1、第四讲第四讲 数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式 41 数学归纳法数学归纳法 学习目标学习目标 1.理解数学归纳法的原理理解数学归纳法的原理，能够运用数能够运用数 学归纳法证明与正整数有关的数学命题学归纳法证明与正整数有关的数学命题(重点重点) 2.掌握掌握 归纳、猜想、证明的思想方法归纳、猜想、证明的思想方法，提高观察问题、分析问题提高观察问题、分析问题 的能力的能力，形成良好的思维习惯形成良好的思维习惯(难点难点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1定义定义 一般地一般地，当要证明一当要证明一个命题对于不小于某正整数个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整数的所有正整数 n 都成立时都
2、成立时，可以用以下两个步骤：可以用以下两个步骤： (1)证明当证明当 nn0时命题成立；时命题成立； (2)假设当假设当 nk(kN ，且且 kn0)时命题成立时命题成立，证明证明 nk1 时命题也成立时命题也成立 在完成了这两个步骤后在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小就可以断定命题对于不小 于于 n0的所有正整数都成立的所有正整数都成立，这种证这种证明方法称为数学归纳明方法称为数学归纳 法法 2数学归纳法的使用范围数学归纳法的使用范围 数学归纳法可以证明数学归纳法可以证明与正整数有关与正整数有关的命题的命题，但是但是， 并不能简单地说所有涉及正整数并不能简单地说所有涉及正整数 n
3、的命题都可以用数学的命题都可以用数学 归纳法证明归纳法证明 温馨提示温馨提示 用数学归纳法证明用数学归纳法证明， 关键在于两个步骤要关键在于两个步骤要 做到做到“递推基础不可少递推基础不可少， 归纳假设要用到归纳假设要用到， 结论结论写明莫忘写明莫忘 掉掉” 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“” ，错误的打，错误的打“”“”) (1)式子式子 1kk2kn(nN*)当当 n1 时恒为时恒为 1.( ) (2)式子式子 1kk2kn 1(n N*)当当 n1 时恒为时恒为 1 k.( ) (3)式子式子1 1 1 2 1 3 1 2n1(n N*)当当n1时恒
4、为时恒为1 1 2 1 3.( ) (4)设设 f(n) 1 n1 1 n2 1 3n1(n N*)，则则 f(k 1)f(k) 1 3k2 1 3k3 1 3k4.( ) 解析：解析：(1)当当 n1 时时，恒为恒为 1k，故故(1)不正确不正确 (2)当当 n1 时时，恒为恒为 1，故故(2)不正确不正确 (3)当当 n1 时恒为时恒为 11 2 1 3， ，故故(3)正确正确 (4)f(k1)f(k) 1 3k2 1 3k3 1 3k4 1 k1， ， 故故(4) 错误错误 答案：答案：(1) (2) (3) (3) 2用数学归纳法用数学归纳法证明：证明：“1aa2an 1 1an 2
5、1a (a1，nN )”在验证在验证 n1 成立时成立时，左边计左边计 算的结果是算的结果是( ) A1 B1a C1aa2 D1aa2a3 解析：解析：左边从左边从 1(即即 a0)起起，每项指数增加每项指数增加 1，到最后到最后 一项为一项为 an 1， ，因此因此 n1 时时，左边的最后一项为左边的最后一项为 a2，因此因此 左边计算的结果应为左边计算的结果应为 1aa2. 答案：答案：C 3 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 n(n1)(2n1)能被能被 6 整除时整除时， 由归纳假设推证由归纳假设推证 nk1 时命题成立时命题成立，需将需将 nk1 时时 的原式表示成的原式表示成(
6、) Ak(k1)(2k1)6(k1) B6k(k1)(2k1) Ck(k1)(2k1)6(k1)2 D以上都不对以上都不对 解析：解析：nk1 时时，(k1)(k2)(2k3)(k1)(2k2 7k6)(k1)k(2k1)6(k1)k(k1)(2k1) 6(k1)2，选选 C. 答案：答案：C 4. 用数学归纳法用数学归纳法证明：证明： “1427310 n(3n1)n(n1)2，nN ”时时，若若 n1，则左端应为则左端应为 _ 解析：解析：当当 n1 时时，左端为左端为 144. 答案：答案：4 5用数学归纳法证明用数学归纳法证明“123n2n 4 n2 2 ” 时时，当当 nk1 时左端
7、应在时左端应在 nk 时加上时加上_ 解析：解析：等式左边是连续自然数的和等式左边是连续自然数的和，所以当所以当 nk1 时左端应在时左端应在 nk 的基础上加上：的基础上加上：(k21)(k22)(k2 3)(k1)2. 故填故填(k21)(k22)(k23)(k1)2. 答案：答案：(k21)(k22)(k23)(k1)2 类型类型 1 用数学归纳法证明恒等式用数学归纳法证明恒等式(自主研析自主研析) 典例典例 1 用数学归纳法证明用数学归纳法证明1 2 1 22 1 23 1 2n 1 1 2n 1 1 2n(n N ) 证明：证明：(1)n1 时时，左边左边1 2， ，右边右边11 2
8、 1 2， ，等式等式 成立成立 (2)假设当假设当 nk(kN )时时，等式成立等式成立， 即即1 2 1 22 1 2k 1 1 2k. 当当 nk1 时时， 1 2 1 22 1 2k 1 2k 1 1 1 2k 1 2k 1 1 1 2k 1， ， 即当即当 nk1 时时，等式也成立等式也成立 根据根据(1)(2)，等式对任何等式对任何 nN 都成立都成立 归归纳升华纳升华 用数学归纳法证明一个代数恒等式用数学归纳法证明一个代数恒等式， 解题前先要分析解题前先要分析 清楚等式两边的构成情况 解这类题的关键在于清楚等式两边的构成情况 解这类题的关键在于， 第二步第二步 将式子转化成与归纳
9、假设的等式结构相同的形式将式子转化成与归纳假设的等式结构相同的形式凑凑 假设然后应用归纳假设假设然后应用归纳假设，经过恒等变形经过恒等变形，得到结论所需得到结论所需 要的形式要的形式凑结论凑结论 数学归纳法只是一种证明问题的方法数学归纳法只是一种证明问题的方法， 它本身并不包它本身并不包 括具体的知识括具体的知识，因此因此，用数学归纳法证明问题时用数学归纳法证明问题时，要熟练要熟练 掌握相关基础知识掌握相关基础知识 变式训练变式训练 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 11 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n(n 1，nN*) 证明：证明：(1)当当 n1 时
10、时，左边左边11 2 1 2， ，右右边边1 2， ，命命 题成立题成立 (2)假设当假设当 nk(k1，k N )时命题成立时命题成立， 即即 11 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 k1 1 k2 1 2k. 当当 nk1 时时，左边左边11 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 k1 1 k2 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 k2 1 k3 1 2k1 1 2k2， ， 即当即当 nk1 时命题也成立时命题也成立 由由( (1)和和(2)知知，命题对一切命题对一切 n1，n N 均成立均成立 类型类型 2 用数学归纳法证明整除问题用数学归
11、纳法证明整除问题 典例典例 2 用数学归纳法证明用数学归纳法证明(3n1) 7n1(nN*)能能 被被 9 整除整除 证明：证明：当当 n1 时时，(311)71127，能被能被 9 整除整除，所以命题成立所以命题成立 假设当假设当 nk(k1，k N )时命题成立时命题成立， 即即(3k1) 7k1 能被能被 9 整除整除， 那么当那么当 nk1 时时， 3(k1)1 7k 1 121(k1)7 7k1(3k1) (18k27) 7k1(3k1) 7k17k(18k27)(3k 1) 7k19 7k(2k3) 由归纳假设知由归纳假设知(3k1) 7k1 能被能被 9 整除整除， 而而 9 7
12、k(2k3)能被能被 9 整除整除， 则则3(k1)1 7k 1 1 能被能被 9 整除整除， 即当即当 nk1 时命题也成立时命题也成立 综合综合和和可知对一切的可知对一切的 nN ，(3n1) 7n1 都都 能被能被 9 整除整除 归纳升华归纳升华 1用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题，由由 k 过渡到过渡到 k1 时时， 先将先将 nk1 时的原式进行分拆、 重组或时的原式进行分拆、 重组或者添加项等者添加项等， 最终将其变成假设与一个或多个部分的和最终将其变成假设与一个或多个部分的和， 其中每个部分其中每个部分 都能被约定的数都能被约定的数(或式子或式子)整除整除，从而由
13、部分的整除性得出从而由部分的整除性得出 整体的整除法整体的整除法，最终证得最终证得 nk1 时也成立时也成立 2有关整除的几个结论：有关整除的几个结论： (1)如果如果 a 能被能被 c 整除整除，那么那么 a 的倍数的倍数 pa 也能被也能被 c 整整 除；除； (2)如果如果 a，b 能被能被 c 整除整除，那么它们的和那么它们的和或差或差 a b 也也 能被能被 c 整除；整除； (3)一个数能被一个数能被 mn 整除整除，等价于这个数既是等价于这个数既是 m 的倍的倍 数又是数又是 n 的倍数的倍数 变式训练变式训练 求证：求证：an 1 (a1)2n 1 能被能被 a2a1 整除整除
14、(nN ) 证明：证明：当当 n1 时时，a2(a1)a2a1，可被可被 a2a1 整除整除 假设假设 nk(k1，k N ) )时，时，ak 1 (a1)2k 1 能被能被 a2a1 整除整除， 那么当那么当 nk1 时时，ak 2 (a1)2k 1 a ak 1 (a 1)2(a1)2k 1 a ak 1 a (a1)2k 1 (a2a1)(a1)2k 1 aak 1 (a1)2k 1 (a2a1)(a1)2k 1， ， 由假设可知由假设可知 aak 1 (a1)2k 1能被 能被 a2a1 整除整除， 所以所以 ak 2 (a1)2k 1 能被能被 a2a1 整除整除， 即即 nk1 时
15、命题也成立时命题也成立 由由可可知命题对所有知命题对所有 nN 都成立都成立 类型类型 3 利用数学归纳法证明几何问题利用数学归纳法证明几何问题 典例典例 3 平面内有平面内有 n 个圆个圆，任意两个圆都相交于两任意两个圆都相交于两 点点，任意三个圆不相交于同一点任意三个圆不相交于同一点，求证：这求证：这 n 个圆将平个圆将平 面分成面分成 f(n)n2n2(nN*)个部分个部分 证明：证明：(1)当当 n1 时时，一个圆将平面分成两个部分一个圆将平面分成两个部分， 且且 f(1)1122，所以所以 n1 时命题成立时命题成立 (2)假设假设 nk(k1)时命题成立时命题成立，即即 k 个圆将
16、平面分个圆将平面分 成成 f(k)k2k2 个部分个部分 则则 nk1 时时，在在 k1 个圆中任取一个圆个圆中任取一个圆 O，剩下剩下 的的 k 个圆将平面分成个圆将平面分成 f(k)个部分个部分，而圆而圆 O 与与 k 个圆有个圆有 2k 个交点个交点，这这 2k 个点将圆个点将圆 O 分成分成 2k 段弧段弧，每段弧将原平每段弧将原平 面一分为二面一分为二，故得故得 f(k1)f(k)2kk2k22k(k 1)2(k1)2. 所以当所以当 nk1 时命题成立时命题成立 综上综上(1)(2)可知可知，对一切对一切 nN*命题成立命题成立 归纳升华归纳升华 1用数学归纳法证明几何问题时用数学
17、归纳法证明几何问题时，在解题的过程中在解题的过程中 常用到一些几何图形的性质和计算公式常用到一些几何图形的性质和计算公式， 因此做题前要回因此做题前要回 忆这些性质和公式忆这些性质和公式，并在解题时灵活应用并在解题时灵活应用 2在寻找递推关系时在寻找递推关系时，不能仅以两个具体的数量关不能仅以两个具体的数量关 系来代替全部量间的数量关系系来代替全部量间的数量关系， 否则会得出错误的递推关否则会得出错误的递推关 系系， 必须从必须从 n 的若干特的若干特殊值之间的关系去探求具有本质意殊值之间的关系去探求具有本质意 义的真实关系义的真实关系 变式训练变式训练 用数学归纳法用数学归纳法证明：证明：凸
18、凸 n 边形的对角线边形的对角线 的条数是的条数是1 2n(n 3) 证明：证明：(1)当当 n3 时时， 1 2n(n 3)0，这就是说这就是说，三角三角 形没有对角线形没有对角线，故结论正确故结论正确 (2)假设假设 nk(k3，k N*)时结论正确时结论正确，即凸即凸 k 边形边形 的对角线有的对角线有1 2k(k 3)条条，那么当那么当 nk1 时时，凸凸(k1)边边 形形 A1A2A3AkA k 1 的对角线条数由下列三部分的条数相的对角线条数由下列三部分的条数相 加而得：加而得： 由归纳假设由归纳假设， 凸凸 k 边形边形 A1A2A3Ak的对角线条数有的对角线条数有1 2 k(k
19、3)； 对角线对角线 A1Ak，1 条；条； 而顶点而顶点 A k 1 与另外与另外(k2)个顶点个顶点 A2，A3，A k 1 可画出可画出(k2)条对角线条对角线 所以凸所以凸(k1)边形的对角线的条数是：边形的对角线的条数是： 1 2k(k 3)1(k2)1 2(k 2 3k2k2)1 2(k 2 k 2)1 2(k 1)(k2)1 2(k 1)(k1）3 这就是说这就是说，当当 nk1 时结论也正确时结论也正确 由由(1)，(2)知知，命题结论对命题结论对 n3 起的所有自然数都正起的所有自然数都正 确确 类型类型 4 用数学归纳法解决探究问题用数学归纳法解决探究问题 典例典例4 设数
20、设数列列an的前的前n项和为项和为Sn， 满足满足Sn2nan 13n24n，nN*，且且 S315. (1)求求 a1，a2，a3的值；的值； (2)求数列求数列an的通项公式的通项公式 解：解：(1)由已知得由已知得 S1 a12a234， S2a1a24a3128， S3a1a2a315， 解得解得 a13，a25，a37. (2)猜测猜测 an2n1. 由由 Sn2na n 1 3n24n 得得 S n 1 2(n1)an3(n1)24(n1)(n2)， 当当 n2 时时，anSnS n 1 ， 所以两式相减所以两式相减， 整理得整理得 an2na n 1 2(n1)an6n1， a
21、n 1 2n1 2n an 6n1 2n ， 建立建立 an与与 a n 1 的递推关系的递推关系(nN*)； 因为当因为当 n1 时时，a13， 假设假设 ak2k1 成立成立，那么那么 nk1 时时， a k 1 2k1 2k ak 6k1 2k 2k1 2k (2k1) 6k1 2k 2k 32(k1)1， 对于对于 nN*，有有 an2n1. 数列数列an的通项公式为的通项公式为 an2n1. 归纳升华归纳升华 1解解“归纳归纳猜想猜想证明证明”题的关键环节有：题的关键环节有： (1)准确计算出前若干具体项准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基这是归纳、猜想的基 础；础； (2)通
22、过观察、分析、比较、联想通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论；猜想出一般结论； (3)对一般结论用数学归纳法进行证明对一般结论用数学归纳法进行证明 2求解求解“归纳归纳猜想猜想证明证明”型数列问题的关键是型数列问题的关键是 利用递推关系式利用递推关系式， 准确求出数准确求出数列的前列的前 n 项项， 通过分析归纳通过分析归纳， 猜想出其通项公式猜想出其通项公式， 然后用数学归纳法证明， 这是一种解， 然后用数学归纳法证明， 这是一种解 决数列通项公式的重要方法决数列通项公式的重要方法 变式训练变式训练 是否存在常数是否存在常数 a，b，c，使得使得 1222 32n2an（ （bn1）（
23、）（cn1） 6 对一切对一切 nN 都成都成 立？证明你的结论立？证明你的结论 解：解：若存在常数若存在常数 a，b，c 使等式成立使等式成立， 将将 n1，2，3 代入上式代入上式， 得得 1 a（b1）（）（c1） 6 ， 14 2a（2b1）（）（2c1） 6 ， 149 3a（3b1）（）（3c1） 6 ， 解得解得 a 1， b1， c2， 即有即有 1222n2 n（n1）（）（2n1） 6 . 用数学归纳法证明如下：用数学归纳法证明如下： 当当 n1 时时，左边左边1，右边右边1 23 6 1，等式成等式成 立立 假设当假设当 nk(k1)时时，等式成立等式成立， 即即 122
24、2k2 k（k1）（）（2k1） 6 . 当当 nk1 时时，1222k2(k1)2 k（k1）（）（2k1） 6 (k1)2 （k1）（）（k2）（）（2k3） 6 （k1）（k1）12（k1）1 6 . 即当即当 nk1 时时，等式成立等式成立 由由知知，等式对任何等式对任何 nN 都成立都成立 故存在故存在 a1，b1，c2，使等式对一切使等式对一切 nN 都都 成立成立 1归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法，要注意要注意 它们的区别与联系：由完全归纳法得出的结论是正确的它们的区别与联系：由完全归纳法得出的结论是正确的， 由不完全归纳法得出的结论有可能是
25、错误的由不完全归纳法得出的结论有可能是错误的，但是不完但是不完 全归纳法是人类研究科学、探索真理、全归纳法是人类研究科学、探索真理、发现客观规律的发现客观规律的 一种重要手段一种重要手段 2数学中有很多涉及正整数的命题数学中有很多涉及正整数的命题，由于正整数有由于正整数有 无穷多个无穷多个， 因而不可能对所有的正整数一一加以验证 如因而不可能对所有的正整数一一加以验证 如 果只对部分正整果只对部分正整数加以验证， 结论又不一定正确数加以验证， 结论又不一定正确 数学归数学归 纳法的基本思想是先验证使结论成立的最小正整数纳法的基本思想是先验证使结论成立的最小正整数 n0， 如果当如果当 nn0时
26、命题成立时命题成立(这是基础这是基础，是出发点是出发点)，再假设再假设 当当 nk(kn0，k 为正整数为正整数)时命题正确时命题正确，根据这个假设根据这个假设， 如果能推出如果能推出 nk1 时命题也成立时命题也成立(这是递推的依据这是递推的依据)，那那 么就可以推出对于所有不小于么就可以推出对于所有不小于 n0的正整数的正整数 n01，n0 2，命题都正确了命题都正确了 3用数学归纳法证明时用数学归纳法证明时，要分两个步骤要分两个步骤，两者两者缺一缺一 不可不可 (1)证明了第一步证明了第一步，就获得了递推的基础就获得了递推的基础，但仅靠这但仅靠这 一步还不能说明一步还不能说明结论的正确性
27、结论的正确性 (2)证明了第二步证明了第二步，就获得了递推的依据第二步中就获得了递推的依据第二步中， 在推证之前在推证之前，命题对命题对 nk 是否成立是不清楚的是否成立是不清楚的，因此用因此用 “假设假设”两字两字，这一步的实质是证明命题对这一步的实质是证明命题对 nk 的正确的正确 性可以传递到性可以传递到 nk1 的情况的情况，有了这一步有了这一步， 再由第一步知命题对再由第一步知命题对 n0成立成立，就可以知道命题对于就可以知道命题对于 n01 也成立也成立，进而再由第二步可知命题对于进而再由第二步可知命题对于 n(n01) 1n02 也成立也成立，这样递推下去这样递推下去，可以知道命可以知道命 题对于一切不小于题对于一切不小于 n0的正整数都成立在第二步中的正整数都成立在第二步中，n k 命题成立命题成立，可以作为可以作为条件加以运用条件加以运用，而，而 nk1 时的时的 情况则有待利用命题的已知条件、公理、定理、定义加情况则有待利用命题的已知条件、公理、定理、定义加 以证明以证明 完成一、二两步后完成一、二两步后，最后要对命题做一个总的结论最后要对命题做一个总的结论
