1、第2课时6.1 平方根1.1.什么叫做算术平方根？什么叫做算术平方根？2.2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们判断下列各数有没有算术平方根，如果有请求出它们的算术平方根的算术平方根.100 100；1 1；0;0;0.0025;0.0025;(-3)(-3)2 2 ;2525；一般地，如果一个正数一般地，如果一个正数 x x 的平方等于的平方等于a a，即，即x x2 2a a，那么这个正数，那么这个正数x x叫叫做做a a的算术平方根的算术平方根.a a的算术平方根记为的算术平方根记为 ,读作读作“根号根号 a a”.”.a1010；1 1；0;0;无无;3 3 ;无无；（1
2、1）3 32 2=，（，（3 3）2 2=；（2 2），；232232（3 3）0.80.82 2=（0.80.8）2 2=.9 994940.640.640.640.643.3.填空填空9 9 思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？1.1.掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.2.2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系之间的互逆关系.问题问题 如果一个数的平方等
3、于如果一个数的平方等于9 9，这个数是多少？，这个数是多少？想一想：想一想：3 3和和-3-3有什么特征？有什么特征？由于由于 ，所以这个数是所以这个数是3 3或或-3.-3.23=93 3和和-3-3互为相反数，互为相反数，会不会是巧合呢会不会是巧合呢?根据上面的研究过程填表：根据上面的研究过程填表：2x1163649425x146725 如果我们把如果我们把 分别叫做分别叫做 的平方根，你能给出平方根的概念吗？的平方根，你能给出平方根的概念吗？214675、41 1 63 64 92 5、根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数给定的
4、数.由此我们抽象出下述概念：由此我们抽象出下述概念：如果有一个数如果有一个数x x，使得，使得x x2 2=a a，那么我们把，那么我们把x x叫作叫作a a的的一个平方根，也叫作二次方根一个平方根，也叫作二次方根.如果如果x x是正数是正数a a的一个平方根，那么的一个平方根，那么a a的平方根有且只有两的平方根有且只有两个：个：x x与与-x-x.即平方根互为相反数即平方根互为相反数.平方根的性质：平方根的性质：例如：例如：(1)1)2 2=1=1，1 1的平方根为的平方根为1.1.平方根的概念平方根的概念平方根的表示方法、读法平方根的表示方法、读法:根号根号被开方数被开方数a（a a是是
5、非负数非负数）读作：正负根号读作：正负根号a a 由于由于0 02 2=0=0，而非零数的平方不等于，而非零数的平方不等于0 0，因此零的平方，因此零的平方根就是根就是0 0本身本身.由于同号两数相乘得正数，所以任何一个数的平由于同号两数相乘得正数，所以任何一个数的平方都不会是负数，因此方都不会是负数，因此-9-9没有平方根，进一步的，所有没有平方根，进一步的，所有的的负数都没有平方根负数都没有平方根.在上面的问题中，我们求平方根的数都是正数在上面的问题中，我们求平方根的数都是正数.1.1.零有平方根吗？如果有，它的平方根是多少？零有平方根吗？如果有，它的平方根是多少？2.-92.-9有平方根
6、吗？负数有平方根吗有平方根吗？负数有平方根吗?1.1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数有两个平方根，它们互为相反数；2.2.零的平方根是零的平方根是0 0；3.3.负数没有平方根负数没有平方根.平方根的性质：平方根的性质：【例例1 1】求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：（1 1）25 25 （2 2）0.81 0.81 （3 3）15 15（4 4）（）（-2-2）（5 5）0 0 （6 6）-3-3【例题例题】【解析解析】（1 1）因为）因为 ，所以，所以2525的平方根是的平方根是5 5，即，即25)5(2255.（2 2）因为）因为 ，所以，所以0.810.81的平方
7、根是的平方根是0.90.9，即，即81.0)9.0(20.810.9.（3 3）1515的平方根是的平方根是15.（4 4）因为）因为 ，所以，所以 的平方根是的平方根是2 2，即，即222.42222（5 5）0 0的平方根是的平方根是0.0.（6 6）-3-3没有平方根没有平方根.求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：（1 1）8181；（2 2）；（3 3）0.49.0.49.解：解：(1)(1)(9)9)2 2=81=81，(3 3)()(0.7)0.7)2 2=0.49=0.49，0.490.49的平方根为的平方根为0.7,0.7,8181的平方根为的平方根为9,9,即即 .819
8、（2 2）2416525 ,的平方根是的平方根是 ，251654即即 .164255 即即 .0.490.7 1625【跟踪训练跟踪训练】+1-1+2-2+3-3149平方平方 已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.平方与开方的关系平方与开方的关系+1-1+2-2+3-3149？运算？运算反之，已知一个数的平方，求这个数的运算反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？是什么？求一个数求一个数的平方根的平方根的运算叫作开平方的运算叫作开平方.开平方与平方是什么关系？开平方与平方是什么关系？a a的平方根的平方根底数底数幂幂被开方数被开方数ax
9、互为互为 逆运算逆运算ax 2指数指数根号根号已知底数和指数求幂已知底数和指数求幂已知幂和指数求底数已知幂和指数求底数开平方运算开平方运算平方运算平方运算与与正正数数与与零零任何数任何数2a2幂幂平方平方根根开方开方平方平方运算运算符号符号适用适用范围范围运算结果运算结果名称名称性质性质正数有正数有 个平方根个平方根,它们它们 ,零的平方根是零的平方根是 ,负数负数 .正数的平方是正数的平方是 数数;零的平方是零的平方是 ;负数的平方是负数的平方是 数数.正正正正02互为相反数互为相反数0没有平方根没有平方根1.1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方包含关系：平方根包含算术平方根
10、，算术平方根是平方根的一种根的一种.平方根与算术平方根的联系与区别：平方根与算术平方根的联系与区别：2.2.只有非负数才有平方根和算术平方根只有非负数才有平方根和算术平方根.3.03.0的平方根是的平方根是0 0，算术平方根也是，算术平方根也是0.0.区别：区别：1.1.个数不同：一个正数有两个平方根，个数不同：一个正数有两个平方根，但但只有一个算术平方根只有一个算术平方根.联系：联系：2.2.表示法不同：平方根表示为：表示法不同：平方根表示为：而算术平方根表示而算术平方根表示为为 .，aa例例2 2求下列各式的值：求下列各式的值：4 93 60 8 19.；解解：（：（1 1）；366 （2
11、 2）；0.810.9 （3 3）.49793（1 1）（2 2）（3 3）【例题例题】1.1.下列下列各式有意义吗各式有意义吗？196121（3 3）;_;)3(22268_169100_13103102.2.求下列各式的值求下列各式的值.)7(（4 4）.144（1 1）;0225.0（2 2）;有意义有意义 有意义有意义 有意义有意义 无意义无意义 【跟踪训练跟踪训练】1.1.掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别联系和区别.2.2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运
12、算和乘方运算之间的互逆关系算和乘方运算之间的互逆关系.1.1.（杭州（杭州中考）中考）4 4的平方根是（的平方根是（）A.2 B.A.2 B.2 C.2 C.1616 D.D.1616 【解析解析】4 4的平方根是的平方根是 .24B B2.2.（黄冈（黄冈中考）中考）2 2的平方根是的平方根是_._.【解析解析】根据平方根的定义得出根据平方根的定义得出2 2的平方根是的平方根是 .223.3.一个数一个数x x的平方根等于的平方根等于m+1m+1和和m-3m-3，则，则m=m=，x=x=.【解析解析】根据一个正数的平方根互为相反数得，根据一个正数的平方根互为相反数得，m+1m+1和和m-3m
13、-3互为相反数，即互为相反数，即m+1+m-3=0m+1+m-3=0，解得，解得m=1m=1，则，则m+1=2m+1=2，m-3=-2m-3=-2，所以，所以x=4.x=4.1 44.4.若若|a-9|+|a-9|+（b-4b-4）=0=0，则，则 的平方根是的平方根是_._.【解析解析】因为因为|a-9|a-9|和（和（b-4b-4）都是非负数，且都是非负数，且|a-9|+|a-9|+（b-4b-4）=0=0，所以，所以|a-9|=0|a-9|=0，（，（b-4b-4）=0=0，所以，所以a=9,b=4a=9,b=4，,其平方根为其平方根为ab94ab2.3325.5.你能求出下列各式中的未知数你能求出下列各式中的未知数x x吗？吗？（1 1）x x2 249.49.（2 2）(x(x1)1)2 225.25.【解析解析】（1 1）x=x=7.7.（2 2）x=6x=6或或x=-4.x=-4.
