1、第四讲第四讲 数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式 4 2 用数学归纳法证明不用数学归纳法证明不 等式等式 学习目标学习目标 1.掌握用数学归纳法证明不等式的常用掌握用数学归纳法证明不等式的常用 方法与技巧方法与技巧(重点重点) 2.理解贝努利不等式理解贝努利不等式 3.能综合能综合 运用数学归纳法与数列、 三角函数等知识进行不等式的证运用数学归纳法与数列、 三角函数等知识进行不等式的证 明明(难点难点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1贝努利不等式贝努利不等式 (1)定义：如果定义：如果 x 是实数是实数，且且 x1，x0，n 为大为大 于于 1 的自然数的自然数，那么有那么有(1x)n1
2、nx (2)作用：在数学研究中经常用贝努利不等式把二项作用：在数学研究中经常用贝努利不等式把二项 式的乘方式的乘方(1x)n缩小为简单的缩小为简单的 1nx 的形式的形式，这在数值这在数值 估计和放缩法证明不等式中有重要应用估计和放缩法证明不等式中有重要应用 2数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式 (1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的 步骤步骤 证明：证明：当当 n 取取第一个值第一个值 n0时结论成立；时结论成立； 假设当假设当 nk(kN ，且且 kn0)时结论成立时结论成立，证明证明 当当 nk1 时结论也成立时结论也成立 由由可
3、知命题对从可知命题对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立都成立 (2)用数学归纳法证明不等式的重点用数学归纳法证明不等式的重点 用数学归纳法证明不等式的重点在第二步用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是同时也是 难点所在难点所在)，即假设即假设 f(k)g(k)成立成立，证明证明 f(k1)g(k 1)成立成立 思考尝试思考尝试 夯夯基基 1思考判断思考判断(正正确的打确的打“”“” ，错误的打，错误的打“”“”) 对于不等式对于不等式 n2nn1(nN )，某同学应用数学某同学应用数学 归纳法证明的过程如下：归纳法证明的过程如下： 当当 n1 时时， 12111，不等式成立
4、不等式成立 假设当假设当 nk(kN ，且且 k1)时时，不等式成立不等式成立，即即 k2kk1， 则当则当 nk1 时时， （k1）2（k1） k23k2（k23k2）（）（k2） （k2）2(k1)1，所以当所以当 nk1 时时，不等式成不等式成 立立 根据根据(1)和和(2)可知对任何可知对任何 nN ， n2nn1 都成都成 立立 则对上述证法的说法中：则对上述证法的说法中： (1)过程全部正确过程全部正确( ) (2)n1 验证不正确验证不正确( ) (3)归纳假设不正确归纳假设不正确( ) (4)从从 nk 到到 nk1 的推理不正确的推理不正确( ) 解析：解析：在证明在证明 n
5、k1 时没有用到归纳假设故时没有用到归纳假设故(4)正正 确确，(1)、(2)、(3)不正确不正确 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2用数学归纳法证明用数学归纳法证明 11 2 1 3 1 2n1 n(n N ，n1)时时，第一步应验证不等式第一步应验证不等式( ) A11 2 2 B11 2 1 3 2 C11 2 1 3 3 D11 2 1 3 1 4 3 解析：解析：因为因为 nN ，n1，所以所以 n 取的第一个自然取的第一个自然 数为数为 2，左端分母最大的项为左端分母最大的项为 1 221 1 3， ，故选故选 B. 答案：答案：B 3 关于正整数关于正整数n的不等式的
6、不等式2nn2成立的条件是成立的条件是( ) AnN Bn4 Cn4 Dn1 或或 n4 解析：解析：验证可知验证可知 D 成立成立 答案：答案：D 4用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1 22 1 32 1 （n1）2 1 2 1 n2， ， 假设假设 nk 时时， 不等式成立之后不等式成立之后， 证明证明 nk1 时时， 应推证的目标不等式是应推证的目标不等式是_ 解析：解析：把把 nk 时的不等式中的时的不等式中的 k 换成换成 k1 即可即可 答案：答案： 1 22 1 32 1 （k1）2 1 （k2）2 1 2 1 k3 5观察下式：观察下式：112，23432，34567 52，
7、 4567891072， ， 则得出结论：则得出结论： _. 答答案：案：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2 类型类型 1 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式(自主研析自主研析) 典例典例 1 设设 n1(nN )， 求证求证1 n 1 n1 1 n2 1 n2 1. 证明：证明：(1)当当 n2 时时，左边左边1 2 1 3 1 4 13 12 1， 所以当所以当 n2 时时，不等式成立不等式成立 (2)假设当假设当 nk(k1，k N )时时，不等式成立不等式成立， 即即1 k 1 k1 1 k2 1 k2 1. 当当 nk1 时时， 1 k1 1 （k1）1 1 （k1）
8、21 1 （k1）2 1 k1 1 k2 1 k2 1 （k1）2 1 k 1 k1 1 k2 1 k2 1 k21 1 （k1）2 1 k 1 2k1 （k1）2 1 k 1 k2k1 k（k1）2. 因为因为 k2，所以所以 k1 2 2 9 4. 所以所以 k2k1 k1 2 2 5 4 9 4 5 4 1. 所以所以 1 k1 1 （k1）1 1 （k1）2 1. 所以当所以当 nk1 时时，不等式也成立不等式也成立 由由(1)(2)可知可知，对一切的对一切的 n2，n N ，此不等式都成立此不等式都成立 归纳升华归纳升华 用数学归纳法证明不等式：第一步中用数学归纳法证明不等式：第一步
9、中，确定确定 n0的值的值， 弄清弄清 nn0时不等式一侧对应的是哪几项时不等式一侧对应的是哪几项，第二步第二步，即已即已 知知 f(k)g(k)，求证求证 f(k1)g(k1)，这一步证明必须用这一步证明必须用 到到 f(k)g(k)这一假设这一假设，证明时要根据欲证明的证明时要根据欲证明的 nk1 时对应的结论时对应的结论，有目的地进行放缩分析有目的地进行放缩分析 此步证明过程中常用的方法有：比较法、综合法、分此步证明过程中常用的方法有：比较法、综合法、分 析法、放缩法等析法、放缩法等 变式训练变式训练 用数学归纳法用数学归纳法证证明：明：1n 2 1 1 2 1 3 1 2n(n N )
10、 证明：证明：(1)当当 n1 时时，左边左边11 2， ，右边右边11 2， ， 3 2 3 2， ，所以不等式成立所以不等式成立 (2)假设当假设当 nk(k1，k N )时不等式成立时不等式成立， 即即 1k 2 11 2 1 3 1 2k成立 成立， 则当则当 nk1 时时，11 2 1 3 1 2k 1 2k1 1 2k 1 1k 2 1 2k1 1 2k2k 1k 2 1 2k2k 1k 2 2k 1 2k 1 1 k1 2 . 即即 nk1 时时，不等式成立不等式成立 由由(1)(2)可知对所有可知对所有 nN 不等式都成立不等式都成立 类型类型 2 用数学归纳法证明数列不等式用
11、数学归纳法证明数列不等式 典例典例 2 已知数列已知数列an和和bn，其中其中 an135 (2n1)，bn122n 1(n N )，当当 nN 时时，试比较试比较 an与与 bn的大小的大小，并证明你的结论并证明你的结论 解：解：由已知得由已知得 an 1（2n1） 2 (n1)(n1)2， bn 2n1 21 2n1. 当当 n1 时时，a14，b11，则则 a1b1， 当当 n2 时时，a29，b23，则则 a2b2， 当当 n3 时时，a316，b37，则则 a3b3， 当当 n4 时时，a425，b415，则则 a4b4， 当当 n5 时时，a536，b531，则则 a5b5， 当当
12、 n6 时时，a649，b663，则则 a6b6， 当当 n7 时时，a764，b7127，则则 a7b7， 由此得到由此得到，当当 nN ，n5 时时，anbn. 猜想：当猜想：当 nN ，n6 时时，anbn. 前一结论上面已用穷举法证明前一结论上面已用穷举法证明， 后一猜想用数学归纳法证明如下：后一猜想用数学归纳法证明如下： 当当 n6 时时，上面已证上面已证 a6b6， 假设当假设当 nk(kN ，k6)时时，上述结论成立上述结论成立， 即当即当 k6 时时，(k1)22k1. 当当 nk1 时时，要证要证 a k 1 b k 1 ， 即证即证(k2)22k 1 1， 只需证只需证(k
13、2)22 2k1， 根据归纳假设根据归纳假设，2 2k12(k1)211， 所以只需证所以只需证(k2)22(k1)21， 即即 k24k42k24k3， 即即 k21. 因为因为 k6，所以此式显然成立所以此式显然成立 即当即当 nk1 时命题成立时命题成立 由由(1)(2)可知可知，对任何对任何 nN*命题都成立命题都成立 归纳升华归纳升华 用数学归纳法证明数列不等式用数学归纳法证明数列不等式， 这虽然是一个行之有这虽然是一个行之有 效的基本证题效的基本证题方法方法，但运用这种方法证明数列但运用这种方法证明数列不等式时不等式时， 易在推证易在推证 k 到到(k1)的过程中的过程中，断了思路
14、断了思路，这时应分析清这时应分析清 楚不等式两端楚不等式两端(一般是左端一般是左端)项数的变化项数的变化，也就是要认清不也就是要认清不 等式的结构特征等式的结构特征，一定要用上归纳假设一定要用上归纳假设， 然后利用放缩法、分析法等证出当然后利用放缩法、分析法等证出当 nk1 时的结时的结 论 注意中间的证明过程必须有论 注意中间的证明过程必须有， 不能省略也不能含糊不不能省略也不能含糊不 清清，这一步是数学归纳法的精华所在这一步是数学归纳法的精华所在 变式训练变式训练 数列数列an中中， a11， an 11 n an， ， 求证：求证： 当当 n2 时时， nan n1. 证明：证明：(1)
15、当当 n2 时时，a2112，且且 22 2 1，不等式成立不等式成立 (2)假设当假设当 nk(k2)时时，有有 kak k1， 则则 nk1 时时，a k 1 1 k ak 1 k k k1 k11. (分析法证明分析法证明)要证要证 1 k ak k1， 只需证只需证 ak k k11 ， 即即 akk11(由假设可知成立由假设可知成立)， 所以所以k1a k 1 k11. 由由(1)(2)知知，当当 n2 时时， nan n1 成立成立 1用数学归纳法证明含正整数用数学归纳法证明含正整数 n 的不等式时的不等式时(其中其中 n 取无限多个值取无限多个值)，解决问题的前提条件是进解决问题
16、的前提条件是进行合理的试验行合理的试验 和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的 2 前面已学过证明不等式的一系列方法前面已学过证明不等式的一系列方法， 如比较法、如比较法、 综合法、分析法、放缩法、反证法等综合法、分析法、放缩法、反证法等，而本节增加了数而本节增加了数 学归纳法证明不等式学归纳法证明不等式，且主要解决的是无限的问题且主要解决的是无限的问题，因因 而难度更大而难度更大一些但仔细研究一些但仔细研究，数学归纳法关键是由数学归纳法关键是由 n k 到到 nk1 的过渡的过渡， 也是学好用数学归纳法证不等式也是学好用数学归纳法证不等式
17、 的重中之重的问题的重中之重的问题 (1)用数学归纳法证明的关键是用数学归纳法证明的关键是“变项变项”，即在假设即在假设 的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的 方法方法，得出要证明的目标不等式得出要证明的目标不等式，因此以上几因此以上几种方法均种方法均 要灵活地运用要灵活地运用有个别较复杂的问题有个别较复杂的问题，第二个步骤再利第二个步骤再利 用数学归纳法用数学归纳法 (2)利用数学归纳法证明不等式问题时利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设有时要假设 当当 nk 时成立时成立，再证当再证当 nk1 时成立时成立，实质上实质上，这就这就 是第二数学归纳法是第二数学归纳法
