点轴于点A,A,交交y y轴于点轴于点B,B,点点P P是是x x轴上一动轴上一动点点,以点以点P P为圆心为圆心,以以1 1个单位长度为半径作个单位长度为半径作P,P,当当P P与直线与直线ABAB相切时相切时,点点P P的坐标的坐标是是_.34717
28、(0)0)33，或(，源头活水话中考源头活水话中考【教材这样教教材这样教】如图如图,点点A,B,CA,B,C在在O O上上,A=72,A=72,求求BOCBOC和和OBCOBC的度数的度数.解解:BOC=2A=2BOC=2A=27272=144=144,OBC=(180OBC=(180-144-144)=3636=18=18.1212【中考这样考中考这样考】(2020(2020泸州中考泸州中考)如图如图,O O中中,ABC=70,ABC=70.则则BOCBOC的度数为的度数为()A.100A.100B.90B.90C.80C.80D.70D.70 ABACC C【专家这样说专家这样说】牢记牢记
29、“在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆都等于这条弧所对的圆心角的一半心角的一半”专家支招专家支招:在有关圆的问题中在有关圆的问题中,要善于利用圆周角与圆心角之间的相互转化要善于利用圆周角与圆心角之间的相互转化,同时同时直径所对的圆周角都等于直径所对的圆周角都等于9090.考点考点2 2三角形的内切圆三角形的内切圆(考查方式考查方式:给出三角形的边长求内切圆的半径给出三角形的边长求内切圆的半径)【教材这样教教材这样教】已知等边三角形已知等边三角形ABCABC的边长为的边长为a,a,求它的内切圆的半径求它的内切圆的半径.略略 【中考这样考中考这样考】(2020(2020青海中考青海中考)如图如图,在在ABCABC中中,C=90,C=90,AC=3,BC=4,AC=3,BC=4,则则ABCABC的内切圆半径的内切圆半径r=_.r=_.1 1【专家这样说专家这样说】根据三角形内心的特殊性根据三角形内心的特殊性,可以求出特殊三角形可以求出特殊三角形(如正三角形、直角三角形如正三角形、直角三角形)的边的边长、内切圆的半径等长、内切圆的半径等.
