1、 - 1 - 2017-2018 学年第一学期高四第 3 次月考数学试卷 一、单选题 1 定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集，记为 P(A)，用 n(A)表示有限集 A 的元素个数，给出下列命题：对于任意集合 A，都有 A?P(A)；存在集合 A，使得nP(A)=3；用 表示空集，若 A B=，则 P(A) P(B)=；若 A B,，则 P(A) P(B)；若 n(A)-n(B)=1，则 nP(A)=2 nP(B)其中正确的命题个数为（ ）。 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2 对任意的 0x? ，总有 ? ? lg 0f x a x x? ? ? ?，则 a
2、的取值范围是（ ） A. ? ? lg lg lgee? ? ?， B. ? ?1?， C. ? ?1 lg lg lgee?， D. ? ?lg lg lgee? ? ?， 3 函数 ?fx与它的导函数 ?fx? 的图象如图所示，则函数 ? ? ? ?exfxgx?的单调递减区间为（ ） A. ? ?0,4 B. ? ?,1? ， 4,43?C. 40,3?D. ? ?0,1 ， ? ?4,? 4 已知椭圆 ，点 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点 ，使,则离心率 的取值范围为 A. B. - 2 - C. D. 5 已知双曲线 与抛物线 的交点为点 ，且直线 过双曲线与抛物线的公共焦点，则
3、双曲线的实轴长为 A. B. C. D. 6 已知 e 为自然对数的底数，若对任意的 1,1xe?，总存在唯一的 ? ?1,1y? ，使得2ln 1 yx x a y e? ? ? ?成立，则实数 a 的取值范围是 A. 2,e?B. 21,eee?C. 1,ee?D. 2,ee? ?7 若函数 y=f(x)(x R)满足 f(x+2)=f(x),且 x (-1,1时 f(x)=1-x2,函数 ,则函数 在区间 -5， 10内零点的个数为 A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 8 已知 ,AB是球 O 的球面上两点， 60AOB? ? ? ， C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC
4、? 体积的最大值为 183 ，则球 O 的体积为（ ） A. 81? B. 128? C. 144? D. 288? 9 已知函数 ? ? 2f x x bx c? ? ?的两个零点 12,xx满足 123xx?，集合 ? ? ?0A m f m?，则（ ） A. ? m A，都有 f(m 3)0 B. ? m A，都有 f(m 3)f(3)； ? x0 (1,+ ),f(x0)=-1/3； f(x)的极大值点为 x=1； ? x1,x2 (0,+ ),|f(x1)-f(x2)| 1 其中正确的有 _（写出所有正确命题的序号） 16 对任意实数 12,xx， min( 12,xx)表示 12,
5、xx 中较小的那个数，若 ? ? ? ?22,f x x g x x? ? ?，则 ? ? ? ? ?min ,f x g x的最大值是 _ 三、解答题 17 已知函数 ? ? ? ? ? ?1l n , af x x a x g x a Rx? ? ? ? ?. 若 1a? ，求函数 ?fx的极值； - 4 - 设函数 ? ? ? ? ? ?h x f x g x?，求函数 ?hx的单调区间； 若在区间 ? ? ?1, 2 .7 1 8 2 8ee?上 不存在 0x ，使得 ? ? ? ?00f x g x? 成立，求实数 a 的取值范围 . 18 已知函数 ? ?2mxfx xn? ?(m
6、,n R)在 x=1处取得极值 2. (1)求 f(x)的解析式； (2)k为何值时，方程 f(x)-k=0只有 1个根 (3)设函数 g(x)=x2-2ax+a，若对于任意 x1 R，总存在 x2 -1,0，使得 g(x2) f(x1)，求 a的取值范围 19 如图，已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点，且椭圆 过点 ，若直线与直线 平行且与椭圆 相交于点 ( ) 求椭圆 的标准方程； ( ) 求三角形 面积的最大值 . - 5 - 参考答案 BADAD DBDAD 11 B 12 D 13 2 14 ? ?1, 1,3? ? ?1,12?15 16 1 17 （ 1）极小值为 ?11f ? ；
7、（ 2）见解析（ 3） 2 12 1ea e ? ? ? ? （ I）当 1a? 时， ? ? ? ? 1l n 0 1xf x x x f x xx? ? ? ? ? ? ?，列极值分布表 ? ?fx? 在（ 0,1）上递减，在 1?（ ， ） 上递增， ?fx的极小值为 ?11f ? ； （ II） ? ? 1ln ah x x a x x? ? ? ? ? ? ? ? ?211 x x ahx x? ? ? 当 1a? 时， ? ? ? ? 0,h x h x? 在 0?（ ， ） 上递增； 当 1a? 时， ? ? 0 1h x x a? ? ? ?， ?hx在 0,1 a?（ ） 上
8、递减，在 ? ?1,a? ? 上递增； （ III）先解区间 ? ?1,e 上存在一点 0x ,使得 ? ? ? ?00f x g x? 成立 ? ? ? ? ? ? 0h x f x g x? ? ? ?在 ? ?1,e 上有解 ? 当 ? ?1,xe? 时， ? ?min 0hx ? 由（ II）知 当 1a? 时， ?hx在 ? ?1,e 上递增， ? ?m i n 1 2 0 2h h a a? ? ? ? ? ? ? ? 2a? 当 1a? 时， ?hx在 0,1 a?（ ） 上 递减，在 ? ?1,a? ? 上递增 当 10a? ? ? 时， ?hx在 ? ?1,e 上递增， ?
9、?m i n 1 2 0 2h h a a? ? ? ? ? ? ? ? a? 无解 当 1ae?时， ?hx在 ? ?1,e 上递减 - 6 - ? ? 2m i n 110 1aeh h e e a aee? ? ? ? ? ? ?， 2 11ea e? ? ； 当 01ae? ? ? 时， ?hx在 ? ?1,1 a? 上递减，在 ? ?1,ae? 上递增 ? ? ? ?m i n 1 2 l n 1h h a a a a? ? ? ? ? ? ? 令 ? ? ? ? ? ?2 l n 1 2 1 l n 1a a aF a aaa? ? ? ? ? ? ?，则 ? ?22101Fa a
10、a? ? ? ? ?Fa? 在 ? ?0, 1e? 递减， ? ? ? ? 2101F a F e e? ? ? ? ?， ? ? 0Fa?无解， 即 ? ?m in 2 ln 1 0h a a a? ? ? ? ?无解； 综上：存在一点 0x ,使得 ? ? ? ?00f x g x? 成立，实数 a 的取值范围为 ： 2a? 或 2 11ea e? ? . 所以不存在一点 0x ，使得 ? ? ? ?00f x g x? 成立，实数 a 的取值范围为 . 18 （ 1） ? ?24 1xfx x? ?；（ 2） k= 2? 或 0；（ 3） 1a? . （ 1）因为 ? ?2mxfx xn
11、? ?，所以 . 又 f(x)在 1x? 处取得极值 2，所以 ? ? ?f 1 0 f 1 2?，即? ? ?21 01 21mnnmn? ?解得 14nm?， ， 经检验满足题意，所以 ? ?24 1xfx x? ?. （ 2） ? ? ? ? ? ?224 1 11xxfxx? ? ?，令 0fx?（ ） ，得 11xx? ?或 . 当 x 变化时， f x f x（ ） ， （ ） 的变化情况如下表： 所以 f(x)在 1x? 处取得极小值 12f ? ?（ ） ，在 1x? 处取得极大值 12f ?（ ） ， 又 0x? 时， 0fx?（ ） ，所以 fx（ ） 的最小值为 12f
12、? ?（ ） ， - 7 - , 0 , , 0x y x y? ? ? ? ? ? ? ?如图 所以 k= 2? 或 0时，方程有一个根 . (也可直接用方程来判断根的情况解决 ) （ 3）由（ 2）得 fx（ ） 的最小值为 12f ? ?（ ） ， 因为对任意的 1xR? ，总存在 ? ?2 1,0x ? ，使得 ? ? ? ?21g x f x? ， 所以当 ? ?1,0x? 时， ? ? 2 22g x x ax a? ? ? ? ?有解， 即 ? ? 22 1 2x a x? ? ?在 ? ?1,0? 上有解 . 令 21xt? ，则 22 214ttx ? ，所以 ? ?2 29 , 3 , 14ttat t? ? ? ?. 所以当 ? ?3, 1t? ? 时， ? ?1 9 1 1 9214 2 4a t ttt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； a? 的取值范围为 1a? . 19 (1) (2)2 () 由已知有 ， 椭圆 的标准方程为 . () ,设直线方程为 代入 得： - 8 - 当 ，即 时，设 ，则： , （当 且仅当 时，取等号） 的最大值为 .
