1、 - 1 - 北京市昌平区 2018届高三数学 12月月考试题 理 一、选择题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.已知 (1 i)i 1 i(bb? ? ? ? ? R)，则 b 的值为 A.1 B. 1? C. i D. i? 2. 已知集合 ? ?1 2 4xAx? ? ?， ? ?10B x x? ? ? ，则 ABI A ? ?12xx? B ? ?01xx? C ? ?01xx? D ? ?12xx? 3.如图，正方形 ABCD 中， E 为 DC 的中点，若 AD AC AE?，则 ? 的值为 A.3 B.2 C.
2、1 D. 3? 4.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的 a 值为 1， 则输出的 a 值为 A.1 B.2 C.3 D.5 5.已知数列 1 2 3 4 5: , , , ,A a a a a a，其中 1,0,1, 1, 2,3, 4,5iai? ? ?, 则满足 1 2 3 4 5 3a a a a a? ? ? ? ?的不同数列 A 一共有 A.15 个 B.25 个 C.30 个 D.35 个 6已知函数 1, 2 ,()2 lo g , 2axxfx xx? ? ? (0a?且 1)a? 的最大值为 1,则 a 的取值范围是 A 112 ,) B 01(,) C 102(, D
3、 1(, )? 7. 若 ,xy满足 +2 0,4 0,0,xyxyy? ? ?则 2| |z y x? 的最大值为 EA BCD输 出 输入 开始 结束 是否- 2 - A. 8? B. 4? C.1 D.2 8 同时具有性质 : “ 最小正周期是 ? ； 图象关于直线 3x ? 对称； 在区间 5 ,6?上是单调递增函数 ” 的一个函数可以是 A. cos( )26xy ? B. sin(2 )6yx? C. cos(2 )3yx? D. sin(2 )6yx? 9成等差数列的三个正数的和等于 6 ，并且这三个数分别加上 3 、 6 、 13后 成为等比数列? ?nb中的 、4、5，则数列
4、? ?nb的通项公式为 A. 12nnb ? B. 13nnb ? C. 22nnb ? D. 23nnb ? 10. “ 0x? ” 是 “ 221 2x x?” 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 11如图， ABC 为正三角形， 1 1 1/ / / /AA BB CC， 1CC? 底面 ABC，若 1122BB AA?，113AB CC AA?，则多面体 1 1 1ABC ABC? 在平面 11AABB 上的投影的面积为 A. 274 B. 92 C. 9 D. 272 12. 已知正方体 ABCD A B C D? ，记
5、过点 A 与三条直线 , , AB AD AA 所成角都相等的直线条数为 m , 过点 A 与三个 平面 , , AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为 n ，则下面结论正确的是 A. 1, 1mn? B. 4, 1mn? C. 3, 4mn? D. 4, 4mn? 二、填空题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。 13已知命题 p： ? x R 有 sinx? 1，则 p 为 _. 14. 已知等比数列 ?na 的公比为 2 ，若 234aa?，则 14_.aa? 15. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为 _. 11主视图2左视图2俯视图- 3 - 16.已知 A
6、BC，若存在 A1B1C1，满足1 1 1c o s c o s c o s 1sin sin sinA B CA B C? ? ?,则称 A1B1C1是 ABC的 一个 “ 友好 ” 三角形 . (i) 在满足下述条件的三角形中，存在 “ 友好 ” 三角形的是 _：（请写出符合要求的条件的序号） 90 , 60 , 30A B C? ? ? ； 75 , 60 , 45A B C? ? ?； 75 , 75 , 30A B C? ? ?. (ii)若等腰 ABC存在 “ 友好 ” 三角形，则其顶角的度数为 _. 三、解答题 （ 17-21 题每题 12分、 22 题 10分， 共 70分。解
7、答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 ） 17. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) 2 2 c o s s in ( ) 14f x x x? ? ?. （ ） 求函数 ()fx的最小正周期； （ ） 求函数 ()fx在区间 12 6， 上的最大值与最小值的和 . 18. （本小题满分 12 分） 设 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 1cos 2a C c b?.（ ）求角 A的大小； （ ）若 21a? ， 5b? ,求 c 的值 . 19. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中， PB? 底面 ABCD ，底面 ABCD
8、为梯形， AD BC ， AD AB? ，且 3, 1PB AB AD BC? ? ? ?. （ ）若点 F 为 PD 上一点且 13PF PD? ，证明： CF 平面 PAB ； （ ）求二面角 B PD A?的大小； （ ）在线段 PD 上是否存在一点 M ，使得 CM PA? ? 若存在，求出 PM 的长；若不存在，说明理由 . 20. （本小题满分 12 分） 已知数 列 an的前 n项和满足 4an-3Sn=2，其中 n?N*. （ ）求证：数列 na 为等比数列； （ ）设 1 42nnb a n?，求数列 nb 的前 n项和 nT . 21. （本小题满分 12 分） 已知函数
9、1( ) ( 1) lnf x kx k x x? ? ? ?. FA DCBP- 4 - （ ）当 12k? 时，求函数 ()fx的单调区间和极值； （ ）求证：当 01k?时，关于 x 的不等式 ( ) 1fx? 在区间 1,e 上无解 .（其中 e 2.71828? ） 22. （本小题满分 10 分） 若实数数列 na 满足 *21 ()n n na a a n? ? ? N，则称数列 na 为 “ P 数列 ”. （ ）若数列 na 是 P 数列，且 140, 1aa?，求 3a ， 5a 的值； () 求证：若数列 na 是 P 数列，则 na 的项不可能全是正数，也不可能全是负数
10、； () 若数列 na 为 P 数列，且 na 中不含值为零的项，记 na 前 2016 项中值为负 数的项的 个数为 m ，求 m 所有可能取值 . - 5 - 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 60 分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A D C A A D D A A A D 二、填空题 :本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 题号 13 14 15 16 答案 sin 1x R x? ? ?， 6 23 ； 45 三、解答题 : 本大题共 6小题，共 70 分 . 17（本小题共 12分）解：（ ）因为 ( ) 2 2
11、c o s s in ( ) 14f x x x? ? ? 22 2 c o s (s in c o s ) 12x x x? ? ? ?.1 分 2 cos (sin cos ) 1x x x? ? ? 22 cos sin 2 cos 1x x x? ? ? ?.5 分 （两个倍角公式，每个各 2分） sin2 cos2xx? 2 sin(2 )4x? ?.6 分 所以函数 ()fx的最小正周期 2 |T ?. ?.7 分 （ ）因为 12 6x? ， ，所以 2 63x? ， ，所以 (2 ) 4 12 12x ? ? ? ，. ?.8 分 当 2 4 12x? ? 时，函数 ()fx取
12、得最小值 2sin( )12? ; ?.9 分 当 2 4 12x? 时，函数 ()fx取得最大值 2sin12 , ?.10 分 因为 2 sin ( ) 2 sin ( ) 01 2 1 2? ? ?, 所以函数 ()fx在区间 12 6， 上的最大值与最小值的和为 0 . ?.12 分 18.（本小题共 12分）解：（ ）由正弦定理及 1cos 2a C c b?得： 1s in c o s s in s in2A C C B?， -2分 - 6 - 化简 1s in c o s s in s in ( )2A C C A C? ? ? -4分解得： 1cos 2A? ， -6分 因为
13、0oA180o,所以 60oA? . -7分 （ ）由余弦定理得： 221 25 5cc? ? ? ，即 2 5 4 0cc? ? ? .-10 分 解得 1c? 和 4c? ， 经检 验 1， 4都是解，所以 c 的值是 1和 4. -12 分 19（本小题共 12分）解： （ ）过点 F 作 FH AD ，交 PA 于 H ,连接 BH , 因为 13PF PD? ，所以 13HF AD BC?.?.1 分 又 FH AD ， AD BC ，所以 HF BC . ?.2 分 所以 BCFH 为平行四边形 , 所以 CF BH . ?.3 分 又 BH? 平面 PAB ， CF? 平面 PA
14、B , （一个都没写的，则这 1分不给） 所以 CF 平面 PAD . ?4 分 （ ）因为梯形 ABCD 中， AD BC ， AD AB? , 所以 BC AB? . 因为 PB? 平面 ABCD ，所以 PB AB PB BC?， , 如图，以 B 为原点， ,BCBABP 所在直线为 ,xyz 轴建立空间直角坐标系 , ?.5 分 所以 (1 , 0 , 0 ) , (3 , 3 , 0 ) , (0 , 3 , 0 ) , (0 , 0 , 3 )C D A P. 设平面 BPD 的一个法向量为 ( , , )n x y z? ，平面 APD 的一个法向量为 ( , , )m abc
15、? , 因为 (3, 3, 3 ), (0 , 0 , 3 ),P D B P? ? ? 所以 00PD nBP n? ?，即 3 3 3 030x y zz ? ? ? ?， 取 1x? 得到 (1, 1,0)n? , 同理可得 (0,1,1)m? , ?.7 分 所以 1c o s ,2| | |nmnm nm? ? ? ?, N 因为二面角 B PD A?为锐角， H FA DCBPPBCDAFyzx- 7 - 所以二面角 B PD A?为 3 . ?.8 分 （ ）假设存在点 M ，设 (3 , 3 , 3 )P M P D? ? ? ? ? ?， 所以 ( 1 3 , 3 , 3 3
16、 )C M C P P M? ? ? ? ? ? ? ? ?, ?10 分 所以 9 3 (3 3 ) 0P A C M ? ? ? ? ? ?，解得 12? , 所以存在点 M ，且 1 3 322PM PD?. ?.12 分 20.（本小题共 12分） 21（本小题共 12分）解：（ ） 因为 1( ) ( 1) lnf x kx k x x? ? ? ?, 所以 2221 1 ( 1 ) 1( ) k k x k xf x k x x x? ? ? ? ? ? ?， ?.1 分 - 8 - 当 12k? 时，21 ( 2 )( 1)2( ) xxfx x?. 令21 ( 2 )( 1)2
17、( ) 0xxfx x?， 得 121, 2xx?， ?.2 分 所以 ( ), ( )f x f x 随 x 的变化情况如下表 ： x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+ )? ()fx ? 0 ? 0 ? ()fx 极大值 极小值 ?.4 分 所以 ()fx在 1x? 处取得极大值 1(1) 2f ? ， 在 2x? 处取得极小值 13(2) ln 222f ? . ?.5 分 函数 ()fx的单调递增区间为 (0,1) ， (2, )? , ()fx的单调递减区间为 (1,2) ?.8 分 （ ）证明： 不等式 ( ) 1fx? 在区间 1,e 上无解，等价于 ( ) 1fx? 在区间 1,e 上恒成立， 即函数 ()fx在区间 1,e 上的最大值 小于等于 1. 因为21( )( 1)( ) k x xkfx x?，令 ( ) 0fx? ，得121,1xxk?. ?.6 分 因为 01k?时，所以 11k? . 当 1 ek? 时， ( ) 0fx? 对 1,ex? 成立 ， 函数 ()fx在区间 1,e 上单调递减， 所以函数 ()f
