1、 - 1 - 2018 届高三第二次月考试题 数学试卷（文） （考试时间： 120 分钟 满分： 150 分） 一选择题（ 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ） 。 1.已知集合 ? ? ? ?| 1 , | 1 xA x y x B y y e? ? ? ? ? ?，则 AB? （ A ） A ? ?1,1? B ? ?1,1? C ? ?1,1? D ? ? ? ?, 1 1,? ? ? ? 2.下列命题中的假命题是 ( B ) A. 0log, 2 ? xRx B. 0, 2 ? xRx C. 1cos, ? xRx D. 02, ? xRx 3.下列函数中，在其定义域
2、内既是偶函数又在 ( ,0)? 上单调递增的函数是 （ ） A 2()f x x? B |( ) 2xfx? C2 1( ) log |fx x?D ( ) sinf x x? 4. 设 a、 b、 c R? ，则 “ a、 b、 c 成等差数列”是 2b a c? 的 ( C ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5.九章算术中有如下问题： “ 今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ” 其大意： “ 已知直角三角形两直角边长分别为 8 步和 15步，问其内切圆的直径为多少步？ ” 现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 （
3、D ） A 310? B 320? C. 31 10? D 31 20? 6.方程 ? ? 2ln 1 0x x? ? ? ， ? ?0x? 的根存在的大致区间是（ B ） A ? ?01， B ? ?12， C. ? ?2 e， D ? ?34， 7.设 a log1312， b log13 23， c log343，则 a、 b、 c 的大小关系是 ( B ) A abc B cba C bac D bca 8.已知函数 f(x)的导函数为 f( x)，且满足 f(x) 2xf(1) ln x，则f(1) ( C ) - 2 - A e B 1 C 1 D e 9 执行程序框图（如右），若
4、输入的 a 为 2，则输出的结果为（ B ） A 90 B 110 C 132 D 156 10.若 x、 y 满足 2xyxyyx?则 2xy? 的最大值为 ( A ) A. 9 B. 5 C. 3 D. 1 11.设函数 f(x) ax2 bx c(a， b， cR) 若 x 1 为函数 f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为 y f(x)的图象是 ( D ) 12.定义在 R 上的函数 ()fx满足 221, 1 1() lo g ( | 2 | 2 ), 1 3xxfx xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ( 4) ( ),f x f x? 若关于 x的方程 ( ) 0f
5、 x ax?有 5 个不同实根，则正实数 a 的 取值范围是（ D ） A 11( , )43 B 11( , )64 C 1(16 6 7, )6? D 1( ,8 2 15)6 ? 二填空题（本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 13. 函数 ( ) 2 sin 3f x x?的定义域为 _ _ _ 2 2 , 2 ,33k k k Z? ? ? 14. 已知向量? ?4,2 5a=r，2b=r，且=ab?rr， 则实数 ?_ _ _ 3? 15. 已知 直线 l ： ( 4)y k x?与曲线 2: 4 0C x y? ? ?有且仅有两个交点 ， 则实数 k 的取得范围
6、是 _ 3 1 1 3( , , )3 2 2 3?16已知 ? ? lg , 0,2 , 0,xxxfxx? ? ?则函数 ? ? ? ?22 3 1y f x f x? ? ?的零点个数是 5 三解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 （本小题满分 12 分 ） 已知向量 a ( 2 s i n x , 3 ) , b ( c o s x , c o s 2 x ) , f ( x ) a b 1? ? ? ? ?rrrr， （ ）求 f( )3? 的值 （ ）求 )(xf 的最小正周期及单调递增区间 - 3 - 1 f ( x ) 2 sin x c o s x 3
7、c o s 2 x 1sin 2 x 3 c o s 2 x 12 sin ( 2 x ) 13? ? ? ? ? ? ?解 ： （ ）? . 4 分 f ( ) 2 s i n ( 2 ) 1 2 s i n 1 13 3 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 6 分 （ 2） 2T 2? ? ? . 8 分 2k 2 x 2k k Z2 3 2-+? ? ? ? ? ? ?当 ， 时 ， 函 数 单 调 递 增， 5 k x k k Z1 2 1 2- + +? ? ?解 得 ， 5 k , k , k Z .1 2 1 2? ? ?所 以 函 数 的 单 调 递 增 区 间
8、为 ： - ? . 12 分 18.（本小题满分 12 分） 某班 20 名同学某次数学测试的成 绩可绘制成如图茎 叶图 .由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩 . （ 1）完成频率分布直方图； （ 2）根据（ 1）中的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩 （同一组中的数 据用改组区间的中点值作代 表）； - 4 - （ 3）根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为 ，并假设 ，且 取得每一个可能值的机会相等，在（ 2）的条件下，求概率 . 【答案】（ 1）见解析（ 2） 78（ 3） 0.7 【解析】试题分析：（ 1）根据频率等于频数除以总数，频率分布直方图小长方体
9、的高等于对应概率除以组距，计算数值并完成频率分布直方图；（ 2）根据组中值与对应概率乘积的和为平均数计算平均成绩（ 3）先根据平均数等于总分除以总人数得 ，再解不等式得 ，最后根据古典概型概率计算公式求概率 试题解析：解：（ 1）频率分布直方图如图 ： （ 2） ， 即全班同学平均成绩可估计为 78 分 . （ 3） ， 故 . 19 （本小题满分 12分） 已知 ?na 是等差数列， nS 数列 ?na 的前 n 项和 ,且2 3 55, 15? ? ?a a S， ?nb 是各项均为正数的等比数列， 1 1 3 4,?b a b a . （ ）求数列 ?na ， ?nb 的通项公式； （
10、）设 n n nc ab? ，求数列 ?nc 的前 n 项和 nT . 解：（ ）设数列 ?na 的公差为 d ， ?nb 的公比为 q ，依题意得 112 3 55 10 15?ad 解得 1d? ， 1 1?a ， 所以 ? ?11na n n? ? ? ?， ? 3 分 - 5 - 又 221 3 1b 1, b b q q 4? ? ? ? ?， 因为 q 0, q 2=? 所 以 111 2 2nnnb ? ? ? ? 6 分 （ ）由（ ）知 12nn n nc a b n ? ? ? ，则 011 2 2 2nT ? ? ? ? ? 213 2 2nn ? ? ?L ? 7 分
11、2nT? 121 2 2 2? ? ? ?L ? ? 11 2 2nnnn? ? ? ? ? ? 8 分 -得： 0 1 21 2 1 2 1 2nT? ? ? ? ? ? ? 11 2 2nnn? ? ? ? ?L ? 10 分 ? ?1 1 2 212n nn? ? ? ? ?1 2 1nn? ? ? ? ? 12 分 所以 ? ?1 2 1nnTn? ? ? ?. 20. 已知椭圆 经过点 ， 的四个顶点构成的四边形面积为 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2） 为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线 ，使其满足 : 直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数； 线段 的中点在直 线 上 .若
12、存在，求出直线 和 的方程；若不存在，请说明理由 . 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】 试题分析： (1)利用条件布列关于 的方程组，解之即可 ;(2) 设直线 的方程为，代入 ，得 .利用设而要求法，得到 ，同理 ，结合中点坐标公式得结果 . 试题解析： (1)由已知得 ， 解得 ， 椭圆 的方程 . - 6 - (2)设直线 的方程为 ，代入 ，得 .(*) 设 ， ，且 是方程 (*)的根， ， 用 代替上式中的 ，可得 ， 故 中点横坐标为 ， 解得 ， 直线 的方程分别为 ， 或 ， . 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 af ( x ) ln x (a R , a
13、0 )x? ? ? ? （ ） 当 1a? 时，讨论 ()fx在定义域上的单调性； （ ） 若 ()fx在区间 1,e 上的最小值是 3,2 求实数 a 的值。 解：当 1a? 时， 1( ) ln ,f x x x?221 1 1() xfx x x x? ? ? ? 2 分 0,x? ()fx在区间 (0,1) 上递减，在区间 (1, )? 上递增。 ? 6 分 由已知2() xafx x? ?， 1a? 时，而 1,x? 1 0,x a a? ? ? ? ()fx在 1,e 上递增，于是m in 3( ) (1) ,2f x f a? ? ? ?有 32a? 不成立 ? 8 分 当 ae
14、? 时，而 ,xe? 0,x a e a? ? ? ? ()fx在 1,e 上递减， 于是m in 3( ) ( ) 1 ,2af x f e e? ? ? ?有 2ea? 不成 立。 ? 10 分 当 1ea? ? ? 时，在区间 1, a? 上， 1 0,a x a? ? ? ? 则 ( ) 0,fx? ? ()fx递减， 在区间 ( , ae? 上， 0,x a a e? ? ? ?则 ( ) 0,fx? ? ()fx递增， m in 3( ) ( ) ln ( ) 1 ,2f x f a a? ? ? ? ? ? ae? 综上所述得：实数 ae? 。 ? 12 分 请考生在第 22、
15、23 二 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 .答时用 2B 铅笔- 7 - 在答题卡上把所选题目的题号涂黑 . 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴非负半轴 重 合，直线 l 的参数方 程为 :312 (12xttyt? ? ? ? ?为参数 ), 曲线 C 的极坐标方程 为 : 4cos? . （）写出曲线 C 的 直角 坐标方程 和 直线 l 的 普通 方 程； （）设 直线 l 与 曲线 C 相交于 ,PQ两点 , 求 PQ 的值 . 解：（ ） 24 c o s , 4 c o s? ? ?
16、 ? ? ? ?, 由 2 2 2 , cosx y x? ? ? ? ?，得 224x y?，所以曲线 C 的直角 坐标方程为 ? ?2 224xy? ? ?. ? 2 分 由31212xtyt? ? ? ?，消去 t 得： - 3 +1 0xy? . 所以直线 l 的普通方程为 - 3 +1 0xy? . ? 4 分 （ ）把 31212xtyt? ? ? ?代入 224x y x?，整理得 2 3 3 5 0tt? ? ?， ? 6 分 因 为 27 20 7 0? ? ? ? ?， 设其两根分别为 12,tt，则 1 2 1 23 3, 5,t t t t? ? ? ? 8 分 所以 ? ? 21 2 1 2 1 247P Q t t t t t t? ? ? ? ? ?. ? 10分 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式 选讲 已知函数 ( ) | 1 | 2 | 1 |f x x x? ? ? ?的最大值为 k . （ 1）求 k 的值； （ 2）若 ,abc R? ， 22 22ac bk? ?，求 ()
