1、2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义【知识提炼知识提炼】1.1.向量的加法向量的加法(1)(1)定义：定义：_的运算的运算.(2)(2)法则：法则：_和和_._.(3)(3)规定：对于零向量与任意向量规定：对于零向量与任意向量a，规定，规定a+0=0+a=a.2.2.向量加法的运算律向量加法的运算律(1)(1)交换律：交换律：a+b=b+a.(2)(2)结合律：结合律：(a+b)+)+c=a+(+(b+c).).求两个向量和三角形法则平行四边形法则【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题.(1)(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？两个向量相加结果可能是一个
2、数量吗？提示：提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果是向量是向量.(2)(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？提示：提示：这种说法是不正确的这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相向量既有大小又有方向，在进行向量相加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.2.2.对任意四边形对任意四边形ABCDABCD，下列式子中不等于，下列式子中不等于 的是的是()()【解析解析】选选C.AC.A中，中，B
3、B中，中，C C中，中，D D中，中，BC A.BAACB.BDDAACC.ABBDDCD.DCBAAD BAACBC BDDAACBAACBC ABBDDCADDCAC DCBAADBAADDCBC.3.3.如图，在正六边形如图，在正六边形ABCDEFABCDEF中中 =_.=_.【解析解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到答案：答案：BACDEF BACDEFBAAFEFBFCBCF.CF【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 向量的加法向量的加法观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：问题问题1 1：三角形法则和平行
4、四边形法则的使用条件有何不同？：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？问题问题2 2：共线向量怎样进行求和？：共线向量怎样进行求和？问题问题3 3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？【总结提升总结提升】1.1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明(1)(1)两个法则的使用条件不同两个法则的使用条件不同.三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和两个不共线的向量求和.(2)(2)当两个
5、向量不共线时，两个法则是一致的当两个向量不共线时，两个法则是一致的.(3)(3)在使用三角形法则时要注意在使用三角形法则时要注意“首尾相连首尾相连”，在使用平行四边形法，在使用平行四边形法则时需要注意两个向量的起点相同则时需要注意两个向量的起点相同.2.2.向量求和的多边形法则向量求和的多边形法则(1)(1)已知已知n n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这的终点的向量即为这n n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则个向量的和，这称为向量求和的多边形法则.即即(2)(2)首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一
6、个封闭图形，则它们的首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为和为0.0.011223n 2n 1n 1n0nA AA AA A.AAAAA A 知识点知识点2 2 向量加法的运算律向量加法的运算律观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题：问题问题1 1：向量加法的交换律中向量：向量加法的交换律中向量b可以是零向量吗？可以是零向量吗？问题问题2 2：向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量相加，这种说：向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量相加，这种说法对吗？法对吗？问题问题3 3：向量加法的交换律和结合律对多个向量还成立吗？：向量加法的交换律和结合律对多个向量还成立
7、吗？【总结提升总结提升】1.1.对向量加法交换律的说明对向量加法交换律的说明在图在图1 1中的平行四边形中的平行四边形ABCDABCD中，中，则，则 故故a+b=b+a.即向量加法满足即向量加法满足交换律交换律.当向量当向量a，b至少有一个为零向量时，交换律显然成立，当至少有一个为零向量时，交换律显然成立，当a，b为非零为非零向量且共线时，向量且共线时，ABDCADBC ，abACABBCACADDC ，abba(1)(1)当当a，b同向时，向量同向时，向量a+b与与a同向，且同向，且|a+b|=|=|a|+|+|b|；向量；向量b+a与与b同向，且同向，且|b+a|=|=|b|+|+|a|，
8、故，故a+b=b+a.(2)(2)当当a，b反向时，不妨设反向时，不妨设|a|b|，a+b与与a同向，且同向，且|a+b|=|=|a|-|-|b|；b+a与与a同向，且同向，且|b+a|=|=|a|-|-|b|，故，故a+b=b+a.2.2.对向量加法的结合律的说明对向量加法的结合律的说明在图在图2 2中，中，所以所以=(=(a+b)+)+c，=a+(+(b+c)，从而，从而(a+b)+)+c=a+(+(b+c).).即向量加即向量加法满足结合律法满足结合律.3.3.向量加法运算律的推广向量加法运算律的推广向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立，恰当地使用运算律向量加法的交换律和结合律对多
9、个向量仍然成立，恰当地使用运算律可以实现简化运算的目的可以实现简化运算的目的.如在进行多个向量的加法运算时，可以按照如在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合进行任意的次序和任意的组合进行.如如(a+b)+()+(c+d)=()=(a+d)+()+(b+c).).ACABBCBDBCCD ，abbcADACCD ADABBD 【题型探究题型探究】类型一类型一 向量的加法及几何意义向量的加法及几何意义【典例典例】如图如图1 1，图，图2 2，图，图3 3所示，求作向量和所示，求作向量和.【解题探究解题探究】典例图典例图1 1中中a与与b有何关系，图有何关系，图2 2两向量相加可
10、采用哪种方两向量相加可采用哪种方法进行？图法进行？图3 3三向量相加可采用哪种方法进行？三向量相加可采用哪种方法进行？提示：提示：图图1 1中向量中向量a与向量与向量b共线，图共线，图2 2中两向量相加可采用三角形法则中两向量相加可采用三角形法则或平行四边形法则进行或平行四边形法则进行.图图3 3中三向量相加可采用三角形法则或平行四中三向量相加可采用三角形法则或平行四边形法则进行边形法则进行.【解析解析】如图中如图中(1)(1)，(2)(2)所示，所示，首先作首先作 =a，然后作，然后作 =b，则，则 =a+b.OAAB OB 方法一：方法一：(三角形法则三角形法则)：如图：如图(3)(3)所
11、示，作所示，作 =a，=b，则，则 =a+b，再作，再作 =c，则，则 =(=(a+b)+)+c，即，即 =a+b+c.AB BC AC CD ADACCD AD 方法二：方法二：(平行四边形法则平行四边形法则)：由于：由于a，b，c不共线，如图不共线，如图(4)(4)所示在所示在平面内任取一点平面内任取一点O O，作，作 =a，=b，以以 为邻边作为邻边作 OADBOADB，则对角线则对角线 =a+b，再作，再作 =c，以以 为邻边作为邻边作 OCED.OCED.则则 =a+b+c.OAOB OA OB ，OD OC OCOD ，OE【方法技巧方法技巧】作向量和的法则选取策略作向量和的法则选
12、取策略(1)(1)三角形法则可以推广到三角形法则可以推广到n n个向量求和，作图时要求个向量求和，作图时要求“首尾相连首尾相连”.即即n n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第第n n个向量的终点的向量个向量的终点的向量.(2)(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合量的起点重合.(3)(3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作
13、出的图形的一半，在多个向量的加法中，出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便利用三角形法则更为简便.【变式训练变式训练】如图，如图，已知向量已知向量a，b，c，求作向量，求作向量a+b或或a+b+c.【解析解析】方法一：在平面内任意取一点方法一：在平面内任意取一点O O，作，作 =a，=b，则，则 =a+b(如图如图1).1).方法二：在平面内任意取一点方法二：在平面内任意取一点O O，以，以OAOA，OBOB为邻边作为邻边作 OACBOACB，且，且 =a，=b，连接，连接OCOC，则，则 =a+b(如图如图2).2).OAAB OB OAOB O
14、C 在平面内任意取一点在平面内任意取一点O(O(如图如图3)3)，作，作 =a，=b，=c，则，则 =a+b+c.AB OAOC BC【误区警示误区警示】做向量相等时要注意使向量所在直线平行，模相等，即做向量相等时要注意使向量所在直线平行，模相等，即方向相同、模相等方向相同、模相等.不管平面内的点不管平面内的点O O选在何处，对于首尾相连的两个选在何处，对于首尾相连的两个和向量，它的方向总是由第一向量的起点指向第二向量的终点和向量，它的方向总是由第一向量的起点指向第二向量的终点.类型二类型二 向量加法及运算律向量加法及运算律【典例典例】1.1.设设a=0，b是任意非零向量，则在下列结论中，是任
15、意非零向量，则在下列结论中，ab；a+b=a；a+b=b；|a+b|a|+|+|b|；|a+b|=|=|a|+|+|b|.|.其中正确其中正确的序号为的序号为_._.2.2.化简下列各式：化简下列各式：(1)(1)(2)(2)ABBCCDDA.(ABMB)BOOM.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中解题的依据是什么？进行何种处理？中解题的依据是什么？进行何种处理？提示：提示：依据向量平行、向量加法及依据向量平行、向量加法及|a+b|与与|a|+|+|b|的关系进行解答的关系进行解答.2.2.典例典例2 2中，向量加法混合运算时，应该用向量加法的交换律和结合中，向量加法混合运算时，应该
16、用向量加法的交换律和结合律变形出哪些形式？律变形出哪些形式？提示：提示：向量相加首尾相接的形式向量相加首尾相接的形式.【解析解析】1.1.因为因为a=0，所以，所以0b ，正确；，正确；0+b=b，正确；，正确；|0+b|=|=|0|+|+|b|，正确，正确.答案：答案：2.(1)2.(1)(2)(2)ABBCCDDA(ABBC)(CDDA)ACCA ；0(ABMB)BOOM(ABBO)(OMMB)AOOBAB.【方法技巧方法技巧】向量加法运算律的意义和应用原则向量加法运算律的意义和应用原则(1)(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰意义：向量加法的运算律为向量加法提供
17、了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行合来进行.(2)(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首首尾相连尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.【变式训练变式训练】如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，(1)=_.(1)=_.(
18、2)=_.(2)=_.(3)=_.(3)=_.ABAD ACCDDO ABADCD 【解析解析】(1)(1)(2)(2)(3)(3)答案：答案：ABADAC.ACCDDOAO.ABADCDACCDAD.1 AC2 AO3 AD 类型三类型三 向量加法的实际应用向量加法的实际应用【典例典例】1.1.作用在同一物体上的两个力作用在同一物体上的两个力F F1 1=60N=60N，F F2 2=80N=80N，当它们的夹，当它们的夹角为角为9090时，则这两个力的合力为时，则这两个力的合力为_._.2.2.在静水中船的速度为在静水中船的速度为20m/min20m/min，水流的速度为，水流的速度为10
19、m/min10m/min，如果船从岸，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，求这两个力的合力的实质是什么？中，求这两个力的合力的实质是什么？提示：提示：求这两个力的合力就是求向量求这两个力的合力就是求向量F F1 1+F+F2 2.2.2.典例典例2 2中，水流速度及船实际航行的速度可用向量加法的什么法则？中，水流速度及船实际航行的速度可用向量加法的什么法则？提示：提示：因为航行方向与水流方向不共线因为航行方向与水流方向不共线.所以需要利用向量加法的平所以需要利用向量加法的平行四
20、边形法则对有关向量进行运算行四边形法则对有关向量进行运算.【解析解析】1.1.如图所示：如图所示：表示力表示力F F1 1，表示力表示力F F2 2，以以OAOA，OBOB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形OACBOACB，则，则 是是F F1 1和和F F2 2的合力的合力.在在AOCAOC中，中，|=60|=60，|=|=80|=|=80且且OAACOAAC，则则即合力的大小为即合力的大小为100 N.100 N.答案：答案：100 N100 NOAOB OC OAAC OB 22|OC|OA|AC|100 N ，2.2.作出图形如图：作出图形如图：船速船速v v船船与岸的方向所成角度为
21、与岸的方向所成角度为，由图示可知，由图示可知v v水水+v+v船船=v=v实际实际，结合已知，结合已知条件，可知四边形条件，可知四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形.在在RtRtABCABC中，中，=v =v水水=10 m/min=10 m/min，=v=v船船=20 m/min=20 m/min，所以所以coscos=，所以，所以=60=60，即船行进的方向与水流方，即船行进的方向与水流方向成向成120120角角.DCAB AD|CD|101202|AD|【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法)若将本例若将本例2 2条件不变，则经过条件不变，则经过3 3小时，该船的实际航
22、程是小时，该船的实际航程是多少千米？多少千米？【解析解析】如图所示：如图所示：表示水流速度，表示水流速度，表示船在静水中的速度，表示船在静水中的速度，则则 表示船的实际速度表示船的实际速度.则则 =0.6 km/h=0.6 km/h，=1.2 km/h=1.2 km/h，AOB=120AOB=120，则，则CBO=60CBO=60，又因为又因为AOC=BCO=90AOC=BCO=90，所以，所以 =0.6 km/h =0.6 km/h，所以船的实际航程，所以船的实际航程为为0.6 0.6 3 km=1.8 km.3 km=1.8 km.OAOB OC OAOB OC 3332.(2.(改变问法
23、改变问法)或本例或本例2 2条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，条件不变，改为若船沿垂直水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值求船实际行进的方向的正切值.【解析解析】如图所示：如图所示：v v水水=，v v船船=，则则 表示实际速度，表示实际速度，在在RtRtABDABD中，中，tanBADtanBAD=所以，船的实际行进的方向与水流的方向所成角的正切值为所以，船的实际行进的方向与水流的方向所成角的正切值为2.2.AB AC|BD|AC|20210|AB|AB|，AD【方法技巧方法技巧】1.1.应用向量解决平面几何问题的基本步骤应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)(1)表示：用向量
24、表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.(2)(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题量进行运算，解答向量问题.(3)(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线，相等等概念回答原还原：根据向量的运算结果，结合向量共线，相等等概念回答原问题问题.2.2.与向量相关的实际问题的处理策略与向量相关的实际问题的处理策略(1)(1)力的合成是一类典型的向量求和问题力的合成是一类典型的向量求和问题.(2)(2)解题时先要根据题意作出相应的图形，再
25、利用平行四边形或三角解题时先要根据题意作出相应的图形，再利用平行四边形或三角形知识解题形知识解题.(3)(3)最后将向量问题还原为实际问题作答最后将向量问题还原为实际问题作答.【补偿训练补偿训练】在重在重300 N300 N的物体上系有两根绳子，这两根绳子在铅垂的物体上系有两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为线的两侧，与铅垂线的夹角分别为3030，6060(如图如图)，求重物平衡时，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小两根绳子拉力的大小.【解析解析】在如图所示的平行四边形中，在如图所示的平行四边形中，AOC=30AOC=30，BOC=60BOC=60，在，在AOCAOC中，中，
26、ACO=60ACO=60，CAO=90CAO=90，所以，所以 =coscos 30 30=N=N，所以与铅垂线成，所以与铅垂线成6060角的绳子拉力是角的绳子拉力是150 N150 N，成，成3030角的绳子拉力是角的绳子拉力是 N.N.OAOC 150 3150 3易错案例易错案例 向量加法的应用向量加法的应用【典例典例】小船以小船以10 km/h10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为时河水的流速为10 km/h10 km/h，则小船实际航行速度的大小为，则小船实际航行速度的大小为_ km/h._ km/h.3【失误案例失误案例
27、】【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：提示：错误的根本原因是误将船的实际速度看成了静水速加河水的流错误的根本原因是误将船的实际速度看成了静水速加河水的流速速.【自我矫正自我矫正】如图：如图：设船在静水中的速度为设船在静水中的速度为v v1 1=10 km/h=10 km/h，河水的流速为，河水的流速为v v2 2=10 km/h=10 km/h，小，小船实际航行速度为船实际航行速度为v v0 0，则由，则由 得得 所以所以v v0 0=20 km/h20 km/h，即小船实际航行速度的大小为，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.20
28、km/h.答案：答案：20203222120vvv，2220(10 3)10v，【防范措施防范措施】1.1.深入理解向量的和深入理解向量的和向量的和一般不能直接用模作和，要注意向量的方向的合成，如本例向量的和一般不能直接用模作和，要注意向量的方向的合成，如本例中用两个速度不能直接作和中用两个速度不能直接作和.2.2.理解三种速度间的关系理解三种速度间的关系船在静水中的航行速度，水流的速度，船实际的航行速度三者间当航船在静水中的航行速度，水流的速度，船实际的航行速度三者间当航行方向与水流方向不共线时不能直接求实际航行速度，如本例中两个行方向与水流方向不共线时不能直接求实际航行速度，如本例中两个方向垂直，利用勾股定理求速度的大小方向垂直，利用勾股定理求速度的大小.
