1、第24章 圆小结与评价【学习目标】【学习目标】1 1巩固复习本章内容，对各单元知识有框架性巩固复习本章内容，对各单元知识有框架性认识认识2 2能熟练应用各单元知识点解决问题能熟练应用各单元知识点解决问题【学习重点】【学习重点】对本章知识结构的总体认识对本章知识结构的总体认识【学习难点】【学习难点】把握有关性质定理解决问题把握有关性质定理解决问题学习目标学习目标圆的基本性质圆的基本性质圆圆圆的对称性圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系正多边形和圆正多边形和圆有关圆的计算有关圆的计算点和圆
2、的位置关系点和圆的位置关系切线切线直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形的外接圆等分圆等分圆三角形的内切圆三角形的内切圆弧长弧长扇形的面积扇形的面积圆（柱）锥的侧面积和全面积圆（柱）锥的侧面积和全面积知识结构知识结构第第1 1部分部分 圆的基本性质圆的基本性质第第2 2部分部分 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系第第3 3部分部分 正多边形和圆正多边形和圆第第4 4部分部分 弧长和面积的计算弧长和面积的计算第第5 5部分部分 有关作图有关作图知识梳理知识梳理一一.圆的基本概念圆的基本概念:1.1.圆的定义圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合到定点的距离等于定长的点的集合
3、叫做圆叫做圆.2.2.有关概念有关概念:(1)(1)弦、直径弦、直径(圆中最长的弦圆中最长的弦)(2)(2)弧、优弧、劣弧、等弧弧、优弧、劣弧、等弧(3)(3)弦心距弦心距O O知识梳理知识梳理二二.圆的基本性质圆的基本性质1.1.圆的对称性圆的对称性:(1)(1)圆是轴对称图形圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都经过圆心的每一条直线都是它的对称轴是它的对称轴.圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴.(2)(2)圆是中心对称图形圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性即圆具有旋转不变性.2.2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦
4、之间的关系同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)(1)在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果圆心角相等如果圆心角相等,那么它所对的那么它所对的弧相等弧相等,所对的弦相等所对的弦相等.(2)(2)在圆中在圆中,如果弧相等如果弧相等,那么它所对的圆心角相等那么它所对的圆心角相等,所所对的弦相等对的弦相等.(3)(3)在一个圆中在一个圆中,如果弦相等如果弦相等,那么它所对的弧相等那么它所对的弧相等,所所对的圆心角相等对的圆心角相等.A AB BD DC CO O COD=AOBABCD=AB=CDAB=CD3.3.垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对并
5、且平分弦所对的两条弧的两条弧.ADBPCCD是圆是圆O的直径的直径,CDABAP=BP,AP=BP,ACACBCBC=ADADBDBD=对于一个圆中的弦长对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆半径圆半径r、弓形高、弓形高h，这四个量中，只要已知其中，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量任意两个量，就可以求出另外两个量.d+h=r222)2(adr垂径定理的应用垂径定理的应用知识梳理知识梳理 4.4.圆周角圆周角:定义定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角叫做圆周角.性质性质:(1):(1)在同一个圆中在同一个圆中
6、,同弧所对的圆周角同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半等于它所对的圆心角的一半.OABCBAC=BOCBAC=BOC1 12 2知识梳理知识梳理OBADEC在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角同弧或等弧所对的所有的圆周角相等相等.相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.圆周角的性质圆周角的性质2 2ADB与与AEB、ACB 是同是同弧所对的圆周角弧所对的圆周角ADB=AEB=ACB知识梳理知识梳理性质性质 3:3:半圆或直径所对的圆周角都相等半圆或直径所对的圆周角都相等,都都等于等于90900 0(直角直角).).性质性质4:904:900 0的圆周角所对的
7、弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径.OABCABAB是是O O的直径的直径 ACB=90 ACB=900 0圆周角的性质圆周角的性质:知识梳理知识梳理(2)(2)点在圆上点在圆上(3)(3)点在圆外点在圆外(1)(1)点在圆内点在圆内1.1.点和圆的位置关系点和圆的位置关系A AC CB B如果规定点与圆心的距离为如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为圆的半径为r,则则d与与r的大小的大小关系为关系为:点与圆的位置关点与圆的位置关系系 d与与r的关系的关系 点在圆内点在圆内点在圆上点在圆上点在圆外点在圆外drdrdr三三.与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系:2.2.直线和圆的位置关系直线
8、和圆的位置关系:O OO OO Olll(1)(1)相离相离:(2)(2)相切相切:(3)(3)相交相交:一条直线与一个圆没有公共点一条直线与一个圆没有公共点,叫做直线与这个叫做直线与这个圆相离圆相离.一条直线与一个圆只有一个公共点一条直线与一个圆只有一个公共点,叫做直线与叫做直线与这个圆相切这个圆相切.一条直线与一个圆有两个公共点一条直线与一个圆有两个公共点,叫做直线与这叫做直线与这个圆相交个圆相交.OOl(1)(1)当直线与圆相离时当直线与圆相离时dr;(2)(2)当直线与圆相切时当直线与圆相切时d=r;(3)(3)当直线与圆相交时当直线与圆相交时dr.3.3.直线与圆位置关系的识别直线与
9、圆位置关系的识别:drldrOldr设圆的半径为设圆的半径为r,圆心到直线的距离为圆心到直线的距离为d,则则:1.1.与圆有一个公共点的直线。与圆有一个公共点的直线。2.2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。圆的切线。3.3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线。O OA Al lOAOA是半径是半径,OA l直线直线l是是O O的切线的切线.4.4.切线切线:切线的性质切线的性质:(1)(1)圆的切线垂直于经过切点的半径圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)(2)经过圆心垂直于切线的直线必
10、经过切点经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.(3)(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.O OA Al OA l直线直线l是是 O的切线的切线,切点为切点为A A切线长定理：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。B BA AP PO OPA、PB为为 O的切线的切线PAPA=PB,APO=BPO不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆.O OC CB BA A三角形的外接圆与内切圆三角形的外接圆与内切
11、圆:三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.O OA AB BC C三角形的内心就是三角形各角平分线的交点三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.等边三角形的外心与内心重合等边三角形的外心与内心重合.特别的特别的:内切圆半径与外接圆半径的比是内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.1:2.O OA AB BC CD D四四.正多边形与圆正多边形与圆:2.2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心的
12、中心3.3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角正多边形的中心角4.4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距边心距OA AB BF FD DC CE EG G1.1.圆的周长和面积公式圆的周长和面积公式2.2.弧长的计算公式弧长的计算公式3.3.扇形的面积公式扇形的面积公式S S=360360nr2L=180180nr=1 12 2lrS S或或圆中的有关计算圆中的有关计算:周长周长C=2r面积面积s=r2Or4.4.圆柱的展开图圆柱的展开图:D
13、BCArhS侧侧=2r hS全全=2r h+2 r25.5.圆锥的展开图圆锥的展开图:底面底面侧面侧面aahrS侧侧=r aS全全=r a+r2ECBAOD常见的基本图形及结论常见的基本图形及结论:1.1.如图如图,在以在以O O为圆心的两为圆心的两个同心圆中个同心圆中,大圆的弦大圆的弦ABAB交交小圆于小圆于C C、D,D,则则:AC=BD若大圆的弦切小圆于若大圆的弦切小圆于C,C,则则OACBAC=BC两圆之间的环形面积两圆之间的环形面积S=AB241典例精析典例精析例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，ACB=90，点，点D，E分别在分别在AB，AC上，上，CE=BC，连接，连接CD
14、，将线段，将线段CD绕点绕点C按顺时针按顺时针方向旋转方向旋转90后得后得CF，连接，连接EF（1）补充完成图形；）补充完成图形；（2）若）若EFCD，求证：，求证：BDC=90解析：（解析：（1 1）根据题意，找准旋转中心，旋转方向及旋）根据题意，找准旋转中心，旋转方向及旋转角度，补全图形即可；转角度，补全图形即可；（2 2）由旋转的性质得）由旋转的性质得DCFDCF为直角，由为直角，由EFEF与与CDCD平行，得平行，得到到EFCEFC为直角，利用为直角，利用SASSAS得到得到BDCBDC与与EFCEFC全等，利用全等，利用全等三角形对应角相等即可得证全等三角形对应角相等即可得证考点考点
15、 旋转变换旋转变换F F解：（解：（1）补全图形，如图所示；）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得，）由旋转的性质得，DC=FC，DCF=90，DCE+ECF=90.ACB=90，DCE+BCD=90，ECF=BCD，EFDC，EFC+DCF=180，EFC=90，BDC EFC（SAS），），BDC=EFC=90考点考点 与圆有关的概念与圆有关的概念 例例2 2 在图中，在图中，BCBC是是O O的直径，的直径，ADADBCBC,若若D D=36=36,则则BADBAD的度数是（的度数是（）A.72A.72 B.54 B.54 C.45 C.45 D.36 D.36 A AB BC CD
16、 D解析解析 根据圆周角定理的推论可知，根据圆周角定理的推论可知，B=D=36,BAC=90，所以所以BAD=54，故选，故选B.B BO O考点考点 垂径定理垂径定理 例例3.如图如图,AB是是 O的直径，且的直径，且AB=2，C,D是同一半圆是同一半圆上的两点，并且上的两点，并且AC与与BD的度数分别是的度数分别是96和和36，动点动点P是是AB上的任意一点，则上的任意一点，则PC+PD的最小值是的最小值是 .（3A AB BC CD DP P O O考点考点 圆周角定理圆周角定理 例例4 如图，如图，O的直径的直径AE=4cm，B=30，则，则AC=.A AB BC CE EO O2cm
17、2cm解析解析 连接连接CE，则，则E=B=30,ACE=90，所以，所以AC=AE=2cm.12方法归纳方法归纳：有直径，通常构造直径所对的圆周角，：有直径，通常构造直径所对的圆周角，将问题转化到直角三角形中解决将问题转化到直角三角形中解决.考点考点 点或直线与圆的位置关系点或直线与圆的位置关系例例5 如图，已知如图，已知NON=30，P是是ON上的一点，上的一点，OP=5，若以，若以P点为圆心，点为圆心，r为半径画圆，使射线为半径画圆，使射线OM与与 P只有一个公共点，求只有一个公共点，求r的值或取值范围的值或取值范围.解：当射线解：当射线OM与与 P相切时，射线相切时，射线OM与与 P只
18、有一个公共点只有一个公共点.过点过点P作作PAOM于于A，如图所示，如图所示.在在RtAOP中，中，r=PA=OPsinPOA=2.5（）（）.当射线当射线OM与与 P相交且点相交且点O在在 P内时，射线内时，射线OM与与 P只有一个公共点只有一个公共点.如图如图2所示所示.射线射线OM与与 P相交，则相交，则r2.5 又又点点O在在 P内，则内，则rOP，即，即r5 综合综合、可得可得r5.综上所述，当射线综上所述，当射线OM与与 P只有一个公共点时，只有一个公共点时，r=2.5或或r5.图图2 2例例6 如图，以如图，以ABC的边的边AB为直径的为直径的 O交边交边AC于点于点D，且过点，
19、且过点D的切线的切线DE平分边平分边BC.问：问：BC与与 O是否相切？是否相切？解：解：BC与与 O相切理由：连接相切理由：连接OD，BD，如，如图图.DE切切 O于于D，AB为直径，为直径，EDOADB90.又又DE平分平分CB，DE BCBE.EDBEBD.又又ODBOBD，ODBEDB90，OBDDBE90，即，即ABC90.BC与与 O相切相切考点考点 切线的性质与判定切线的性质与判定12考点考点 圆内接正多边形圆内接正多边形例例7 如图，在正方形如图，在正方形ABCD内有一条折线段，其中内有一条折线段，其中AEEF，EFFC，已知，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分
20、的面积求图中阴影部分的面积.【解析解析】观察图形看出，因为四边形观察图形看出，因为四边形ABCD是正方形，所以是正方形，所以AC是圆的直径是圆的直径.由于由于AE，CF都与都与EF垂直，所以垂直，所以AE与与CF平行，所以平行，所以可以把可以把CF平移到直线平移到直线AE上，如果点上，如果点E，F重重合时，点合时，点C到达点到达点C的位置，则构造出一个的位置，则构造出一个直角三角形直角三角形ACC，在这个直角三角形中利，在这个直角三角形中利用勾股定理，即可求得正方形用勾股定理，即可求得正方形ABCD的外接的外接圆的半径，进而求得阴影部分的面积圆的半径，进而求得阴影部分的面积.解：将线段解：将线
21、段FC平移到直线平移到直线AE上，此时点上，此时点F与点与点E重合，重合，点点C到达点到达点C的位置的位置.连接连接AC，如图所示，如图所示.根据平移的方法可知，四边形根据平移的方法可知，四边形EFCC是矩形是矩形.AC=AE+EC=AE+FC=16，CC=EF=8.在在RtACC中，得中，得2222AC=AC+CC=16+8=8 5正方形正方形ABCDABCD外接圆的半径为外接圆的半径为 .4 5正方形正方形ABCDABCD的边长为的边长为ACAB=4 10222=4 54 10=80160S阴影（）（）考点考点 弧长和扇形面积弧长和扇形面积 例例8 8（1 1）一条弧所对的圆心角为）一条弧
22、所对的圆心角为135 135，弧长等于半径为，弧长等于半径为5cm5cm的圆的周长的的圆的周长的3 3倍，则这条弧的半径为倍，则这条弧的半径为 .（2 2）一个底面直径为）一个底面直径为10cm,10cm,母线长为母线长为15cm15cm的圆锥，它的侧面的圆锥，它的侧面展开图圆心角是展开图圆心角是 度度.40cm40cm120120解析解析(1)(1)要熟记弧长公式及其变形式公式要熟记弧长公式及其变形式公式.即即 及及 ;还要熟记圆锥及其侧面展开图之间还要熟记圆锥及其侧面展开图之间存在的对应的数量关系，即底面圆的周长等于展开后扇形的存在的对应的数量关系，即底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，母线
23、长等展开后扇形的半径弧长，母线长等展开后扇形的半径.180n Rl、180lRn180lnR圆圆旋 转旋 转旋转对称及其性质旋转对称及其性质中心对称及其性质中心对称及其性质旋 转 对 称 图 形旋 转 对 称 图 形中 心 对 称 图 形中 心 对 称 图 形圆 的 基圆 的 基本 性 质本 性 质垂径分弦垂径分弦等 圆 心 角等 圆 心 角圆 的 确 定圆 的 确 定连半径，作弦心距，构造直角三角形连半径，作弦心距，构造直角三角形等 弧等 弧等 弦等 弦等 弦 心 距等 弦 心 距三 角 形 的 外 接 圆三 角 形 的 外 接 圆圆 周 角圆 周 角圆 内 接 四 边 形 的 性 质圆 内 接 四 边 形 的 性 质作弦，构造直径作弦，构造直径所对的圆周角所对的圆周角与圆有关的与圆有关的位置关系位置关系点与圆的位置关系点与圆的位置关系直线与圆的位置的关系直线与圆的位置的关系有公共点，连半径，证垂直；有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直见切点，连半径，得垂直.与圆有关与圆有关的计算的计算正多边形的计算正多边形的计算弧长与扇形面积的计算弧长与扇形面积的计算切线的判定与性质切线的判定与性质
