1、 - 1 - 2017-2018 学年第一学期高三第 3 次月考数学试卷 一、单选题 1 已知函数 ? ? xF x e? 满足： ? ? ? ? ? ?F x g x h x?，且 ?gx， ?hx分别是 R 上的偶函数和奇函数，若 ? ?02x?， 使得不等式 ? ? ? ?20g x ah x?恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A. ? 2? ?， B. ? 22? ?， C. ?02?， D. ? ?22?， 2 已知函数 ? ? ? ?20 6 4 0lg x xfxx x x? ? ?，若关于 x 的方程 ? ? ? ?2 10f x bf x? ? ?有 8 个不同根，则实
2、数 b 的取值范围是（ ） A. 1724? ?，B. ? ?17224? ? ? ?， ，C. ? ?28， D. ? ? ? ?22? ? ? ? ?， ， 3 已知函数 ? ? 3 1, 0 1 2 1, 1xxxfx x? ? ? ?，设 0ba?，若 ? ? ? ?f a f b? ，则 ? ?a f b? 的取 值范围是（ ） A. 1 ,12? ?B. 11,12 3?C. 2,23?D. 2,23?4 抛物线 ? ?2 20y px p?的焦点为 F，准线为 l ， A、 B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB ?. 设线段 AB 的中点 M在 l 上的投影为 N，则 MNA
3、B 的最大值是（ ） A. 2 B. 83 C. 4 D. 256 5 将正整数排成下表 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ? 则在表中数字 2017出现在（ ） - 2 - A. 第 44行第 80 列 B. 第 45行第 80列 C. 第 44行第 81 列 D. 第 45行第 81列 6 已知函数 ? ? ? ?sinf x A x?（ A ， ? ， ? 均为正的常数）的最小正周期为 ，当23x? 时，函数 ?fx取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A. ? ? ? ? ? ?2 2 0f f f? ? ? B. ? ? ? ? ? ?
4、0 2 2f f f? ? ? C. ? ? ? ? ? ?2 0 2f f f? ? ? D. ? ? ? ? ? ?2 0 2f f f? ? ? 7 若一系列函数 的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数” ，那么函数解析式为 f（ x） =x2+1，值域为 5， 10的“孪生函数”共有（ ） A. 4个 B. 8个 C. 9个 D. 12个 8 已知 ? ? 3 201725xfx x? ?，函数 ?gx对任意 xR? 有 ? ? ? ?2 0 1 8 2 3 2 2 0 1 3g x g x? ? ? ?成立， ? ?y f x? 与 ? ?y g x? 的图象
5、有 m 个交点为 ? ?11,xy ， ? ?22,xy ? ， ? ?,mmxy ，则? ?1m iii xy? ? （ ） A. 2013m B. 2015m C. 2017m D. 4m 9 已知 F 为抛物线 2 12yx? 的焦点，过 F 作两条夹角为 045 的直线 12,ll， 1l 交抛物线于,AB两点， 2l 交抛物线于 ,CD两点，则 11AB CD? 的最大值为（ ） A. 124? B. 122? C. 12? D. 22? 10 设 定 义 域 为 R 的函数 ? ? 125 1 , 0 4 4 , 0x xfx x x x? ? ? ? ?， 若 关 于 x 的方程
6、? ? ? ? ? ?222 1 0f x m f x m? ? ? ?有 7个不同的实数解，则 m? （ ） A. 6m? B. 2m? C. 6m? 或 2 D. 6m? 11 已知定义在 R的函数 ?fx是偶函数，且满足 ? ? ? ? ? ?2 2 0 2f x f x? ? ? ， 在 ，上的解析式为 ? ? 21 , 0 1 1,1 2xxfx xx? ? ? ? ? ?，过点 ? ?3,0? 作斜率为 k 的直线 l，若直线 l 与函数 ?fx的图象至少有 4个公共点，则实数 k的取值范围是 - 3 - A. 11,33?B. 1 ,6 4 23?C. 1 ,6 4 23?D.
7、16 4 2,3?12 已 知 函 数 ? ? 2 sin4f x x?， 若 存 在 1x ， 2x ，?， nx 满足12 15 44nx x x? ? ? ? ? ?，且? ?1 2 2 3 182nnf x f x f x f x f x f x? ? ? ? ? ? ?（ 2n? ， *Nn? ），则 n的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题 13 已知函数 ?fx是定义在 R 上的奇函数，当 0x? 时， ? ? 2 2 21 ( 2 32f x x a x a a? ? ? ? ?，若 xR? ， ? ? ? ?1f x f x? ，则实数 a 的取
8、值范围为 _ ,ml ,? l ? l ? /l ? l ? ,ml?lm? ? ,ll? ,ml?/?/ml 15 如图 15， 在三棱锥 O ABC? 中，三条棱 OA、 OB 、 OC 两两互相垂直，且 OA OB OC ， M 是 AB 边的中点，则 OM 与平面 ABC 所成的角的余弦值 _. 16 设函数 ? ?y f x? 的定义域为 D ，若对于任意 1x ， 2xD? ，当 122x x a? 时，恒有? ? ? ?12 2f x f x b?，则称点 ? ?,ab 为函数 ? ?y f x? 图象的对称中心，研究函数- 4 - ? ? 3 sin 1f x x x? ? ?
9、的图象的某一个对称点，并利用对称中心的上述定义，可得到? ? ? ? ? ?991 0 11 0 1 0f f f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?_ 三、解答题 17 在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 11, 2 ,A B A D A A M? ? ?为棱 1DD 上的一点 . （ 1）求三棱锥 1A MCC? 的体积； （ 2）当 1AM MC? 取得最小值时，求证： 1BM? 平面 MAC ； 18 已知函数 ? ? 2ln 2af x x x x?，直线 l ： ? ?21y k x k? ? ? ?，且 kZ? （
10、1）若 20 ,x e e?，使得 ? ?0 0fx? 成立，求实数 a 的取值范围； （ 2）设 0a? ，当 1x? 时，函数 ?fx的图象恒在直线 l 的上方，求 k 的最大值 19 已知椭圆 22154xy?，过右焦点 2F 的直线 l 交椭圆于 M ， N 两点 （ 1）若 3OM ON? ? ，求直线 l 的方程； （ 2）若 直线 l 的斜率存在，在线段 2OF 上是否存在点 ? ?,0Pa ，使得 PM PN? ，若存在，求出 a 的范围，若不存在，请说明理由 - 5 - 参考答案 BACDD ACDDB 11 C 12 D 13 6666?，14 15 33 16 21 17
11、 （ 1） 13 ；（ 2）证明见解析 . （ 1）由长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 知 ， AD? 平面 11,ADDC? 点 A 到平面 11CDDC 的距离等于 1AD? ， 又1 111 2 1 122M C CS C C C D? ? ? ? ? ? ?， 111133A M C C M C CV A D S? ? ? ?. (2)将侧面 11CDDC 绕 1DD 逆时针转 90 展开与侧面 11ADDA 共面，当 1,AMC 共线时， 1AM MC? 取得最小值 .由 11, 2AD CD AA? ? ?,得 M 为 1DD 的中点，连接 1CM在 1CMC? 中
12、， 221 1 12 , 2 , 2 ,C M M C C C C C M C? ? ? ? ?， 得 1 90CMC?， 即1CM CM? ， 又 11BC? 平面 11CDDC ， 11BC CM?又 1 1 1 1 ,B C C M C C M? ? ? ?平面11BCM ， 1CM BM? ， 同理可证 ， 1BM AM? ， 又 1,A M M C M B M? ? ? ?平面MAC . 18（ 1） 2,e?；（ 2） k 的最大值为 4 . - 6 - （ 1）由题意可得 2 ln2ax x x? ，即 2lnxa x? ， 令 ? ? 2lnxhx x? ， 2,x ee?，
13、? ?22 2ln xhx x?， 令 ? ?0hx? ，解得 0 xe?， ?hx在 2,x ee?上递减， 当 xe? 时， ? ?max 2hx e?， 2a e? ，即 a 的取值范围是 2,e? （ 2）由题意可知 ? ?ln 2 1x x x k k? ? ? ?在 ? ?1,x? ? 上恒成立，即 ln 2 11x x xk x? ? ， 令 ? ? ln 2 1 ( 1 )1x x xh x xx? ， ? ? ?2ln 2 1xxhx x? ?， 令 ? ? ln 2 ( 1)x x x x? ? ? ? ?， ? ? 11 1 0xx xx? ? ? ? ?， ?x? 在
14、? ?1,x? ? 上递增，又 ? ?3 1 ln3 0? ? ? ?， ? ?4 2 ln 4 0? ? ? ?， 存在唯一实数 ? ?0 3,4x ? ，使得 ? ?0 0x? ? ，即 00ln 2 0xx? ? ? ，（ *） ?hx在 ? ?01,xx? 上递减，在 ? ?0,xx? ? 上递增， ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 00 0 000m i n 00 2 2 1l n 2 1 1 4 , 511 x x xx x xh x h x xxx ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?mink h x? ，又 kZ? ， k 的最大值为 4 19（ 1） ? ?21yx?
15、或 ? ?21yx? ? ；（ 2） 10,5a ? ?. （ 1）当直线 l 的斜率不存在时， 451,5M?， 451,5N?，不符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设 ? ?11,M x y ， ? ?22,N x y ， 直线 l 的方程为 ? ?1y k x?， - 7 - 又椭圆的方程为 22154xy?， 由可得 ? ?2 2 2 25 4 1 0 5 2 0 0k x k x k? ? ? ? ?，（ *） 212 21054kxx k? ?， 212 25 2054kxx k ? ?， ? ? 221 2 1 2 1 2 2161 54ky y k x x x x k? ?
16、 ? ? ? ?， 21 2 1 2 21 1 2 0 354kO M O N x x y y k? ? ? ? ? ?，解得 2 2k? ， 2k? ，即直线 l 的方程为 ? ?21yx?或 ? ?21yx? ? （ 2）由（ 1）可知 ? ?1 2 1 2 282 54ky y k x x k k? ? ? ? ? ?， 设 MN 的中点为 1 2 1 2,22x x y yQ ?，即 22254,5 4 5 4kkQ?， 假设存在点 ? ?,0Pa ，使得 PM PN? ，则 1PQ MNkk? ? ， 解得 2221 454 5kak k? ?， 当 0k? 时， M ， N 为椭圆长轴的两个端点，则点 P 与原点重合， 当 0k? 时， 10,5a ?， 综上所述，存在点 P 且 10,5a ? ?
