1、 - 1 - 高新部高三第三学月考试理科数学试题 一、单项选择（ 60分 ） 1、 在 ABC中，已知 a=4， b= 34 ， B=60 ，则角 A的度数为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 2 、 在 ABC? ， 内 角 ,ABC 所 对 的 边 长 分 别 为, , .abc 1s in c o s s in c o s ,2a B C c B A b?,a b B? ? ?且 则 （ ） A 6? B 3? C 23? D 56? 3、 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，已知 , 3, 13A a b? ? ?，则 B? A 3? B 6? C 56
2、? D 6? 或 56? 4、 在 ABC 中，若 BA sinsin ? ，则 A 与 B 的大小关系为（ ） A AB? B BA? C AB? D A 、 B 的大小关系不能确定 5、在锐角 bcBCABC 则若中 ,2, ? 的范围是（ ） A（ 0， 2） B )2,2( C )3,2( D )3,1( 6、 的形状则已知中在 ABCBAbaBAbaABC ? ),s in ()()s in ()(, 2222 （ ） A等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形 7、 在 ,3,160A 0 ? ? ABCSbABC ，中， 则 ? ? CBA cb
3、a sinsinsin （ ） A 338 B 3392 C 3326 D 32 8、在 C? 中，角 ? ， ? ， C 的对边长分别为 a ， b ， c ， 4a? ， 45? ， 60? ，则 b? （ ） A 26 B 23 C 22 D 163 9、已知甲、乙两地距丙的距离均为 100km ，且甲地在丙地的北偏东 20 处，乙地在丙地的南偏东 40 处，则甲乙两地的距离为（ ） - 2 - A 100km B 200km C 100 2km D 100 3km 10、 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，已知 , 3, 13A a b? ? ?，则 B? （ ）
4、 A 3? B 6? C 56? D 6? 或 56? 11、已知等腰三角形的面积为 23 ，顶角的正弦值是底角正弦值的 3 倍，则该三角形 一腰的长为（ ） A 2 B 3 C 2 D 6 12、 在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，若 5 sina b C? ，且 cos 5cos cosA B C? ，则 tanA 的值为（ ） A 5 B 6 C 4? D 6? 二、填空题（ 20分 ） 13、 在 ABC? 中，内角 CBA , 的对边分别为 cba, , 060,3,2 ? Bba ，则A=_ 14、如图，一艘船上午 8:00 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏
5、东 30 处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 8:30到达 B处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75 处，且与它相距 42海里，则此船的航行速度是 海里 /h . 15、 ABC 中， 60A?， 1b? ，三角形 ABC 面积 3S? ， sin sin sinabcA B C? ? 16、在 ABC? 中，设角 BA, 所对边分别为 ba, ，若 bBaA cossin ? ，则角 ?B 三、解答题（ 70分， 17题 10分，其余 12分 ） - 3 - 17、已知在等差数列 ?na 中，若 9375 aaaa ? ，求 93 aa? 的值。 18、 在 ABC 中，内角 ,AB
6、C 的对边 ,abc成公差为 2的等差数列， 120C?. (1)求 a ； (2)求 AB 边上的高 CD 的长； 19、 在 ABC 中， ,abc 分别是角 A,B,C的对边 ,已知 1, 2ab?， 3cos 2A? ，求角 C 20、 已知向量 (sin ,cos )44xxm ? ， n ( 3cos4x ， cos4x )，记 ? ?f x m n?； （ 1）若 ? ? 1fx? ，求 cos( )3x ? 的值 ； （ 2）若 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别是 ,abc，且满足 ? ?2 cos cosa c B b C?，求函数? ?fA的取值范围 21 、 如 图
7、 ， 在 ABC? 中， , 4 84C C A C B? ? ?，点 D 在 BC 边 上 ， 且35 2 , co s 5A D A D B? ? ?. （ ）求 ,ACCD 的长；（ ）求 cos BAD? 的值 . 22 、 如 图 ， 在 ABC? 中， , 4 84C C A C B? ? ?，点 D 在 BC 边 上 ， 且35 2 , co s 5A D A D B? ? ?. （ ）求 ,ACCD 的长；（ ）求 cos BAD? 的值 . - 4 - 参考答案 一、单项选择 1、【答案】 A 2、【答案】 A 【解析】 由正弦定理可得 = 2 s in , = 2 s in
8、 , = 2 s ina R A c R C b R B 由 1s in c o s s in c o s ,2a B C c B A b? 可得 1sin co s + sin C co s = 2A C A 即 1sin ( ) sin 2A C B? ? ?，又 ,=6a b B ?故 ，故，选 A 3、【答案】 B 【 解 析 】 由 已 知 知 ba? ，所以 B A= 3? ，由正弦定理 sin sinabAB? 得，sinsin bAB a? =1 sin33?=12 ，所以 6B ? ，故选 B 4、【答案】 A 【解析】由 BA sinsin ? ，结合正弦定理得 22abR
9、R? ，即 ab? ，再由平几知识，在 ABC中 ab? 与 AB? 是等价的，故选择 A，不能用正弦函数的单调性，因为 sinyx? 在 (0, )? 上不具有单调性，否则会犯错 . 5、【答案】 B 【解析】因为 ABC 是锐角三角形，所以 022CB? ? ? 且 032AB? ? ? ?所以64B? ，由正弦定理得 2 sin sin 2sin sinc C Bb B B?= cosB 3 ，故选 C. - 5 - 6、【答案】 D 【 解 析 】 由 2 2 2 2( ) s in ( ) ( ) s in ( )a b A B a b A B? ? ? ? ?得， 2 s i n
10、( ) s i n ( ) a A B A B? ? ? = 2 sin ( ) sin ( )b A B A B? ? ?，用两角和与差的公式展开得， 22c o s sin sin c o sa A B b A B?，由 正 弦 定 理 得 sin cos sin cosA A B B? ， 所 以 2 sin2Sin A B? ， 所 以 22AB? 或22AB?，所以 AB? 或 2AB? ，所以 ABC是等腰三角形或直角三角形，故选 D. 7、【答案】 B 【解析】由题知 ABCS? = 1 sin2bc A = 13122c? ? ? = 3 ，解得 c=4，由余弦定理知，2 2
11、2 11 4 2 1 4 2a ? ? ? ? ? ?=13 ， a = 13 ， 由 正 弦 定 理 知? ? CBA cba sinsinsin 13sin 32aA?= 3392 ，故选 B. 8、 B 【 解 析 】 由 已 知 知 ba? ，所以 B A= 3? ，由正弦定理 sin sinabAB? 得，sinsin bAB a? =1 sin33?=12 ，所以 6B ? ，故选 B 9、【答案】 D 10、【答案】 D 11、【答案】 A 【解析】设等腰三角形顶角为 2? （ ? 为锐角），则一个底角为 90 ? ，所以sin 2 3 sin(90 )?，即 sin 2 3co
12、s? ，得 3sin 2? ? ，所以 60? .设腰长为 a ，由面积关系得 213sin 12022Sa?，得 2a? .故选 A. - 6 - 12、【答案】 B 二、填空题 13、【答案】 045 14、【答案】 16 【解析】 75 30 45A SB? ? ? ?，在 ASB? 中由正弦定理得： sin sin 30AB BSASB ? ，即 4 2 sin 45 8sin 30AB ?，所以航行速度是 8 1612ABt ?海里 /h . 15、【答案】 2393 16、【答案】 4? 【解析】利用正弦定理 BRbARaRBbAa s i n2,s i n2,2s i ns i
13、n ? 得, 带入bBaA cossin? 得 1sincos ?BB ,所以 ?B 4? . 三、解答 题 17、【答案】 ?na 是等差数列 9375 aaaa ? 又 875 ?aa 93 aa? =8 【解析】因为在等差数列 ?na 中，若 lknm ? ，则 lknm aaaa ? ，从而有9375 aaaa ? 可得。 18、【答案】 (1)；（ 2） 15314 试题分析： (1)由等差数列的性质可得 2ba?， 4ca?，结合余弦定理可得关于实数 a的方程- 7 - 2 60aa? ? ? ，解得 3a? . (2)利用面积相等的关系可得 AB 边上的高 CD 的长是 1531
14、4 试题解析： (1)由题意得 2ba?， 4ca?， 由余弦定理 2 2 2cos 2a b cC ab? 得 ? ? ? ? ?222 24c o s1 2 022a a aaa? ? ? ? ?， 即 2 60aa? ? ? ， 3a? 或 2a? (舍去 )， 3a? . (2)解法 1由 (1)知 3a? ， 5b? ， 7c? ，由三角形的面积公式得： 11sin22ab C c CD?， 335s in 1 5 327 1 4a b CCD c ? ? ?， 即 AB 边上的高 15 314CD? . 解法 2：由 (1)知 3a? ， 5b? ， 7c? ， 由正弦定理得 3
15、7 7sin sin sin120AC? ?，即 33sin 14A? ， 在 Rt ACD 中， 3 3 1 5 3s in 5 1 4 1 4C D A C A? ? ? ?，即 AB 边上的高 15 314CD? . 【解析】 19、【答案】 解：在 ABC 中， 3cos 2A? ，得 6A ? ， 又 1, 2ab?，由正弦定理得 sin sinabAB? ， sin 2sin 2bAB a?， 又 ba? ，得 4B ? 或 4B ? ， 当 4B ? 时， 6 4 12C ? ? ? ? ? ? ?； 当 4B ? 时， 6 4 12C ? ? ? ? ? ? ?， - 8 -
16、角 C 为 12? 或 12? 20、【答案】 (1) ? ?13c o s ( ) ; ( 2 )1 .3 2 2x f A? ? ? ? 解 （ 1） ， ? ? 1fx? ， ， = . （ 2） ? ?2 co s co sa c B b C? ， ， 1cos ,23BB? ? ? ， 1, s in 16 2 6 2 2 2 6AA? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又 故函数 ? ?fA的取值范围是 . 21、【答案】 (1) 8, 2AC CD?;(2) 5cos 5BAD?. 试题分析： （ 1） 由 34c o s , s in55A D B A D B? ? ? ?
17、得，进而得 2sin 10CAD?，然后利用正弦定理求边长 ；（ 2） 由 48CA CB?，得 62CB? ， . 52BD? ，利用余弦定理得- 9 - 2 10AB? ，从而 5cos 5BAD? 试题解析： （ ）在 ABD? 中 ， 34c o s , s in55A D B A D B? ? ? ? ?. ? ?s in C A D s in A D B A C D? ? ? ?s in c o s c o s s in44A D B A D B? ? ? ?4 2 3 2 25 2 5 2 1 0? ? ? ? ?. 在 ADC? 中，由正弦定理得 s in s in s inA
18、 C C D A DA D C C A D A C D? ? ?，即 524 225 10 2AC CD?，解得 8, 2AC CD?. （ ） 48CA CB?， 28 482CB? ? ? ，解得 62CB? ， 52BD C B C D? ? ?，在 ABC? 中， ? ? 22 28 6 2 2 8 6 2 2 1 02AB ? ? ? ? ? ? ?，在 ABD? 中，? ? ? ? ? ?2 2 22 1 0 5 2 5 2 5c o s52 2 1 0 5 2BAD? ? ?. 22、【答案】 (1) 8, 2AC CD?;(2) 5cos 5BAD?. 试题分析： （ 1） 由
19、 34c o s , s in55A D B A D B? ? ? ?得，进而得 2sin 10CAD?，然后利用正弦定理求边长 ；（ 2） 由 48CA CB?，得 62CB? ， . 52BD? ，利用余弦定理得2 10AB? ，从而 5cos 5BAD? 试题解析： （ ）在 ABD? 中， 34c o s , s in55A D B A D B? ? ? ? ?. ? ?s in C A D s in A D B A C D? ? ? ?s in c o s c o s s in44A D B A D B? ? ? ?4 2 3 2 25 2 5 2 1 0? ? ? ? ?. - 10 -
