1、【人教【人教A版】高中数学版】高中数学选修选修4-5-1.1.3三个正三个正数的算术数的算术-几何平均不几何平均不等式等式【自主预习】【自主预习】1.1.三个正数的算术三个正数的算术-几何平均不等式几何平均不等式(定理定理3)3)如果如果a,b,cRa,b,cR+,那么那么 _,_,当且仅当当且仅当_时时,等号成立等号成立.3abcabc3a=b=ca=b=c2.2.基本不等式的推广基本不等式的推广对于对于n n个个正数正数a a1 1,a,a2 2,a,an n,它们的算术平均不小于它们它们的算术平均不小于它们的几何平均的几何平均,即即 _ ,_ ,当且当且仅当仅当_时时,等号成立等号成立.
2、12naaann1 2na aaa a1 1=a=a2 2=a=an n【即时小测】【即时小测】1.1.函数函数y=2xy=2x2 2+(xR+(xR+)的最小值为的最小值为()A.6A.6B.7B.7C.8C.8D.9D.9【解析】解析】选选A.A.因为因为xRxR+,所以所以当且仅当当且仅当x=1x=1时等号成立时等号成立.4x22234222 2y2x2x32x6.xxxx x 2.2.若若n0,n0,则则 的最小值为的最小值为()A.2A.2B.4B.4C.6C.6D.8D.8【解析】解析】选选C.C.因为因为 所以所以 当且仅当当且仅当n=4n=4时等号成立时等号成立.232nn22
3、32nn32n,n22n322232nn32nn32n36.n22n22n3.3.若若ab0,ab0,则则a+a+的最小值为的最小值为_._.【解析【解析】因为因为ab0,ab0,所以所以a-b0,a-b0,所以所以 当且仅当当且仅当(a-b)=b=(a-b)=b=时等号成立时等号成立.答案答案:3 31b ab11aabb3b abb ab，1b ab【知识探究】【知识探究】探究点探究点三个正数的算术三个正数的算术-几何平均不等式几何平均不等式1.1.不等式不等式 成立时成立时,a,b,c,a,b,c的范围是什么的范围是什么?提示提示:a0,b0,c0.a0,b0,c0.3abcabc32.
4、2.应用三个正数的算术应用三个正数的算术-几何平均不等式几何平均不等式,求最值应注求最值应注意什么意什么?提示提示:三个正数的和为定值三个正数的和为定值,积有最大值积有最大值;积为定值积为定值,和和有最小值有最小值.求最值时应注意三个条件求最值时应注意三个条件“一正、二定、三一正、二定、三相等相等”同时具备同时具备.【归纳总结】【归纳总结】1.1.定理定理3 3的变形及结论的变形及结论(1)abc .(1)abc .(2)a(2)a3 3+b+b3 3+c+c3 33abc.3abc.(3)(3)上式中上式中a,b,ca,b,c均为正数均为正数,等号成立的条件均为等号成立的条件均为a=b=c.
5、a=b=c.3abc()322233abcabcabc.11133abc2.2.利用定理利用定理3 3可确定代数式或函数的最值可确定代数式或函数的最值(1)(1)若若a,b,cRa,b,cR+,且积且积abcabc为定值为定值s s时时,由由a+b+ca+b+c(定值定值),),当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时时,和和a+b+ca+b+c有最小值有最小值3 .3 .(2)(2)若若a,b,cRa,b,cR+,且和且和a+b+ca+b+c为定值为定值p p时时,由由abcabc(定值定值),),当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时时,积积abcabc有最大值有最大值 p p3 3.33
6、abc3s3abc()3127类型一类型一利用三个正数的算术利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值几何平均不等式求最值【典例】【典例】1.1.求函数求函数y=(1-3x)y=(1-3x)2 2x x 的最大值的最大值.2.2.求函数求函数y=x+(x1)y=x+(x1)的最小值的最小值.1(0 x)3 24x1【解题探究】【解题探究】1.1.典例典例1 1中如何构造式子中如何构造式子,使其和为定值使其和为定值?提示提示:可将式子可将式子(1-3x)(1-3x)2 2xx化为化为 (1-3x)(1-3x)6x(1-3x)(1-3x)6x的形式的形式.2.2.典例典例2 2中如何构造式子中如何构
7、造式子,使其积为定值使其积为定值?提示提示:可将式子可将式子x+x+化为化为 则其积则其积 为常数为常数.1624x12x1x14122x1，2x1x14122x1【解析】【解析】1.1.因为因为0 x ,0 x0,1-3x0,所以所以y=(1-3x)y=(1-3x)2 2x=(1-3x)x=(1-3x)(1-3x)(1-3x)6x6x 当且仅当当且仅当1-3x=1-3x=6x,1-3x=1-3x=6x,即即x=x=时等号成立时等号成立,此时此时y ymaxmax=.=.131631 1 3x1 3x6x4(),6381 194812.2.因为因为x1,x1,所以所以x-10,x-10,当且仅
8、当当且仅当 即即x=3x=3时等号成立时等号成立,即即y yminmin=4.=4.224114yxx 1x 1122x 1x 12114x1x122x1，321143x1x11422x1，【延伸探究】【延伸探究】1.1.若将典例若将典例1 1中的条件变为中的条件变为“y=x(1-xy=x(1-x2 2)(0 x1)”,(0 x0),=-2py(p0),则则B(1,-1),B(1,-1),代入抛物线方程可得代入抛物线方程可得2p=1,2p=1,所以抛物线方程为所以抛物线方程为x x2 2=-y,=-y,因为因为CD=2x,CD=2x,所以所以D(x,-xD(x,-x2 2),),所以梯形的高为
9、所以梯形的高为1-x1-x2 2,梯形的面积为梯形的面积为S=(x+1)(1-xS=(x+1)(1-x2 2),),x(0,1),x(0,1),S=(x+1)(1-xS=(x+1)(1-x2 2)=(x+1)=(x+1)2 2(2-2x)(2-2x)当且仅当当且仅当x+1=2-2x,x+1=2-2x,即即x=x=时时,S,S的最大值是的最大值是 .答案答案:1231x1x122x32(),2327 13322732272.2.已知已知x0,x0,求求y=+3xy=+3x的最小值的最小值.【解析】【解析】因为因为x0,x0,所以所以y=y=当且仅当当且仅当 即即x=2x=2时等号成立时等号成立.
10、故故y=+3xy=+3x的最小值为的最小值为9.9.212x2212123x3x3xxx223212 3x 3x39x22，2123xx2，212x类型二类型二利用三个正数的算术利用三个正数的算术-几何平均不等式证明几何平均不等式证明不等式不等式【典例】【典例】设设a,b,ca,b,c为正实数为正实数,求证求证:a:a3 3+b+b3 3+c+c3 3+【解题探究】【解题探究】典例可分几次使用不等式典例可分几次使用不等式?提示提示:分两次使用不等式分两次使用不等式.12 3.abc【证明】【证明】因为因为a,b,ca,b,c为正实数为正实数,所以所以a a3 3+b+b3 3+c+c3 3=3
11、abc0,=3abc0,当且仅当当且仅当a=b=ca=b=c时时,等号成立等号成立.又又3abc+3abc+当且仅当当且仅当3abc=3abc=时时,等号成立等号成立.所以所以a a3 3+b+b3 3+c+c3 3+33333 a b c12 3abc，1abc12 3abc.【方法技巧】【方法技巧】证明不等式的方法证明不等式的方法(1)(1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件,看是否满足看是否满足“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”的条件的条件.若满足即若满足即可利用平均不等式证明可利用平均不等式证明.(2)(2)若题目不满足该条件若题
12、目不满足该条件,则可灵活利用已知条件构造则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子出能利用三个正数的基本不等式的式子.【变式训练】【变式训练】1.1.已知已知x,yx,y均为正数均为正数,且且xy,xy,求证求证:2x+2y+3.2x+2y+3.221x2xyy【证明】【证明】因为因为x0,y0,x-y0,x0,y0,x-y0,所以所以2x+-2y=2(x-y)+2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+=(x-y)+(x-y)+等号成立的条件是等号成立的条件是 =x-y,=x-y,即即x-y=1.x-y=1.所以所以2x+2y+3.2x+2y+3.221x2xyy
13、21xy2322113xy3xyxy，21xy221x2xyy2.(20162.(2016哈尔滨高二检测哈尔滨高二检测)已知实数已知实数a,b,c,da,b,c,d满足满足abcd,abcd,求证求证:1119.abbccdad【证明】【证明】因为因为abcd,abcd,所以所以a-b0,b-c0,a-b0,b-c0,c-d0,a-d0,c-d0,a-d0,所以所以 =(a-b)+(b-c)+(c-d)=(a-b)+(b-c)+(c-d)当且仅当当且仅当a-b=b-c=c-da-b=b-c=c-d时取等号时取等号,即即 111()adabbccd33abbccd9,1119.abbccdad3
14、1113ab bc cd111()abbccd【补偿训练】【补偿训练】设设a,b,cRa,b,cR+,求证求证:【证明】【证明】因为因为 当且仅当当且仅当c=c=时取等号时取等号,所以原不等式成立所以原不等式成立.3abc3 abcab2 ab.3abc3 abcab2 ab 333333c2 ab3 abccabab3 abc3 cabab3 abc3 abc3 abc0，ab拓展类型拓展类型平均不等式在解应用题中的应用平均不等式在解应用题中的应用【典例】【典例】如图所示如图所示,在一张半径是在一张半径是2 2米的米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道大家知道,灯
15、挂得太高了灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小桌子边缘处的亮度就小;挂得太低挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学知道由物理学知道,桌子边缘一点处的照亮度桌子边缘一点处的照亮度E E和电灯射到和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角桌子边缘的光线与桌子的夹角的正弦成正比的正弦成正比,而和这而和这一点到光源的距离一点到光源的距离r r的平方成反比的平方成反比.即即E=k .E=k .这里这里k k是一个和灯光强度有关的常数是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎那么究竟应该怎样选择灯的高度样选择灯的高度h,h,才能使桌子边缘处最亮才能使桌子边缘处最亮?2sinr【解析】
16、【解析】因为因为r=,r=,所以所以E=E=所以所以E E2 2=sinsin2 2coscos4 4=(2sin(2sin2 2)coscos2 2coscos2 22cos2sin cos(0),42 2k162k32222223k2sincoscosk(),323108当且仅当当且仅当2sin2sin2 2=cos=cos2 2时取等号时取等号,即即tantan2 2=,tan=,=,tan=,所以所以h=2tan=,h=2tan=,即即h=h=米时米时,E,E最大最大,此时桌子边缘此时桌子边缘处最亮处最亮.故当灯的高度为故当灯的高度为 米时米时,才能使桌子边缘处最才能使桌子边缘处最亮亮
17、.1222222【方法技巧】【方法技巧】用不等式解决应用问题的方法用不等式解决应用问题的方法解应用问题的关键是读懂题意解应用问题的关键是读懂题意,建立适当的函数关系式建立适当的函数关系式,把所求问题转化为求函数的最值问题把所求问题转化为求函数的最值问题,并将函数式配凑并将函数式配凑成可以利用平均不等式的形式成可以利用平均不等式的形式.【变式训练】【变式训练】1.1.设三角形三边长为设三角形三边长为3,4,5,P3,4,5,P是三角形内是三角形内的一点的一点,则则P P到这个三角形三边距离乘积的最大值是到这个三角形三边距离乘积的最大值是_._.【解析】【解析】设设P P到长度为到长度为3,4,5
18、3,4,5的三角形三边的距离分别的三角形三边的距离分别是是x,y,z,x,y,z,三角形的面积为三角形的面积为S.S.则则S=(3x+4y+5z),S=(3x+4y+5z),又因为又因为3 32 2+4+42 2=5=52 2,所以这个三角形为直角三角形所以这个三角形为直角三角形,其面积其面积S=S=3 34=6,4=6,所以所以3x+4y+5z=23x+4y+5z=26=12,6=12,1212所以所以 3x+4y+5z=12,3x+4y+5z=12,所以所以(xyz)(xyz)maxmax=.=.当且仅当当且仅当3x=4y=5z,3x=4y=5z,即即x=,y=1,z=x=,y=1,z=时
19、等号成立时等号成立.答案答案:33 3x 4y 5z1615434516152.2.某商场销售某种商品的经验表明某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售该商品每日的销售量量y(y(单位单位:千克千克)与销售价格与销售价格x(x(单位单位:元元/千克千克)满足关系满足关系式式y=+10(x-6)y=+10(x-6)2 2,其中其中3x6,a3x6,a为常数为常数,已知销售价已知销售价格为格为5 5元元/千克时千克时,每日可售出该商品每日可售出该商品1111千克千克.ax3(1)(1)求求a a的值的值.(2)(2)若该商品的成本为若该商品的成本为3 3元元/千克千克,试确定销售价格试确定销
20、售价格x x的值的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】【解析】(1)(1)因为因为x=5x=5时时,y=11,y=11,所以所以 +10=11,+10=11,所以所以a=2.a=2.(2)(2)由由(1)(1)可知可知,该商品每日的销售量该商品每日的销售量y=+10(x-6)y=+10(x-6)2 2,所以商场每日销售该商品所获得的利润所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)2 2,3x6,f(x)=2+5(2x-6)(x-6)3x6,f(x)=2+5
21、(2x-6)(x-6)2 2 2+5 =42.2+5 =42.a22x32210 x6x332x66x6x()3当且仅当当且仅当2x-6=6-x,2x-6=6-x,即即x=4x=4时等号成立时等号成立.当当x=4x=4时时,f(x),f(x)取最大值取最大值,且最大值等于且最大值等于42.42.答答:当销售价格为当销售价格为4 4元元/千克时千克时,商场每日销售该商品所商场每日销售该商品所获得的利润最大获得的利润最大.自我纠错自我纠错三个正数的算术三个正数的算术-几何平均不等式在求最值几何平均不等式在求最值中的应用中的应用【典例】【典例】已知已知0 x1,0 x1,求求y=xy=x4 4(1-
22、x(1-x2 2)的最大值的最大值.【失误案例】【失误案例】分析解题过程分析解题过程,找出错误之处找出错误之处,并写出正确答案并写出正确答案.提示提示:错误的根本原因是错误理解了应用三个正数的算错误的根本原因是错误理解了应用三个正数的算术术-几何平均不等式求最值的条件和原则几何平均不等式求最值的条件和原则,忽视了等号忽视了等号成立的条件成立的条件.正确解答过程如下正确解答过程如下:【解析】【解析】y=xy=x4 4(1-x(1-x2 2)=x)=x2 2x x2 2(2-2x(2-2x2 2)当且仅当当且仅当x x2 2=2-2x=2-2x2 2,即即x=x=时时,y=x,y=x4 4(1-x(1-x2 2)取得最取得最大值大值 1222233xx22x1124()().232327634.27
