1、第一章第一章 三角形的证明三角形的证明1 1 等腰三角形等腰三角形第第1 1课时课时 全等三角形和等腰三角形的性质全等三角形和等腰三角形的性质 新课导入新课导入我们已经学了哪些判定三角形全等的方法？我们已经学了哪些判定三角形全等的方法？边边边（边边边（SSSSSS）：）：三边三边对应相等的两个三角形全等对应相等的两个三角形全等.边角边（边角边（SASSAS）：）：两边及其夹角两边及其夹角对应相等的两个三对应相等的两个三角形全等角形全等.两角及其夹边两角及其夹边对应相等的两个三对应相等的两个三角形全等角形全等.角角边（角角边（ASAASA）：）：想一想想一想 我们已经探索过我们已经探索过“两角分
2、别相等且其中一两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？理证明它吗？新课探究新课探究已知：如图已知：如图，A A =D D，B B =E E，BCBC =EFEF.求证：求证：ABCABC DEF.DEF.A AB BC CD DE EF F证明：证明：A A+B B+C C=180=180，D D+E E+F F=180=180（三角形内角和等于（三角形内角和等于180180）.C C=180=180（A A+B B），），F F=180=180
3、（D D+E E），），A A=D D，B B=E E（已知）（已知）.C C=F F（等量代换）（等量代换）.BC BC=EFEF（已知）（已知）.ABC ABC DEFDEF（ASAASA）.A AB BC CD DE EF F 定理定理 两角分别相等且其中一组等角的两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等对边相等的两个三角形全等.（AASAAS）根据全等三角形的定义，我们可以得到根据全等三角形的定义，我们可以得到全等三角形的对应边相等、对应角相等全等三角形的对应边相等、对应角相等.议一议议一议 （1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗吗？（
4、2）请）请你你选择等腰三角形的一条性质进行证选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流明，并与同伴交流.A AB BC C顶角顶角底角底角 底角底角腰腰腰腰底边底边 先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足质，然后再小组交流，互相弥补不足.A AB BC C（B B）定理定理 等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：这一定理可以简述为：练习练习在在ABC ABC 中，中，ABAB=ACAC.（1 1）若）若A A=40=40，则，则C C 等于多少度？等于多少度？（2 2）若）若B B=72=72
5、，则，则A A 等于多少度？等于多少度？A AB BC C（1 1）7070（2 2）3636已知：如图已知：如图，在在ABCABC 中中，ABAB =ACAC.求证：求证：B B =C.C.A AB BC C取取 BC BC 的中点的中点 D D，连接，连接 AD.AD.在在ABDABD 和和ACDACD 中，中，ABAB=ACAC，BD BD=CDCD，ADAD=ADAD，ABDABD ACDACD（SSSSSS）.B B=C C （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）.证法一：证法一：D DA AB BC CD D证法二：证法二：作作ABCABC 顶角顶角A A 的角平分线
6、的角平分线 ADAD.在在ABDABD 和和ACDACD 中，中，ABAB=ACAC，BADBAD=CADCAD，ADAD=ADAD ，ABDABD ACDACD（SASSAS）.B B=C C （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）.证法三：证法三：A AB BC C在在ABCABC 和和ACB ACB 中，中，ABAB=ACAC，A A=A A，ACAC=ABAB，ABCABC ACBACB（SASSAS）.B B=C C （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）.想一想想一想A AB BC CD D 在图中，线段在图中，线段 ADAD 还具有怎还具有怎样的性质？
7、为什么？由此你能样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？得到什么结论？推论推论 等腰三角形顶角的平分线、底边等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合上的中线及底边上的高线互相重合.可分解成下面三个方面来理解：可分解成下面三个方面来理解：1.1.等腰三角形的顶角的平分线，既是底边等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。上的中线，又是底边上的高。AB AC，1 2（已知）（已知）BD DC，ADBC（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）A AB BC CD D1 1 2 2 2.等腰三角形的底边上中线，既是底边上的等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，
8、又是顶角平分线。高，又是顶角平分线。AB AC BD DC（已知）（已知）ADBC 1 2（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）A AB BC CD D1 1 2 2 3.等腰三角形的底边上的高，既是底边上的等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。中线，又是顶角平分线。ABABAC AC AD ADBCBC （已知）（已知）BDBDDC DC 1 12 2（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）A AB BC CD D1 1 2 2 随堂演练随堂演练 1.1.（1 1）已知等腰三角形的一个角为）已知等腰三角形的一个角为 4040，则，则其它两个角分别为其它两个角分别
9、为 。（2 2）已知等腰三角形的一个外角为）已知等腰三角形的一个外角为 7070，则，则这个三角形的三个内角分别为这个三角形的三个内角分别为 。7070 、7070或或4040、100100 110、35、35 2.2.如图，在如图，在ABC ABC 中，中，ABAB=ACAC，点，点 D D 在在 BCBC 上，且上，且 BDBD=ADAD，DCDC=ACAC，求，求B B 的度数的度数.A AB BC CD D解：解：ABAB=ACAC，B B=C C（等边对等角）（等边对等角）.同理可得同理可得B B=BADBAD，CDACDA=CADCAD.设设B B=x x，则，则C C=BADBA
10、D=x x，CADCAD =CDACDA =2=2x x.在在ADCADC 中，中，C C+CDA CDA+CADCAD=180=180，即即 x x +2 2x x +2+2x x =180=180，x x=36=36，即，即B B=36=36.3.3.ABC ABC 中，中，AB AB ACAC，D D 是是 BC BC 边上的中点，边上的中点，DFDFAC AC 于于 F F，DEDE ABAB 于于 E E .求证：求证：D ED E DFDF。A AB BC CD DE EF F证明：连接证明：连接 ADAD，ABAB ACAC，BDBD DCDC（已知）（已知）AD AD 是是BA
11、C BAC 的平分线的平分线.（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）又又DEDEAB DFAB DFACAC，DEDE DFDF（角平分线上的点到这（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）个角的两边距离相等）.A AB BC CD DE EF F 4.4.已知：如图，点已知：如图，点 B B，E E，C C，F F 在同一条直在同一条直线上，线上，ABAB=DEDE，ACAC=DFDF，BEBE=CFCF.求证：求证：A A=D.D.A AD DB BE EC CF FA AD DB BE EC CF F证明：证明：BEBE CFCF，BE+CEBE+CE CF+ECCF+EC，BC=E
12、FBC=EF.又又AB=DE AC=DFAB=DE AC=DF，ABCABC DEFDEF（SSSSSS）.A A=D D.5.5.如图，在如图，在ABCABC 中，中，AB=ACAB=AC，点，点 D D，E E 都都在边在边 BCBC 上，且上，且 ADAD=AEAE，那么，那么 BDBD 与与 CECE 相等吗相等吗？请证明你的结论？请证明你的结论.A AB BC CD DE EA AB BC CD DE E解：解：ABAB=ACAC，B B=C C（等边对等角）（等边对等角）.同理可得同理可得ADEADE=AEDAED.ADBADB=AECAEC.ABDABD ACEACE（AASAA
13、S）.BD BD=CECE.课堂小结课堂小结 1.1.等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的两个底角相等；2.2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边边上高上高线线三三条线重合；条线重合；等腰三角形的性质等腰三角形的性质 课后作业课后作业1.1.从教材习题从教材习题中选取；中选取；2.2.完成练习册本课时的习题完成练习册本课时的习题.在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春风来，千树万树梨花开。真好看呀！冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的荒原上，闪着寒冷的银光。
