1、 1 北京市昌平区 2018届高三数学上学期第一次月考试题 时间： 120分钟 满分： 150分 第 I卷选择题 一、 选择题 （本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|x 1， B=x|3x 1，则（ ） A A B=x|x 0 B A B=R C A B=x|x 1 D A B=? 2设 m， n 为非零向量，则 “ 存在负数 ，使得 m= n” 是 m? n 0” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3设函数 f（ x） = ，若 f（ f（ ） =4
2、，则 b=（ ） A 1 B CD 4下列函数中，在区间（ 0， + ）上为增函数的是（ ） A y= B y=（ x 1） 2 C y=2 x D y=log0.5（ x+1） 5函数 f（ x） =lnx的图象与函数 g（ x） =x2 4x+4的图象的交点个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 6设 f（ x） =x sinx，则 f（ x）（ ） A既是奇函数又是减函数 B既是奇函数又是增函数 C是有零点的减函数 D是没有零点的奇函数 7设 f（ x） =sinx+cosx，那么（ ） A f （ x） =cosx sinx B f （ x） =cosx+sinx C f （ x
3、） = cosx+sinx D f （ x） = cosx sinx 8函数 f（ x） =x3+4x+5的图象在 x=1处的切线在 x轴上的截距为（ ） A 10 B 5 C 1 D 9已知等差数列 an满足 a2+a4=4， a3+a5=10，则它的前 10项的和 S10=（ ） A 138 B 135 C 95 D 23 10若 cos（ ） = ，则 sin2= （ ） 2 A B C D 11已知向量 m=（ +1， 1）， n=（ +2， 2），若（ m+n） （ m-n），则 = （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 12设函数，则 f（ x） =sin（ 2x+ ） +cos
4、（ 2x+ ），则（ ） A y=f（ x）在（ 0， ）单调递增，其图象关于直线 x= 对称 B y=f（ x）在（ 0， ）单调递增，其图象关于直线 x= 对称 C y=f（ x）在（ 0， ）单调递减，其图象关于直线 x= 对称 D y=f（ x）在（ 0， ）单调递减，其图象关于直线 x= 对称 第 II卷 非选择题 二、 填空题 （本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分） 13已知 4a=2， lgx=a，则 x= 14曲线 y=x2与 y=x所围成的封闭图形的面积为 15设等比数列 an满足 a1+a3=10， a2+a4=5，则 a1? a2? ? an的最大值为 16命题
5、 “ 存在 x R，使得 x2+2x+5=0” 的否定是 三解答题 （ 17题 10 分， 18-22题每题 12分，共 70分） 17记关于 x的不等式 的解集为 P，不等式 |x 1| 1的解集为 Q （ 1）若 a=3，求 P； （ 2）若 Q?P，求正数 a的取值范围 18.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数 ， 且 f(0) 0， 当 x0 时 ， f(x) log12x. (1)求函数 f(x)的解析式； 3 (2)解不等式 f(x2 1) 2. 19在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 =（ ， ）， =（ sinx， cosx）， x （ 0， ） （ 1）若 m n
6、，求 tanx的值； （ 2）若 m 与 n的夹角为 ，求 x 的值 20已知 ， ， ， （ 0， ） （ 1）求 tan（ + ）的值； （ 2）求函数 的最大值 21已知 an是等差数列， bn是等比数列，且 b2=3， b3=9， a1=b1， a14=b4 （ 1）求 an的通项公式； （ 2）设 cn=an+bn，求数列 cn的前 n项和 22已知 f（ x） =xlnx ax， g（ x） = x2 2 4 （ 1）当 a= 1时，求 f（ x）的单调区间； （ 2）对一切 x （ 0， + ）， f（ x） g（ x）恒成立，求实数 a的取值范围； （ 3）证明：对一切 x （
7、 0， + ），都有 成立 5 高三数学参考答案 一、 选择题（每题 5分，共 60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A D A C B A D C D B D 二、 填空题（每题 5分，共 20分） 13. 14. 15.64 16.对任意 x R，都有 x2+2x+5 0 三、 解答 题 （ 17 题 10 分， 18-22题每题 12 分，共 70分） 17.解：（ I）由 ，得 P=x| 1 x 3 （ II） Q=x|x 1| 1=x|0 x 2 由 a 0，得 P=x| 1 x a，又 Q?P，结合图形 所以 a 2，即 a的取值范围是（
8、2， + ） 18.解 (1)当 x0， 则 f( x) log12( x). 因为函数 f(x)是偶函数 ， 所以 f( x) f(x) log12( x)， 所以函数 f(x)的解析式为 f(x)?log12x， x0，0， x 0，log12（ x） ， x 2转化为 f(|x2 1|)f(4). 又因为函数 f(x)在 (0， ) 上是减函数 ， 所以 |x2 1|4， 解得 5x 5， 即不等式的解集为 ( 5， 5). 19.解：（ 1）若 m n， 6 则 m?n=（ ， ） ?（ sinx， cosx） = sinx cosx=0， 即 sinx= cosx sinx=cosx
9、，即 tanx=1； （ 2） |m|= ， |n|= =1， ? =（ ，） ?（ sinx， cosx） = sinx cosx， 若 m与 n 的夹角为 ， 则 m?n=|m|?|n|cos = ， 即 sinx cosx= ， 则 sin（ x ） = ， x （ 0， ） x （ ， ） 则 x = 即 x= + = 20.解：（ 1）由 ， （ 0， ）得 ，所以 tan=2 ， 于是 tan（ + ） = （ 2）因为 所以=故 f（ x）的最大值为 21.解：（ 1）设 an是公差为 d的等差数列， bn是公比为 q的等比数列， 7 由 b2=3， b3=9，可得 q= =3，
10、 bn=b2qn 2=3?3n 2=3n 1； 即有 a1=b1=1， a14=b4=27，则 d= =2， 则 an=a1+（ n 1） d=1+2（ n 1） =2n 1； （ 2） cn=an+bn=2n 1+3n 1， 则数列 cn的前 n 项和为 （ 1+3+? +（ 2n 1） +（ 1+3+9+? +3n 1） = n?2n+ =n2+ 22.解：（ 1）函数的定义域是（ 0， + ） 当 a= 1时， f （ x） =lnx+2 令 f （ x） =lnx+2 0，得 令 f （ x） =lnx+2 0，得 函数的单调递增区间是 函数的单调递减区间是 （ 2） 对一切 x （
11、0， + ）， f（ x） g（ x）恒成立， 对一切 x （ 0， + ）， xlnx ax x2 2恒成立 即对一切 x （ 0， + ）， 恒成立 令 当 0 x 1时， F （ x） 0，函数递减，当 x 1时， F （ x） 0，函数递增 F（ x）在 x=1处取极小值，也是最小值，即 Fmin（ x） =F（ 1） =3 a 3 （ 3）证明：对一切 x （ 0， + ），都 有 成立 等价于证明：对一切 x （ 0， + ），都有 成立 由（ 1）知，当 a= 1时 f（ x） =xlnx+x， 令 ， 8 当 x （ 0， 1）时， G （ x） 0，函数 G（ x）递增，当 x （ 1， + ）时， G （ x） 0，函数 G（ x）递减 f（ x） min G（ x） max 当 x=1时，函数 G（ x）取到极大值，也是最大值 f（ x） min G（ x） max 对一切 x （ 0， + ），都有 成立
